案例研究与教师发展-解题-初中

1、先复习上午的内容：1. 三个期望实现了吗？（1）体会三个名词：案例，案例教学与案例研究；数学教学上的案例（课例）：是具有典型意义的教学 过程的描述.创作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文 的体裁表示出来.案例教学：是一种通过典型教学过程（课例）的分析 来学习教育理论与教学技能的教学方法.案例研究：在对典型教育事件进行具体描述的基础上， 通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究方法， 叫做案例研究.（2）参与一个行动：案例分析.（3）带走一个信念：我要进行案例研究，我能进行案例研究.2. 采用讲故事方式有效吗?案例分析与教师发展 （解题案例）陕西师范大学数学系罗增儒邮编710062电话

2、 029-8530887213609297766e-mail: zrluo主题：怎样解题？怎样学会解题？是数学学习中的两个 核心问题，是数学教师的专业制高点.我们要要科学把握怎样解题的基本过程；（酚骤）要懂得通过解题分析去学会解题.（四步骤）（上午重在教学案例，下午重在解题案例）1怎样解题的基本过程1- 1什么叫数学解题1- 1-1数学题（1）界定：数学上要求冋答或解释的事情，需要研究 或解决的矛盾，称为数学题.对数学家而言，重在第二句话：“需要研究或解决的矛 盾在数学教学屮，重在第一句话：“要求回答或解释的事 情”.内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一 个待完成的作图、一个待建立的

3、概念、一个待论证的泄理、 一个待解决的实际问题等.（特别提醒：构建概念、论证定理也是解题！）比如，如何构造有理数（无穷数集）与直线（无穷点集） 的对应，从而建立数轴的概念，就是一道题.通过改造直线 （主要是加上三要素：原点、单位和方向），然后，把整数 “放”在格点上，把两整数之间的分数“放”在相应两格点 之间，建立起数轴，就是解了一道数学题；学生在这个数学 活动中，学到了数轴的概念，感悟了 “集合与对应的思想”、 体验了 “数形结合的思想”，经历了数学化的提炼过程等， 就是在学习解题.（2）认识：数学题的标准形式包括两个最基本的要素: 条件，结论“未知的结论” 一方面像空着的位置，需要加 以填

4、充，另一方面又由"已知的条件”客观决定着，构成“已 隐蔽地确定”与“未明显地给出”的统一.这就是教学中的数学题.'研究型灰被证实）数学题教学型旦被证实）常规练习题 问题解决的问题1-1-2数学解题（1）界定：解题就是求出数学题的答案.（2）认识这个答案在数学上也叫做“解”，这个“解” 的重要特征是“沟通条件与结论之间的联系”，自动包括“沟 通联系”中每一步的数学依据，所以解题有四个要素：条件、 结论、解和解题依据.'寻找条件与结论之间的联系”永远是数学解题的思考 中心，这是一个“将已有知识用于新情境”的探索过程、发 现过程.通常是从模仿开始、经过练习、学会发现.一个人

5、拿到题目之后，通过翻看习题集得到了答案（当 然这个答案是正确的），从形式上看他的问题解决了，但这 是一个缺少过程、缺少探索、缺少发现的“结果”，应是一 个不成功的“解题”.我们认为，解题更应像攀登珠穆朗玛 峰、徒步从一个营地跋涉到另一个营地，而不是旅游、坐着 轿车从一个景点玩到另一个景点.1-2数学解题的基本过程我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程解题过程不仅 仅是“书药解答”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所 有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理 解题意、思路探求、书写解答、回顾反思.科学把握好这四 个阶段是一种良好的解题习惯.1-2-1理解题意理解题意也叫做审题，（审题审

6、什么？怎么审？）主要 是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目 本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通 起点与目标之间联系的更多信息.特别耍抓好审题的“三个 要点、四个步骤”.（1） “三要点”是：要点1:弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学 含义如何.首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件 就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件 的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、 哪些数学关系.题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发 解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好 了行进中的加油站.要点2：弄清题目的结论

7、是什么，一共有几个，其数学 含义如何.题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选 择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数 学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解” 题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄 清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、 哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向.题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导 解题方向.弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带 上了纠正偏差的指南针.数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的.要点3：弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一 种什么

8、样的结构.即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上， 继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些 联系就表现为题冃的结构.为了更接近问题的深层结构，审 题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与 结果的反思.应该是循环往复、不断深化的过程.题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源， 审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的 信息与启示.(2) “4步骤”是:步骤1：读题弄清字面含义.审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系 上作岀分析，

9、真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个, 这是读题最实质性的工作.其次要从答题形式、数据要求上 明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题ii要求用“定 义”证明，有的题目要求用“数学归纳法”证明，有的题目 要求用数字回答，有的题目要求保留小数点几位等等，如果 不按这些要求来，解答就会被认为不完整(存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做.步骤2：理解弄清数学含义.看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为 实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语 言、符号语言、形象语言之间的转化，从题冃的叙述中获取 数学“符号信息”，从题冃的图形中获取数学“形象信息”， 弄清题目的数学含

10、义.这当中，我们常常要“回到泄义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结 论都数学化，并被我们所理解.步骤3：表征识别题目类型信息在人脑的呈现叫做表征.弄清条件、弄清结论的同 时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会 激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验.对于 人量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存 所现成的每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基 本模式与经典题熨，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取 该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）.即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标， 继而可以用“差异分析”、“数形结合”

11、等措施，进入下一阶 段思路探求.解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来.步骤4：深化接近深层结构.简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通, 但有时认识是浅层的.对于变通过的、“形似而质异”的、 或综合性较强的题日，则还要不停顿地“弄清问题”.因而, “弄清题意”的工作在“识别题冃类型”之后还结束不了， 主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续 弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思 路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识 的过程，即更本质的“弄清问题”、努力接近问题的深层结 构.经验表明，凡是题口未明显写出

12、的，一定是隐蔽地给予 的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息， 这一步不要怕“慢”.题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源， 审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的 信息与启示.注意：这些要点，叙述时是分解动作，真正解题时是连 续进行、一气呵成的.思考练习1：请思考下面各题中条件是什么、结论是什么.思考题1为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政策：3个空瓶可以换1瓶矿泉水.现有10瓶矿泉水，问根据“回收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？（参见案例1）思考题2 已知a,b,c为互不相等的实数，且 匚二丄二丄，求兀 + y + s（1951年高考数学第4题）（题 a-b

13、 b-c c-a目有几个已知条件？思路受阻怎么办？见案例2）1-2-2思路探求寻找解题思路是探索解题结论的发现过程，基本的想法 是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比 较容易解决的问题.可以分两步走：（如图1）完成完成难完成正难则反数形结合图1（1）努力在已知与未知之间找出直接的联系化归 为已经解决过的基本问题.对于大量的常规题来说，题意弄 清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之 即来.（叫做模式识别）（2）如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某 些必要的变更或修改.（运用解题策略：以退求进、区分种 种情况、正难则反、以及自始至终的数形结合等） 以退求进：可以先

14、考虑问题的特殊情况，或先考虑问 题的一部分，看清楚、想明白了再进.退是手段、进是冃的,“难的不会想简单的”是个好主意.在具体实践中，常常是 进退互化. 区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、 或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决.在 具体实践中，常常是分合并用. 正难则反：正面思考有困难时，可以调整思考的方向, 转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反 证法）.在具体实践中，常常是正反相辅. 数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结 合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数 式，注意发挥数与形的双重优势.思考练习2：请思考下题中的解题思路.思

15、考题3（2005年江苏南通卷第25题）在直角梯形abcd 屮，ab/dc , z4bc = 9（t, ab = 2dc , 对尖角线ac 1bd,垂足为点f,过点f作ef / / ab , 交ad 丁点e,求证：四边形是等腰梯b 形.（参见图2）图2（体现分析法，参见案例3）1-2-3书写解答就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事 情），用文字具体表达出来，说服自己、说服别人（包括同 意或不同意你看法的人）.这当中可能会有某一步骤因忽视 了关键细节而反复，也可能会因认真整理思想而深化理解或 触发新的灵感.在实现计划中“怎样表达j这对学生來说仍然是一个需要 系统指导和严格训练的问题.我

16、们建议（1）抓住15字口诀：定方法、找起点、分层次、选定理、 用文字.（2）把握24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范.思考练习3：请思考下面各题中的解题思路.思考题4有一组数排列成方阵,如图3所示，试计算这组数的和.1234523456345674567856789图3（这个数表有一种对称性结构，可以有多种不同的书 写，反映出来的思维层次是有区别的，写出你的解法.参见案例4)1-2-4回顾反思有两个层面的回顾反思，一个是解题层面的回顾反思， 另一个学会解题层面的回顾反思.(1)解题层面的回顾反思：主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法

17、是否还有更多、 更简单的. 有的检验是解题的必要步骤，检验之后，解题才算完 成； 有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把 住最后一关.(2)学会解题层面的回顾反思：表现为解题后对数学 题目本身及解题方法的重新认识.女口，解题中用到了哪些知 识？哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己 是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什 么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法？更一 般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单 的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题 能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体 现了什么样的数学思想？调动这些知识和方

18、法体现了什么 样的解题策略？如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息，它 的长期积累会升华为数学才华.这是更深层次的回顾反思， 已经涉及学会解题了.思考练习4：做完下面各题后，你作过回顾吗?思考题5 (蚂蚁爬行)如图4, 一圆柱体的底面周长为24cm,高ab为4cm, 只蚂蚁从点力出发沿着圆柱体的表面爬行到c点的最短路程为(你怎么做的？参见案例5)图4思考题6张家和李家共同拥有一块如图5所示的平行四边形出地，出地的屮间有一用于灌溉的圆形池塘，现两家 想把这块田地平均分配，并且中间的池塘也要平均分配.聪 明的同学你能为他们想个法子吗？(写出你的推广，参见案

19、例6)思考题7(1)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图6所示，则其侧面积等于()(a) v3(b) 2(c) 2巧(d) 6(2010年高考数学福建卷文科第3题)图6(2)若一个底面是正三拒形的三棱柱的正视图如图6所示，则其表曲积等于（2010年福建卷理科第12题）（参见案例7）这4个步骤需要不断的反馈调节，即使4步完成了也存 在反思改进的空间：有时候思路还比较麻烦，通过反馈调节 而精简；有时候思路还存在漏洞，通过反馈调节而完善.2怎样学会解题我们认为学解题的关键是学会解题分析，主要包括解题 思路的探求和解题过程的反思.解题思路的探求，把“题” 作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重

20、点展示由已 知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题日的答案 （这是一个认知过程）.而解题过程的反思，则继续把解题 活动（包括题目与初步解法）作为认识的对象，不仅关注如何 获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能 力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题（这是一个再认知过程）.学会解题的四步骤程式回顾笔者从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师以来的30年），我们看到了一条清晰的学解题线路： 由“简单模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”, 已经进入到“自觉分析”的阶段.我们将其作为“一个中国 解题者的学习案例”，或'一个中国学习

21、者的解题案例”总 结为学会学解题的四步骤程式：简单模仿、变式练习、自发 领悟、自觉分析.2- 1-1简单模仿（1）模仿：通过观察被模仿对象的行为，获得相应的 表象，从而产生类似行为的过程.（2）解题模仿：即模仿着教师或教科书的示范去解决 一些识记性的问题.这是对解题基本模式加以认识并开始积 累的过程.其本身会有体验性的初步理解.学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿 开始，学音乐舞蹈等艺术也都从模仿开始，每节数学课后的 作业基本上都是模仿性练习.（3）记忆：在这一阶段中，记忆是一项重要的内容， 由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好： 记忆的敏捷性（记得快）； 记忆的持久性（

22、记得牢或忘得慢）; 记忆的准确性（记得准）； 记忆的准备性（便于提取）.而要真正做到、做好这4点，还需要进入第2阶段.2- 1-2变式练习（1）变式练习的含义：即在简单模仿的基础上迈出主 动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化的干扰性 习题，本质上是进行操作性活动与初步应用.（2）变式练习的作用：首先是通过变换方式或添加次 数而增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实 践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会.“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国 的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式练习”是这 一传统在解题教学上的重要体现；数学概念具有“过程”与 “对象

23、”的二重性，牢固掌握相应的运作是实现由“过程” 向“对象”转变的必要条件.学习数学不能缺少这两个阶段又不能单靠这两个阶 段.没有亲身的体验、没有足够的过程、没有过硬的“双基”, 数学理解就被架空了，模仿和练习应是学生获得本质领悟的 基础或必要前提（“熟能生巧”可以找到心理学解释，张奠 宙教授说：记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性， 重复依靠变式）.但是，对学解题而言，更重要的是要跨越 模仿和练习而产生领悟.没有理解的练习是傻练，没有练习的理解是空想.2-1-3自发领悟（1）自发领悟的含义：即在模仿性练习与干扰性练习 的基础上产生理解解题知识的内化（包括结构化、网络化 和丰富联系），主要表

24、现为从事实到规律的领悟、从实践到理 论的提升.但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁 然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”（默会学 习.（2）领悟的内容：这实际上是一个各人自己去体会 解题思路的探求， 解题能力的提高， 解题策略的形成， 解题模式的提炼，从而获得能力的口身性增长与实质性提高的过程（生成个体 经验）.由于单纯的实践不能保证由感性到理性的飞跃、由'双 基”到能力的升华，而这种飞跃或升华乂需要一个长期的积 累，因而，这是一个漫长而又不可逾越的必由阶段（会存在 高原现象）.目前的很多学生就被挡在了这一阶段（停留在 模仿与练习上），很多优秀学生也就停留在这一阶段，我们

25、 自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、 口发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题学习还应有 第4阶段.2-1-4自觉分析（1）反思：就是从自身的认识活动中“脱身”出来， 作为一个“旁观者”来看待自己刚才做了些什么事情，使自 己的活动成为了思考的对象.（2）自觉分析的含义：即对解题过程进行口觉的反思, 使理解进入到深层结构.这是一个通过已知学未知、通过分 析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个 理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础 到创新、从内隐到外显的飞跃阶段.就是说解题不仅关注“答 案,而且还要 把解答问题看作是设计和发明的目标； 把解答问题

26、发展为获得新知识和新技能的学习过程； 提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示（有构建 “数学解题学”的前景）.（3）自觉反思的基本内容： 解题中用到了哪些知识？ 用到了哪些方法？ 这些知识和方法是怎样联系起来的？ 自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什 么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否述有别的 解决方法？更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的 方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的 命题吗？ 命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？ 这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？ 洞察问题的深层结构了吗？(4) 自觉分析的操作：通常要

27、经历整体分解与信息交 合两个步骤.整体分解：就是把原解法的全过程分拆为一些信息单 元，看用到了哪些知识、哪些方法，它们是怎样组合在一起 的，从中概括出知识基础、逻辑结构、信息流程、心理过程 等.有两个基本的思考方向.方向1：正面思考.看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟新的解 题通道.这需要我们重新审视每一个知识点的发散度，特别 是要从知识链上对知识内容作多角度的理解.看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来 体现简洁美.看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤， 提高整个解题的观点和思维的层次.看是否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规 步骤，以体现解题的奇异美.看解题过程中

28、哪一个是最实质性的步骤，抓住这一步 既可简化过程又可迅速推广.综合、全面看条件与条件、条件与结论之间的联系， 洞察问题的深层结构，体现数学的整体性与统一美.还要看到，分析解题过程时，“结论也是已知信息”， 这会使我们对题目的认识更加深刻和全面.具体进行时，可以画逻辑结构图、信息过程图来帮助思 考.方向2：反面思考.可以使用否定假设法来提出问题.使用否定假设法的步 骤是：确定出发点.（已知命题、问题或概念）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个属性.就所列举的属性进行思考；如果这一属性不是这样的 话，那它可能是什么？依据上述对于各种可能性的分析提出新问题.信息交合：就是抓住整体分解中提炼出来的新

29、认识或 本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，这些新信 息块的有序化，使认识更接近问题的深层结构.于是，一个 新的解法就诞生了，所储存的数学知识之间的非人为的、实 质性的联系就加强了，怎样学会解题的体验就生成了，提炼 解题理论的基础也奠定了.整体分解与信息交合既是收集证据、解释证据，乂是随 时报告结果的过程.在人类认识总是不断深化的背景下，解 法本身应是数学上和教学中都可以进一步暴露和提炼的中 间过程.事实上，题目的初步解法，只不过是实现了信息向 大脑的线性输入，只不过是为进一步的结构化、网络化和丰 富联系准备了基本素材，更加有价值的、体现学习者的主动 创造性工作的是：将历时性的线性材料

30、组织为一个共时性的 立体结构.这时，打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更 广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本 质、更广泛的组合，从而揭示出数学内容的更内在的逻辑结 构和更直截了当的关系，进而推动解题过程的改进，解题成 果的扩大，解题模式的积累，解题经验的生成.这就像登上 山顶后居高临下的俯瞰（当然山外还有山），也像是经过黑夜 摸索之后拉开黑房间的电灯，整个境界已焕然一新.如果说, 探索活动的思维过程常常带有自发的、实验尝试性特征的 话，那么继续进行解题分析的思维活动就带有较多自觉的、 理论提炼性的特征了.2-2学会解题的案例分析解题案例分析的基本框架：选取一个感兴趣的案例；确定

31、一个分析的视角；选择一个分析的方法；进行整体分解与信息交合.2-2-1案例1：空瓶兑换1-1为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政策: 3个空瓶可以换1瓶矿泉水.现有10瓶矿泉水，问根据“回 收政策”最多述可喝几瓶矿泉水？分析 (1)条件是什么？ 3个空瓶可以换1瓶矿泉水，数学上提供了 “除数”; 现有10瓶矿泉水，数学上提供了 “被除数”；(2)结论是什么？最多还可喝几瓶矿泉水，可分解为 三个小问题： 可喝几瓶矿泉水.数学上要求做“除法”； 为了求出“最多”，数学上要求继续做“除法”； 多次“除法”的结果加起來，数学上是“加法”. 解法1 分4步完成：第1步，用原有的10个空瓶去换3整瓶矿泉

32、水，剩1 个空瓶.第2步，用4个空瓶去换1整瓶矿泉水，剩1个空瓶.笫3步，用2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶, 换一整瓶，喝完后，还空瓶.第4步，最多共可喝3+1+1 = 5瓶.反思分析 这个解法分3步完成对换，每步都重复着“3 空换1整”的要求.其中最富于智慧的应是第3步，对其作 正面思考：第3步的聪明就在于“借一还一”吗？它的实质是什么？请看下图八八八八, 图7可见，“借一还一”技术表象的实质是：2个空瓶可以换 来一瓶里的“矿泉水”（不包括瓶子）.于是，第3步隐含着 问题的本质，已知条件中“3个空矿泉水瓶可以换1整瓶矿 泉水”等价于“2个空瓶子”可以换1个瓶里的“矿泉水'分

33、三步兑换可以合并为1步完成（整体处理）：解法2依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“矿 泉水”，现有10个空瓶，最多可换巴=5瓶里的“矿泉水.2感悟也许，我们一开始并不能抓住已知条件的“本 质”，但解法1是可以做到的，通过对“初步解法”的分析, 就有机会找冋被浪费了的重要信息，获得更接近问题深层结 构的解法一一即使我很笨，我也能学会聪明.并且，一旦抓 住了题目的本质，推广立即就成为可能：例1-2已知a个空矿泉水瓶可以换1整瓶矿泉水，现有b整瓶矿泉水，若不再添钱，最多还可以多喝角瓶矿泉水?例1-3已知5个空矿泉水瓶可以换2整瓶矿泉水.现有10整瓶矿泉水.若不再添钱，则最多还可喝11 = 6几瓶

34、_5-2_矿泉水.例1-4已知。个空汽水瓶可以换c整瓶矿泉水躺b整矿泉水.若不添钱，则最多还可喝幷瓶矿泉水.（°, b,c为止整数，dc）解 “个空矿泉水瓶可以换c整瓶矿泉水”就是-c个 空瓶换c瓶里的水，平均口个空瓶换1瓶里的水，共可换c上二旦，取整数部分得旦瓶.a-ca-c（学生在解题上的愚笨十有八九不是天生的）2-2-2案例2题目有几个已知条件？思路受阻怎么办?2（1951年高考数学第4题）已知讪c为互不相等的实数，且一一二严一丄，求兀+）七（自觉分析是有益的） a-b b-c c-a讲解由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题x 二 y 二 za-b b-c c-a

35、兀+y+z9: (d -b) + (b-c) + (c-d)所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理.设比例系数k是一个经典的处理，并被认为是最关键的步骤.解法1设兀=2以， a-b b-c c-ax 二 k (a -b)，则有y = k(b-c z = r(c-q),得x+y + z= r(d-b) + r(/?-c) + r(c-d)= p(d-b) + (b-c) + (c-a)=0哪一步最关键?反思分析1做完这道题你的收获是什么？如果你的收获是“结论为零”，那我的结论是“你的收获为零”.整体分解这个解题过程我们看到三个步骤（解题过程的结构分析）：第1步，引进参数a,把三个外形不同而比

36、值相等的代 数式 宀,宀，丄用同一个符号鸟來表示，可以有效防止“形 ci-b b-c c-a异”对“值同”的干扰.（体现了 “用字母表示数的思想”和'换元法”的应用）第2步,把与a,b,c分离,以便于计算x + y + z的值.（方法就是变形）第3步，计算x + y + z的值，这是实质性的运算，其最基 本的想法是转化为有关式的计算，关键步骤是第 式（有“转换化归的思想”）根据这个分析，设比例系数k的作用有两个：第一，有 效防止“形异”对“值同”的干扰；第二，把与a,处分离以 便于计算“y + z的值.但这都只是辅助步骤，前两步并未开 始九皿的求和，真正产生解题实质性进展、并反映问题深

37、层 结构的是第3步，抓住实质性的第3步提出问题：（1）（正面思考）有与k功能类似的替代式吗？（2）（反面思考）不用k还能计算乂+y + z吗?如果对 &，宀，厶“等值”看得很清楚，那a-b b-c c-a解法2就可以把第式直接代入式，取代k得"卅"忌(山)+在(1)+士 ()=x (a_b) + (b_c) + (c_a) = 0.回应2如果式屮的“形异”对“值同”的干扰述比较大，想不到作这样的变形，看不清当中的公因式，那可以 直接用丄來表示有c-a解法3 由已知有x = (a-b,c-ay = -(b-c),c clz =(c a),c-a相力口得x + y +

38、z=(a-b) + (b-c) + (c-a)c-ac-ac-a=-(d-b) + (b-c) + (c-d) = 0 c-a.这样，我们就有了不增设参数鸟的2个解法，只要作解题反思，人人都能做到但是，反思还没有结朿.反思分析2至少还可以再指出两点：结论也是已知信息，障碍也是隐含条件.（1）结论也是已知信息.我们还浪费了一个信息，就是当我们分析解题过程时,结论已经成为了已知信息:这就如同摸索在黑房子里拉开了电灯，原来我们只须证式（当初并不知道），这用等比定理是可以做到的.（如同 解法2直接把丄看成比例系数）解法4c-a对已知式的前两项用等比定理，有x+yz=, (a b) + (b c) c-

39、a兀 + y 二 z (c-d) c-a原来,在我们的心里有一个误区（涉及解题的情感态度），对三项连比式用等比定理时，会产生分母为零，就吓 得两项都不敢用等比定理了.我们说，用比例的性质来处理 比例问题，更接近问题的本质（也使得设比值k成为多余）.继续思考：为使用等比定理时分母不为0,既可以减少分母（解法4）,也可以增加分母.解法5设亠=丄=丄*用等比定理有 a-b b-c c-ax _ y _ 乙 _ka-b b-c c-a 1(2)障碍也是隐含条件.(d - /?) + (/?-c) + (c - cz ) + 1让我们再来看、中用等比定理时产生分母为0的问兀 _ y _ za-b b-c

40、 c-ax+y+z7:；.(d -/?) + (/? - c) + (c-d)这时候的“分母为0 ”构成了我们解题的一个障碍，但在上述的众多解法中又都用到了 “分母为0 ”这个运算式：(a-b) + (b-c) + (c-a) = 0,(2)所以，与其说式给我们带来了麻烦，不如说式显化了题 目的一个隐含条件式.这是一个积极的收获，当我们对 尚未成功的式“视而不见”、而把目光同时注视、式 时，式让我们看到了两条直线重合：xx + yy + z = 0 ,(0(a - b) x + (/? - c) 丫 + (c - a) = 0 9©而式告诉我们直线通过点(1,1),因而直线(

41、9;也通过点 (1,1),得x+y + z=o.（可记为解法5）说明确实，反思得出的新解法，无论是在逻辑关系上 还是在书写长度上，都不比解法1麻烦，相反，还都有一种 高屋建翎:之势，对解题思路看得更透彻了，对知识联系看得 更清楚了.这些新解法可以认为是解题分析的一个有益成 果.但是，我们倡导的解题分析并不满足于多找出几个解法, 而是希望通过解题过程的分析，去领悟：怎样解题？怎样学 会解题？本着这样的理念，我们来口觉总结在本案例活动中 的五个基本收获：收获1：通过解题分析学会解题.这个例子虽然简单，但体现了我们对解题活动的自我意 识、口我分析与口我调整，也说明了： 数学解题不是知识点的简单堆砌，

42、或规则的简单重复 与操作的生硬执行，它是有逻辑结构的； 这种结构可以通过自觉的解题分析对其加以认识； 在自我认识的基础上可以通过自我调整而优化结构.聪明的学生也许一开始就能找到后面的解法，但是，如 果我不算聪明、甚至还有点笨呢，那么上述历程告诉我们， 我也可以通过解题过程的分析，自己学会聪明，自己学会解 题，使数学解题与智力发展同行.我们的解题教学应该有 “学会聪明”这个环节.收获2:解题分析包括认知与元认知两个阶段.上述过程表明，解题分析包括解题思路的探求分析与探 求结果的反思分析. 解题思路的探求分析主要是在还没有思路时，努力找 出思路的认知过程，人们已经有了很多共识.在本例中表现 为用等

43、比定理去试做和解法1的获得. 探求结果的反思分析主要是在获得初步思路后，对初 步思路进行反思的元认知过程，这方面有大量的事情可 做.在本例中表现为解法2解法5的获得.收获3:解题经验的自觉积累.基本活动经验的积累可以因人而异，我们从技术层面着 重指出三点： 学会解题过程的结构分析.具体是把解法1 “分解” 为三个步骤，然后组织为新的结构. 抓住实质性的第3步正面、反面提出问题.具体是思 考：有与丘功能类似的替代式吗？不用k还能计算“y + z吗？ 体验到了 “结论也是已知信息”、“障碍也是隐含条 件”.收获4:再反思总结.反思题意：题日有几个已知条件？显性条件 1:(q-b)(b-c)(c-a

44、)ho,显性条件2:亠=丄=厶，a-b b-c c-aa = a b,b = h c,c = c a 9由 aho,b ho,c兰=丄=二a. b c能推出兀+y + “0吗？所以，题目还有隐含条件(a-b) + (b-c) + (c-a) = o,问题转化为由这三个条件推出一个等式x + y + “？ 反思等比定理受阻:“三个比例式用等比定理会出现分 母为0”.怎么办？不用等比定理(不做分母)可以设比例系数k (并 被认为是最关键的步骤)(解法1),不用等比定理(不做分母)一一不设比例系数.不对三个比例式用等比定理对两个比例式用等 比定理. 反思思路探求本例正是市这三个条件推出一个等式x +

45、 y + z = 0.这时的 思路探求可以这样想：从等式到等式途径应是恒等变形，从两个等式一、一=丄一，(a-b) + (b-c) + (c-a) = 0到一 a b b c c ci个等式“y + “0一途径应是两个等式的合并；(如何合 并？)合并，从x,y,z,a,b,c到x, y, z 途径应是消兀，消去 (a-b),(b_c),(c-a),从分式到整式途径可以去分母，也可以抵消分母.2-2-3 案例3体现分析法（2005年江苏南通卷第25题）在直角梯形abcd中,图8ab/dc , zabc = 90° , ab = 2dc ,憔线 ac 丄 bd , 垂足为点f,过点f作e

46、f/ab,交2于点e, 求证：四边形4bfe是等腰梯形.（参见图8）讲解我们来体现分析法第一、理解题意.（1）弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义 如何.条件有四个：条件1: abcd是直角梯形.这“直角梯形”的数学含义有 三个意思：ab/dc ;直线ad,bc不平行（相交）；zabc =zdcb =90° 条件2:两底边满足ab = 2dc .条件3:对角线ac丄bd （垂足为点f）.对角线的数学含 义是梯形相对顶点的连线.条件4： ef/ab （2）弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义 如何.字面上结论为：求证四边形的m是等腰梯形.而文字语 言“等腰梯形”无法运算

47、、不能推理，其数学含义有三个意 思：ef / /ab （条件4,已知）；直线ae,bf不平行（条件3,对角线bd与一腰ad相交于d); ea = fb (或 zeab = zfba ).由于前两条是已知的，所以， 本题的结论是证= (或zeab = zfba ). a g b(3) 弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种 什么样的结构.我们通过此例来体现分析法，也就是由结论到条件的沟 通.第二、分析一多余条件的发现.如图8,由于ef/ab,而相交于d,所以，abfe是 梯形，要证abfe是等腰梯形，只需证ae = bf .要证 ae = bf,只需证 zeab = ,fba .要证,eab

48、二,fba ,只需证zx4b是等腰三角形.为此，过点d作dg1ab,垂足为点g,由已知abcd为直 角梯形，且zabc = 90°,得四边形bcdg为矩形.得从而 bg = ag.可见，dab中，dg既是边上的高、又是ab边上的中线, dab是等腰三角形.i)g这个思路没有用到对角线ac丄bz),说明这是一个多余条 件.证明如图8,过点£作dg丄ab ,垂足为 点g.由已知abcd为直角梯形，且zabc = 90°,得四边形bcdg为矩形.有图8bg = cd = -ab ,2从而bg = ag ,得rt dag = rt dbg ,从而zeab = zfba又因

49、为efii ab,而相交于d,所以abfe是等腰梯形.2-2-4案例4数阵的计数例4-1有一组数排列成方阵，如图9所示，试计算这组数的和.1234523456345674567856789图9这道题目有多种解法，你想到了哪种？你更赞成哪种？解法1按斜对角线方向逐行求和，/v = l + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x4 + 7x3 + 8x2 + 9= （l + 9）+ 2（2 + 8）+ 3（3 + 7）+ 4（4 + 6）+ 5x5= 10 + 20 + 30 + 40 + 25= 125.解法2因为下一行数字和比上一行数字和多5,所以，只须计算中间一行数字和的5倍即

50、可，n =（3 + 4 + 5 + 6 + 7）x5 = l :.解法3数字有轴对称特征，沿斜对角线把左上角的数翻到右下角，有55105101051010105 10101010图10总和 n= 10 + 20 + 30 + 40 + 25 = 125 解法4利用数字的轴对称特征使各个数字都变成5,有5555555555555555555555555图11总和 7v = 5x5x5 = 125 评析虽然4个解法都有对称性的考虑，但计算的强度还是有区别的，一推广就可以看出来.例4-2有一组数排列成方阵，如图12所示，试计算这组数的和.17n-1n23 nh + l n-ii232/1-2n n

51、+ 12/1-2in-i图12解法1按斜对角线方向逐行求和，有tv = 1 + 2 x 2 + + 兀 x 斤 + （ +1） x （ 一 1） + +（2n 一 2）x 2 +（2刃 一 1） x 1计算量比较大.解法2因为下一行数字和比上一行数字和多 所以,只须计算中间一行数字和的"倍即可，但要讨论的奇偶性. 解法3数字有轴对称特征，沿斜对角线把左上角的数 翻到右下角，有nn 2n n 2n 2n 2nn 2n 2n 2n in图13n =刃 x + 2 x 1 + 2卜（2/2 一 1） = n2 + 2/7 x "（； " = n3 解法4利用数字的轴对称

52、特征使各个数字都变成一共有斤2个一nn nnnn nn nn nnnn nn图14总和n = nxn2 = n3可见，解法4比较简单.2-2-5案例5空间最短路程例5（2005年贵阳（课改）中考）如图15, 圆柱体的底面周长为24 cm ,咼ab为4c/m,只蚂蚁从点a出发沿着 圆柱体的表面爬行到c点的最短路程人约是（）.(a ) 6 cm(b ) 12 cm(d ) 16 cm(c) 13 cmb解 把圆柱体沿母线ab展开，得图16所示的矩形，从a点到c点的最短路程就是线段ac的长（路径厶）.因为bc的 长是底面圆的周长的一半12cm,高仙的长是4伽，所以在 直角abc中，由勾股定理得ac

53、= iab2 + bc2 = <42 + 122 = 410 « 13 (cm).答案选（c）同意的举手.不同意的站起来.首先指出，上例的处理中有三个“化归”是很好的：化归1:把一个实际问题转化为一个数学问题；化归2：把一个空间问题转化为平面问题；化归3：把一个平面问题转化为解直角三角形.（用到两点之间直线距离最短）但是，在把空间图形展平时没有注意到由a点到c点有两类路径：路径1:只走侧面.展平后，转变为“两点之间直线距离最短”;路径2：既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时，也走“两点之间的直线距离”.这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性

54、.“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（逻辑漏洞1）,更没有看到笫二类路径的多样性（逻 辑漏洞2）.如图17,将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线 ab上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直 线距离：第一条，如例7所述，是沿侧面展平后的直线距离，有 厶=4c =jab2 + bc： =4価第二条，是先沿侧面走母线初，然后走圆的直径bc, 展平后有l, = ab + bc2 =4 + .-7t由于4 +兰4 +兰=12二4蔚4你，所以厶2比厶更小.例7的713答案是错误的.c图17那么，是不是任何情况下都有厶v厶呢？请看下例.例51如图15, 圆柱体的底面周长为16 cm ,高ab为4，一只蚂蚁从点a出发沿着圆柱体的表面爬行到c点的最短路程是cm .解如图17,沿用例6的解法，有厶=4c| = ja肝 + bc|2 = j42 + * = 4厉,=ab + bg =4 + , 710 4 + >4 + = 4 +