椭圆画法的探究及改进

1、椭圆画法的探究及改进刘顺强，戴锐，姜明，谭文斌，张宪录（合肥师范学院数学系,安徽合肥230061）摘要：椭i员i的不同画法散见于不同文献，木课题在整理分析几种已有的椭i员i画法 及其较为广泛的应用后，对椭圆的某些画法进行了改进和创新。本文重点在四心 圆画法基础上有所改进和创新，从而得到了菱形圆弧近似画法。文章主要分三节: 利用椭圆的性质画椭圆；椭圆的近似画法；趣味画椭圆。关键词：椭圆；10法；四心圆；圆弧1椭圆定性画法1. 1定绳长画椭圆将一根绳分别固定在图板的两点£、耳处旧套上铅笔,拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹就是一条椭圆曲线。1.2利用蝶形椭规画椭1（如图 1）,在四边形 abd

2、c 中,ab = cd,ad = |bc|,ad和bc有一个交点k。这些杆可以绕四边形的顶点转动。 一只手按住杆ab,让它固定，在纸面上，另一只手移动杆ad或bc,使ad绕a转动，bc绕b转动。这时，装在点k处的笔尖 图】就会画出椭圆。在教学中有广泛应用。d2椭圆的定量画法2.1椭圆的第二定义（如图2）设动点爪x, y）与定点f2 （c, 0）的距离2.2同心画椭圆和到定直线/： x=l的距离的比是常数£（日»0）,则点於的轨迹 图2 是椭圆。（如图3）以原点为圆心，分别以a、b （盘方0）为半径作 两个圆，点/是大圆上的一个点，点是创与小i员i的交点，过 点a作ana.

3、ox.垂足为n,过点作x轴的平行线交an于m 点，垂足为必 当点力在大圆上运动时，册点的轨迹是椭圆。2. 3采用在矩形中找点去描点画椭设想:在正方形中画一个内切圆，圆我们可以用描点 法去描绘(这些点的找法与上述方法相同)，如果我们把 正方形变换成一个矩形，那么原來正方形的圆会变换成一 个椭圆。(如图4)(1) 用直尺圆规画一个矩形abcd,边长为2a、2b (a>b)o(2) 找到ab、bc、cd、da的中点分别为e、f、g、h,连 接eg、fh,交于0点。(3) 在of、bf分别上找到四等分点并标上1、2、3, 4、图5直线 gl、g2、g3, e4、e5、e6. gl, e4 交于

4、i, g2, e5 交于 j, g3, e6 交于 k。 1、j、k就是椭圆上的点。用光滑的曲线连接e、i、j、k、f.这段圆弧就近似为 椭圆的四分之一。证明：(如图5)构造一个矩形abcd,边长分别为 2a, 2b(a>b)其中ab, bc, cd, da四边的中点分别为e, f, g, h, 先将 of, bf 分 n 等分。设 i 为 of, bf 第 i (i=l, 2, 3-n) 个等分点，现取of, bf的第i个等分点分别为m(-,0), aq(0,/?-),连接eq,连接gm并延长交eq于用点。n直线gr, eq的直线方程分别为：abx-niy-nih = oy2 v2乂+

5、厶=1椭圆方 a obix + any 一 abn = 0解方程得£点坐标为：经验证弓坐标满足.i +n i丿程。当等分点个数趋向无穷多吋，所有的£点连线即为一条椭圆曲线。2.4u!心扁圆的画法(1) 作竖直线段ac,以ac为一边作正三角形acb和acd,那么四边形abcd是 菱形，口其钝角是120度。(如图6)(2) 设边 ab、bc、cd、da 的屮点依次为 e、f、g、h。连接 bd、af、ag、ch、四段圆弧连成一条光滑曲线，非常近似于一个椭圆。(如图6)图6（1）已知椭圆的长轴aa',短轴bb',连接ab；图7（2）以0为圆心，a0为半径画弧交y轴

6、于g；（3）以b为圆心，bg为半径，画弧交ae于c；（4）作ac的垂直平分线，交射线02于"，交a0 于e；（5）分别在0a', 0g上取对称点e', f；（6）分别以e, £*, f,"为圆心，fb或fb，, ae或川&为半径画弧，这四段连接成 的图形即为所求近似的椭圆。这样画出的近似椭圆，一般叫作扁圆。出于每个象限内都冇两弧连接而成, 因而这种椭i员i也叫做两弧椭。2. 6椭圆的八心圆画法椭圆的长半轴a,短半轴b,如何运用直尺和圆规迅速而又比较准确的绘制椭 圆是工程上经常遇到的问题。廿前国内普遍采用四心画法。进过整理大量资料整 理出了八

7、心画法。这种画法准确度较高，而且便于线切割加工计算的套模。椭i员i p点，q点曲率半径分别为rb2/a,他二/b及r二临就很方便的运用直尺和 圆规，和四心画法类似，只是每象限用三段圆弧去拟合椭圆。做线段klh,使kl=a lh=b,然后以kh长为直径在kh线上方画半圆，并过l 点作wl丄kh,由圆幕定理可知，wl二临二r，再过k点作线段ksv,使ks=b sv=a.连接ls,再过h点作ht/ls,过v点作vj/th,那么：st二沪/a二心lj=/几二我们很容易在此图上找到（他一r）及（r心）线段，画出图9所示的椭圆。ir我们根据四点椭圆近似画法的原理，拓展了一种新的画法菱形圆弧近似 画法。菱形

8、椭圆近似画法的基木原理同四点椭圆近似画法相似，但在画法和逼近 圆半径的计算上有了很大的进步。同时对制图有很大的帮助。2.7菱形圆弧近似画法2.7. 1画法如下（如图10）首先画出菱形aecd,得出边长和zabdo由边长和角度得出大圆弧的半径r和小圆弧的半径ro延长ab到e,延长ad到h使ae = ah = r o同理，延长cd到k,延长cb到g使cg = ck = r o以a圆心r为半径作eho以c为圆点r为半径作gk以b |员|心r为半径作eg,同理以d为圆点r为半径作hk。四段圆弧拼接在一起就是椭 圆。因此，一个菱形可对应的画出一个椭圆。且椭圆的长轴er和短轴b由菱形 的边长和角度决定,所

9、以可用菱形画出椭圆(b = x(l-cos0), a = xsin/9)。图102. 7.2画菱形圆弧近似画法公式推导已知ab二x, zabo = /3, ao = fo o (a , b是椭圆的长轴和短轴)由己知可得出以下推导：设：以a为圆点的eh的半径为r,以b为圆点的eg的半径为“/.r = ae = ah = al r = bf = be ae = be + ab fo = a =l(/.r = x + r al = ao + lo = xsin(/?) + /7 = r又 ao = fo a = ao=fo = co = xsin/?(1)又/ fo = bo + fb = r +

10、xcos0 = a /.厂+ jc = xsin0 + b厂+ xcos0 = a/.兀一xcos0 = xsm/3 + b-a由和可得 b = x(-cosp) a - xsin/3 o由 r = x + r 厂+ xcos0 = d a - xsin(3 ；得：广=兀(sin 0 cos 0)r = x(l + sin /3 - cos /?)3椭圆的趣味画法13. 1七分之一椭圆。在图11中，坐标方格纸上找六个点,它们是a(l,4), b (4,2), c (2,8), d (8,5), e (5, 7) , f(7, 1)。将这 六个点按照光滑的曲线连接起来，就是一条椭圆曲线。 我们都知道丄二0. 14285714为无限循环小数，以上取得7坐标就是相邻两个数的值。可能这是一个巧合，更是体现数学魅力所在。3. 2动手折叠一个椭圆。如图12,在圆形纸片内，取一个定点l只要不在圆心,其他任何位置都行。在点l做上标记，每次将i员i纸片折起一角，使折 起部分的圆弧通过点l,将纸抹平，容易看出光滑全无折痕的椭圆形 空地。原理：假设通过点l的圆弧上的点为m,则那条折痕就是ml的垂 直平分线，再连接交折痕于点n,由垂直平分线性质可以知道，可知hnm = nl9 |lw|+|nl = l'n+nm = r ,即为定