人教版八年级数学上册三角形的内角和定理

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点三角形的内角和定理人教八上初中数学试卷11-4一、学习目标 ，心 理解“三角形的内角和等于180° ”及证明过程；4-证明"三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理；4-运用三角形内角和定理解决问题.二、知识回顾 拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？、新知讲解1.三角形内角和定理定理三角形三个内角的和等于 180°符号语后在 ABC中，/ A+/ B+Z C=180°信达图示2.三角形内角和定理的证明已知：如图，已知 ABG 求证：/ A+Z B+Z 0=180&

2、#176;R方法11证明：过A点作DE/ BC,D A E DE/ BC,（已作）丁./ DAB=Z B, / EAC=/ C,（两直线平行，内错角相等） . /DAB+/ BAC+Z EAC=180 ,（平角=180° ） ./BAC+/ B+Z 0=180° ,（等量代换）R方法23证明：作BC的延长线CD过点C作射线CE/ BA 0E/ BA,B=£ECD（两直线平行，同位角相等），/ A=/ ACE （两直线平行，内错角相等），. / BCA+/ACE吆 ECD=180 ,（平角=180° ）/ A+Z B+Z ACB=180 .（等量代换）3.

3、三角形内角和定理的应用（1）已知三角形的两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个鱼L（2）已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角.四、典例探究扫一扫，有惊喜哦!1 .三角形的内角和定理【例1】（2014春?靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为数是（）3: 4: 5,则它的最大内角的度A. 80° B .75°C .90° D . 108总结：给出三角形三个内角的比求内角度数时,通常要设未知数，通过列方程求解.【例2】（2014?重庆校级模拟）如图，已知D E在 ABC的边上，DE/ BC / B=60° , / AED=45 ,则/A的

4、度数为（A. 65°.85° D .95°总结：关于三角形与平行线结合的问题，求解时，先从平行线的性质入手，把有关角转化到三角形 中，再利用三角形的内角和定理求解.【例3】（2014秋?太和县期末）如图，在4ABC中，/ ABC=50 , / ACB=80 , BP平分 / ABC CP平分/ ACB则/ BPC勺大小是（115° D , 120°总结：三角形中两内角平分线相交组成的角等于练1. （2015?重庆模拟）在 ABC中，已知/A. 50°B . 45°C , 40°90°与第三个内角一半的和.

5、A=4/ B=104° ,则/ C的度数是（）D .30°练2. （2014秋？安庆期中）在4ABC中，/A、Z B / C的度数之比为 3: 4: 5,那么 ABC是（）A.锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .等腰三角形练3. （2014春?通川区校级期中）如图，已知ABC中，/ B=65° , / C=45° , AD是BC边上的高,AE是/ BAC的平分线，求/ DAE的度数.2 .三角形内角和定理的实际应用【例4】如图，一轮船由 B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西

6、30。方向上，若轮船行驶到 C处时测得/ BAC=55 ,那么从C处看AB两处的视角/ ACB是多少度?总结：1 .“三角形的内角和为 180。”是隐含条件，在实际应用中必不可少.2.在有关方位角的计算中，常常构造三角形，在三角形中计算角的度数练4. （2010?石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若/ 1=38。，/ 2=23 ,则桥面断裂处夹角/ BCD为 度.五、课后小测、选择题则/ B的度数是（2014?江北区模拟）在 ABC中，已知/ A=3/ C=54° ,A.90° B . 94°C . 98° D , 108°

7、2.（2014春?合川区校级期中）已知 ABC中，/ A=20° ,/ B=Z C,那么三角形 ABC是（）A.锐角三角形B .直角三角形 C .钝角三角形3. （2014春?江阴市校级期中） 如图，BE、CF都是 ABC的角平分线，且/BDC=110 ,则/A=（）A. 50° B . 40° C , 70°D , 35°4. 如图，是一块三角形木板的残余部分，量得/ A=100° , / B=40° ,这块三角形木板另外一个角/C的度数为（）A. 30° B. 40° C, 50° D. 6

8、0、填空题5. （2014 秋?宁津县校级月考）在 ABC中，/ A / B: / C=2: 3: 4,则/ A=, / C=.6. （2014?徐州二模）如图， AB/ CD AD和 BC相交于点 O, / A=35° , / AOB=75 ,则/ C=7. （2013春?苏州期末）如图，CDC的另1J是4 ABC勺高和角平分线，Z A=30° , /B=60° ,则/ DCE三三、解答题8. （2014春？庐江县期末）如图，已知/ DAB=70 , AC平分/ DAB Z 1=35° ,求/ D的度数.典例探究答案：【例1】（2014春?靖江市校级月

9、考）若一个三角形的三个内角之比为3: 4: 5,则它的最大内角的度数是（）A. 80° B , 75° C ,90° D . 108°分析：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x,根据三角形内角和定理得到3x+4x+5x=180° ,然后解方程求出 x后计算5x即可.解答：解：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x,所以 3x+4x+5x=180° ,解得x=15° ,所以 5x=75° .故选B.点评：本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180° .【例2】（2014?重庆校级模

10、拟）如图，已知D>E在 ABC勺边上，DE/ BC,/B=60°，/AED=45 ,则/A的度数为（）A. 65°B . 75° C .85° D , 95°分析：根据平行线的性质可得/ C=/ AED=45 ,再利用三角形内角和为180。可以计算出/A的度数.解答：解：: DE/ BC/ C=/ AED=45 ,./A=180° / B - Z C=180° 45° 60° =75° ,故选：B.点评：此题主要考查了三角形内角和定理，即三角形内角和为180° .【例3】（201

11、4秋?太和县期末）如图，在 ABC中，/ABC=50 , / ACB=80 , BP平分/ ABCCP平分/ ACB贝U/ BPC的大小是（）C . 115° D , 120°分析：根据三角形内角和定理计算.解答：解：. / ABC=50 , / ACB=80 ,且BP平分/ ABC CP平分/ ACB/ PBC=25 , / PCB=40 , ./ BPC=115故选C.点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为 180° .练1. （2015?重庆模拟）在 ABC中，已知/ A=4/ B=104° ,则/ C的度数是（）A. 50

12、76;B . 45°C .40° D .30°分析：根据已知条件求出/ B的度数，再根据三角形的内角和等于180。列式计算即可得解.解答：解：: 4 / B=104° ,/ B=26° ,，/C=180° - / A- /B=180° -104° -26° =50° .故选A.点评：本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出/B的度数，然后列出/ C的表达式是解题的关键.练2. （2014秋?安庆期中）在 ABC中，/ A、/ R /C的度数之比为 3: 4: 5,那么 ABC 是（）A.锐角

13、三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k° ,根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状.解答：解：设一份为k° ,则三个内角的度数分别为3k。，4k。，5k。.则 3k° +4k° +5k° =180° ,解得 k° =15° , .5k ° =75° 3 3k ° =45° , 4k ° =60 ° ,所以这个三角形是锐角三角形，故选A.点评：此题

14、主要考查三角形的按边分类，直接根据三角形三个内角的度数比来判断是解题的关键.练3. （2014春?通川区校级期中）如图，已知ABC中，/ B=65° , / C=45° , AD是BC边上的高，AE是/ BAC的平分线，求/ DAE的度数.分析：由三角形的内角和定理， 可求/ BAC=70，又由AE是/ BAC的平分线，可求/ BAE=35 , 再由 AD> BC边上的高，可知/ ADB=90，可求/ BAD=25，所以/ DAEh BAE / BAD=10 . 解答：解：在 ABC中， . / BAC=180 Z B- / C=70° , .AE是/ BA

15、C的平分线，/ BAE=/ CAE=35 .又. AD是BC边上的高，/ ADB=90 , .在 ABD中 / BAD=90 / B=25° ,/ DAE=/ BAE- / BAD=1O .点评：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心.【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得处在B的北偏东75°方向上，在海岛 上的观察所A测得B在A的南偏西30。方向上，若轮船行驶到 C处时测得/ BAC=55 ,那 么从C处看A, B两处的视角/ ACB是多少度？分析：根据方位角就可求得 BA与正北方向的夹角，即可得到

16、/ ABC在 ABC中，根据三角形内角和定理即可求得/ ACB的度数. / BAE=30 ,/ ABD=30 ,/ ABC=/ DBC-Z ABD=75 -30 ° =45在 ABC中，根据三角形内角和定理得到：/ACB=180 -45 ° -55 ° =80° ,即从C处看A, B两处的视角/ ACB是80° .点评：本题主要考查了方位角的定义，以及三角形的内角和定理.练4. （2010?石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若/1=38。，/2=23 ,则桥面断裂处夹角/ BCM 度.分析：连接BD,根据对顶角相等得到/ 1

17、 = 7 4=38° , / 2=7 3=23 ,然后根据三角形内角 和定理进行计算即可. / 1 = 7 4=38° , / 2=7 3=23 ,./BCD=180 - 7 4-73=180° -23-38 ° =119° .故答案为：119.点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180° .也考查了对顶角相等.课后小测答案:、选择题1. （2014?江北区模拟）在4ABC中，已知/ A=3/ C=54° ,则/ B的度数是（A. 90° B . 94° C , 98° D . 1

18、08解：如图所示：.一/ A=3/ C=54° ,，/B的度数是：180° -/A- / C=108° .故选：D.2 .（2014春?合川区校级期中）已知 ABC43, / A=20° , / B=/ C,那么三角形 ABC（）A.锐角三角形B .直角三角形 C .钝角三角形D .正三角形解：./A=20° ,，/B=/ C= （180。-20。）=80。,，三角形 ABC是锐角三角形.故选A.3 . （2014春?江阴市校级期中）如图，BE CF都是 ABC的角平分线，且/ BDC=110 ,则/ A=（）A. 50° B . 4

19、0° C , 70° D ,35°解：.BE、CF都是 ABC的角平分线,，/A=180° (/ ABC吆 ACB =180° - 2 (/DBC吆 BCD.Z BDC=180 - (/ DBC+Z BCD,A=180° - 2 ( 180° - / BDCBDC=90 +1/A,2A=2 (110° - 90° ) =40° .故选B.A=100° , / B=40° ,这块三角形木板另外一个角/ C的度数为()4 .如图，是一块三角形木板的残余部分，量得/60°

20、/ B: / C=2: 3: 4,贝U/ A=, / C=A. 30°B , 40° C . 50° D解：. ABC中，Z A=100° , / B=40° ,./C=180° -/A-/B=180° -100 ° -40 ° =40°故选B.二、填空题5 .(2014秋?宁津县校级月考) 在4ABC中，/A:解：设/ A=2x° ,则/ B=3x , / C=4x° ,/A+/B+/C=180° ,即：2x° +3x +4x° =180

21、76; ,解得：x=20./A=40° ,贝U/ B=60° , / C=80° ,故答案为：40°、80°6 . (2014?徐州二模)如图，AB/ CD AD和 BC相交于点 O, Z A=35°，/AOB=75，则/ C=XJ解：./ A=35° , / AOB=75 ,/A+/B+/ 0=180° , ./ B=180° - 35° -75° =70° .又 AB/ CD/ C=Z B=70° .7. (2013春?苏州期末)如图，CD CE分别是 ABC的高和角平分线，/ A=30° , / B=60° ,贝U/ DCE=.解：A=30° , / B=60° ,/ ACB=180 - /A- / B=90° ,. CD CE分别是 ABC的高和角平分线， ./ BCE=/ACB=45 , / BDC=90 , 1/ BCD=90 - / B=30° , ./ DCEhBCE- / BCD=45 - 30°