2017-2018版高中数学第一章常用逻辑用语3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特

1、3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的含义 .2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念 3 能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法 ET问题导学 - 知识点一全称量词、全称命题 思考 观察下面的两个语句，思考下列问题： P： me 5; Q：对所有的mE R, me 5. (1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系? (2) 常见的全称量词有哪些？(至少写出五个). 梳理 (1)概念 短语“ _ ”“每一个”“任何”“ _ “一切”等都是在指定范围内，表示整 体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作

2、_ . 全称命题的真假判定 要判定全称命题是真命题，需要对集合 M中每个元素x,证明p(x)成立，但要判定全称命题 是假命题，只需举出一个 x M使得p(xo)不成立即可. 知识点二存在量词、特称命题 思考 观察下面的两个语句，思考下列问题： P： m5; Q:存在一个 mE Z, m5. (1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ (2) 常见的存在量词有哪些？(至少写出五个) 梳理 (1)概念 短语“ _ “ _ “有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样 的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作 _ . (2)特称命题真假判定2 要判定一个特称命题是真命题，只需在集合

3、 M中找到一个元素 X。，使p(x。)成立即可，否则 这一特称命题就是假命题 题型探究 类型一 全称命题与特称命题的判断 命题角度 i 全称命题与特称命题的不同表述 例 1 设p( x) : 2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题: (1) 全称命题：任意 x N, p( x); 特称命题：存在 x N, p( x). 反思与感悟 全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的 却只有一个，解题时注意理解 跟踪训练 1 “有些整数是自然数”这一命题为 _ 命题.(填“全称”或“特称”) 命题角度 2 全称命题与特称命题的识别 例 2 判断下列命题是全称命题，还是特称命

4、题： (1) 凸多边形的外角和等于 360; (2) 有的向量方向不定； 对任意角a，都有 sin 2 a + COS? a = 1. 反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词 .由于某些全称命题的 量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断， 同时要会用相应的量词符号正确表达命题 跟踪训练 2 判断下列命题是全称命题还是特称命题 . (1) 自然数的平方大于或等于零； 圆x2+ y2= 1 上存在一个点到直线 y= x + 1 的距离等于圆的半径； (3) 有的函数既是奇函数又是增函数； 3 对于数列 曲，总存在正整数 n,使得an与 1 之差的绝对值小于 0.01. 类

5、型二 全称命题与特称命题的真假的判断 例 3 判断下列命题的真假 (1) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x, y)都对应一点P 存在一个函数，既是偶函数又是奇函数； (3) 每一条线段的长度都能用正有理数来表示； 2 (4) 存在一个实数x，使得等式x + x+ 8 = 0 成立； 2 (5) 任意 x R, x 3x + 2= 0; (6) 存在 x R, x 3x + 2= 0. 反思与感悟 要判定全称命题“任意 x M p(x) ”是真命题，需要对集合 M中每个元素x, 证明p( x)都成立；如果在集合 M中找到一个元素xo，使得p(Xo)不成立，那么这个全称命题 就是假命题.

6、要判定特称命题“存在 x M p(x) ”是真命题，只需在集合 M中找到一个元素 Xo,使p(xo) 成立即可；如果在集合 M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题 . 跟踪训练 3 判断下列命题的真假： (1)有一些奇函数的图像过原点； 2 存在 x R,2x + x+ 10； 任意 x R, sin x + cos xx； 命题 p(x) : x 5x + 60； 命题 p(x) : sin xcos x. 4 反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围， 实质上是对命题意义的考查解决此 类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路 解决此类问题的关键

7、是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，禾U用函数、方程、不等 式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制 跟踪训练 4 若方程x2+ ax+ 1 = 0, x2+ 2ax+ 2= 0, x2 ax+ 4 = 0 中至少有一个方程有实根， 求a的取值范围. 当堂训练 1. 下列命题中，不是全称命题的是 ( ) A. 任何一个实数乘以 0 都等于 0 B. 自然数都是正整数 C. 每一个向量都有大小 D. 一定存在没有最大值的二次函数 2. 命题 p:存在 x N, x3x2;命题 q:任意 a (0,1) U (1 ,+)，函数 f (x) = log a( x 1) 的

8、图像过点(2,0)，则( ) A. p假q真 B. p真q假 C.p假q假 D.p真q真 3. 已知函数 f (x) = |2x 1|，若命题存在 X1, X2 a, b且 X1f(X2)”为真 命题，则下列结论一定成立的是 ( ) A. a 0 B. a1 4. 下列命题中，既是真命题又是特称命题的是 ( ) A. 存在一个 a，使 tan(90 a ) = tan a n B. 存在实数x，使 sin x= C. 对一切 a , sin(180 a ) = sin a D. 对一切 a , 3 , sin( a 3 ) = sin a cos 3 cos a sin 3 5. _ 特称命题

9、“存在 Xo R, | Xo| + 2W 0”是 _ 命题.(填“真”或“假”) 5 厂规律与方法 - ! 1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词 2 判定全称命题的真假的方法： 定义法：对给定的集合的每一个元素 x, p(x)都为真；代入法: 在给定的集合内找出一个 X0,使p(Xo)为假，则全称命题为假 3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素 Xo，使命题p(Xo)为真, 否则命题为假 提醒：完成作业 第一章 3 3.13.26 答案精析 问题导学 知识点一 思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句 Q在语句P的基础上增加了“所有的

10、”，可 以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分 (2) 常见的全称量词有： “任意一个” “一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等 . 梳理 (1) 所有 任意一条 全称命题 知识点二 思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句 Q在语句P的基础上增加了 “存在一个”， 可以判断真假，是命题语句P是命题Q中的一部分 (2) 常见的存在量词有： “存在一个” “至少有一个” “有些”“有一个”“对某个” “有的”等 . 梳理 (1) 有些 至少有一个 特称命题 题型探究 例 1 解 (1) 全称命题： 对所有的自然数 x,2 x是偶数； 对一切的自然数 x,2x是偶数； 对每一个自

11、然数 x,2 x是偶数； 任选一个自然数 x,2 x是偶数； 凡自然数x，都有 2x是偶数 (2) 特称命题： 存在一个自然数 X,使得 2x是偶数； 至少有一个自然数 X，使得 2x是偶数； 对有些自然数x，使得 2x是偶数； 对某个自然数x，使得 2x是偶数； 有一个自然数x，使得 2x是偶数 跟踪训练 1 特称 例 2 解 (1) 可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于 360”，故为全称命题 (2) 含有存在量词“有的” ，故是特称命题 (3) 含有全称量词“任意” ，故是全称命题 跟踪训练 2 解 (1) 全称命题 (2) 特称命题 (3) 特称命题 (4) 特称命题 例 3 解 (

12、1) 真命题 真命题，如函数f(x) = 0,既是偶函数又是奇函数 7 (3) 假命题，如边长为 1 的正方形，其对角线的长度为 2, 2 就不能用正有理数表示. 假命题，方程 x2 + x + 8= 0 的判别式= 310， 不存在 x R,使 2x2 + x+ 10. 故该命题是假命题. (3) 该命题是全称命题. / sin x + cos x= 2sin( x + -4) . 2 恒成立， 对任意实数x, sin x+ cos xx, 10(此式恒成立)， x R 2 (2) / x 5X + 60, (X 2)( x 3)0 , x3 或 xcos x, n 5 n 2k n+ 7x2k n + ( k Z). 4 4 跟踪训练 4 解 由方程x2 + ax+ 1 = 0 无实根，可知 a2 40,即a24,即一 2a2； 2 由方程x + 2