高中物理中的弹簧问题归类剖析----教师版

1、高中物理中的弹簧类问题归类剖析一教师版高考分析：轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物 体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化为守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有 所见.由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与z 相关的物理模型并进行分类，导致解题思、路不清、效率低下、错误率较高在具体实际问题中，由于 弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加z弹簧在伸缩过程 中涉及力和加速度、功和能等多个物理概念和规律，所以弹簧类问题也就成为高考中的重、难、热点. 弹簧类命题突破

2、要点：1. 弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力当题冃中出现弹簧时，要注意弹力的大小与 方向时刻要与当时的形变和对应.在题目屮一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现 长位置，找出形变量;i与物体空间位置变化的儿何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此來 分析计算物体运动状态的可能变化.2. 因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变最可以认为不变. 因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力人小不变，即弹簧的弹力不突变.3. 在求弹簧的弹力做功时，i大i该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也 可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定

3、律求解.同时要注意弹力做功的特点：廉二-（+kxf）,弹力的功等于弹性势能增量的负值或弹力的功等于弹性势能的减少.弹性势能的公式丘二丄上乙高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以2能量的转化与守恒的角度来求解.一、“轻弹簧”类问题在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是-种常见的理想化物理模型. 山于“轻弹费”质量不计，选収任意小段弹簧，其两端所叉张力-定平衡，否则，这小段弹簧的加速 度会无限人.故簧轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力弹一端受力为f,另一 端受力一定也为若是弹簧秤，则弹簧秤示数等于弹簧自由端拉力的大小.【

4、例】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量加不能 p mp忽略，弹簧及挂钩质屋不计，施加水平方向的力斥、f2 ,且f>f“则弹 二;簧秤沿水平方向的加速度为，弹簧秤的读数为图3-7-1【解析】以整个弹簧秤为研究对彖，利用牛顿运动定律得：f.-fma, 即“上空m仅以轻质弹簧为研究对彖，则弹簧两端的受力都存，所以弹簧秤的读数为人. 说明：的作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的. 【答案】。=心空片m练习：如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为f的拉力作用， 而左端的情况各不相同： 弹簧的左端周定在墙上；w

5、vwwvw 弹簧的左端受人小也为尸的拉力作用；弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑-a/wwvwwv动.若认为弹簧质量都为零，以厶、厶、u.厶依次表示四个弹簧的伸长量，-ama/wwwv则有（）a. slb. iu c.厶>厶d u=l【解析】弹簧伸长量由弹簧的弹力（尸弹）人小决定.由于弹费质量不计，这四种情况下，尸弹都等于弹簧右端拉力尺因而弹簧伸长量均相同，故选d项.答案d二、弹簧长度的变化问题（胡克定律的理解与应用）设劲度系数为斤的弹簧受到的压力为-片吋压缩量为吶，弹费受到的拉力为的时伸长量为比，此 时的“-”号表示弹簧被压缩.若

6、弹簧受力由压力-片变为拉力鬥，弹赞长度将由压缩量-禹变为伸长 量兀2，长度增加量为xj 4-x2.由胡克定律有:-耳=/c（-xt）, f2 =kx2.则:f2 - （-/*； ） = kx2- （kxx）,即 af = kax说明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时心表示的物理意义是弹簧长度的 改变最，并不是形变最.klk2/【例】如图3-7-6所示，劲度系数为人的轻质弹费两端分别与质量为、叫的物块1、 系数为人的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡 状态.现将物块1缓慢地竖直上提，直到卜-而那个弹簧的卜端刚脱离桌而.在此过程中， 物块2的

7、重力势能增加了,物块1的重力势能增加了【解析】由题意对知，弹簧心长度的增加量就是物块2的高度增加量，弹簧心长度的 增加量与弹簧«长度的增加量之和就是物块1的高度增加量.由物体的受力平衡可知，弹簧&2的弹力将由原來的压力（勺+®）g变为0,弹簧人的 弹力将由原來的压力?必变为拉力®g，弹力的改变量也为（加1 +?2）g 所以k、k?弹簧 的伸长量分别为：丄（“十加2）g和亠側+?2）g故物块2的重力势能增加了+%）g2 ,物块1的重力势能增加了 q + 2）沟側+%）g2k2人 k2【答案】 m2（ml+m2）g2+k2k、 k2三、与物体平衡相关的弹簧问题

8、【例】（2013年山东卷）如图所示,用完全相同的轻弹簧a、b、c将两个相同的小球连接并悬挂,小 球处于静止状态，弹簧a与竖直方向的夹角为30°,弹簧c水平，则弹簧a、c的伸长量z比为,故a. v3:4 b. 4: v3 c. 1:2 d. 2:1【解析】将两小球看做一个整体，对整体受力分析，可知整体受到重力、a、c 的拉力共3个力的作用，由于弹簧处于平衡状态，将轻弹簧a的拉力沿竖直方 向和水平方向分解可知水平方向上满足fax=fa° = fc巧：化=2:1,又三个弹簧的劲度系数相同，据胡克定律f = kx可知弹簧人、 c的伸长最之比为2:1。【答案】df图练习1：（2010

9、年山东卷）如图2所示，质量分別为、两个物体通过轻弹赞连接，在力f的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动（"在 地面，在空中），力fj水平方向成角.则勺所受支持力n和摩擦 力/正确的是（）n =的g + fg fsinp(a)n = mg + m2g - feos 0(b)(c) 分析f = fcos&（d）f = fsi根据题意有对两者用整体法，因在力f的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动，得水平和竖直方向受力平衡，所以竖直方向n = g +加2g fsin°,故人正确， 水平方向/ = fcos&,故（；正确，答案ac选项.练习2：如图所示，在水平板左端有一

10、固定挡板，扌当板上连接一轻质弹簧。紧贴弹簧放一质冕为m的 滑块，此时弹簧处于自然长度。己知滑块与挡板的动摩擦因数及最人静摩擦因数均为侖门。现将板 的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为（），最后直到板竖直，此过程屮弹簧弹力的人小i；随夹角（） 的变化关系可能是图中的（）【解析】选収滑块为研究対象，其肯定受到竖直向下的重力mg、垂直斜血向上的支持力n （大小为 mgcos 0 ）和沿斜而向上的摩擦力f的作用，可能述会受到沿斜面向上的弹簧弹力f的作用，当（）较 小，即mgs in 3 < li mgcos 0时，弹簧弹力f二0,代入数据可得此时。< n /6,据此可排除选项ab； 当 m

11、gs in 0 > u mgcos 0 ,即 0 > jt /6 时,fho,根据平衡条件可得 f=mgsin 0 - u mgcos 0 ,当 0 二兀v| 丄/3时，f二3 mg> 2mg,所以选项c正确，d错谋。本题答案为c。四、与动力学相关的弹簧问题【例】如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球a由弹簧正上方某高度自o由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹赞始终服从胡克定律，那么 在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是（）a. 小球加速度方向始终向上b. 小球加速度方向始终向下c. 小球加速度方向先向下后向上d. 小球加速度方向先向上后向下参考答案:

12、c （试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的人小关系）练习1：如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的0点，自由仲长到b点.今用一小物体ni把弹簧 压缩到a点，然后释放，小物体能运动到c点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法止确的是（）a. 物体从a到b速度越来越人，从b到c速度越来越小b. 物体从a到b速度越来越小，从b到c加速度不变c. 物体从a到b先加速后减速，从b直减速运动d. 物体在b点受到的合外力为零 参考答案:c练习2：如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在0点位置时弹簧 没冇形变，现用力将物体压缩至a点，然后放手。物体向右运动至c点而静止，

13、ac距离为l。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至a点，则第二次物体在停止运动前经 过的总路程s可能为：a. s=lb. s>lc. s<ld.条件不足，无法判断参考答案:ac（建议从能最的和度、物块运动的情况考虑）练习3：如图所示，劲度数为斤的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置丁水平面上质量为加的物体接触（未连接），弹簧水平1无形变。用水平力f缓慢推动物体，在物体开始向左运动，运动的最大距离为弹性限度内弹赞长度被压缩了 “0,此时物体静止。撤去f后, 4勺。物体与水平面间的动摩擦因数为"，重力加速度为&。 a.撤去f麻，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动kxb.

14、 撤去f后，物体刚运动吋的加速度大小为一2-“gmc. 物体做匀减速运动的时i'可为2d. 物体开始抽左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为-处） k答案bd五、弹簧弹力瞬时问题（弹簧的弹力不能突变）弹簧（尤其是软质弹簧）弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端-般与物体连接，因弹费形变 过程需要一段吋间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变.即可以认为 弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变.【例】如图所示，木块/与3用轻弹賛相连，竖直放在木块c上，三者静置于地面，4、b、c|的质量z比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木

15、块c的瞬时，木块/和岁b的加速度分别是心与切分别多少？|【解析】由题意可设/、b、c的质量分別为加、2加、3?，以木块/为研究对彖，抽出木块c前，£木块/受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块c的瞬时，木块/受到重力和弹力的大小和 门 方向均不变，故木块/的瞬时加速度为0.以木块4 3为研究对彖，由平衡条件nj'ml,木块i c对木块b的作用力fch = 3加g .以木块b为研究对象，木块8受到重力、弹力和三力平衡，抽出木块c的瞬时，木块b受到 重力和弹力的大小和方向均不变，耳$瞬吋变为0,故木块c的瞬吋合外力为3/g,竖直向下，瞬时加 速度为1.5g.【答案】0 , 1.5g说

16、明：区别于不可伸长的轻质绳屮张力瞬间町以突变.练习：如图3-7-4所示，质蜃为加的小球用水平弹簧连接，并用倾角为30°的光滑木板力3托住，使 小球恰好处于静止状态.当mb突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为（）a. 0b. 大小为竺g,方向竖直向下c. 大小为巫g,方向垂直于木板向卞3d. 大小为半g,方向水平向右【解析】末撤离木板前，小球受重力g、弹.簧拉力f、木板支持力心作用而平衡， 如图3-7-5所示，有凡=冬.cos&撤离木板的瞬间，重力g和弹力f保持不变（弹簧弹力不能突变），而木板支持力 fn立即消失，小球所受g和f的合力人小等于撤之前的厶，（三力平衡）,方向与化相

17、反，故加速度方向为垂直木板向下，大小为“也=丄=巫&【答案】c.m cos。 3六. 与弹簧相关的图像问题【例】一根大弹簧内套一根小弹簧,大弹簧比小弹簧长0. 2m,它们的一端固定,另一端自由,弹力与形变量的关系如图所示，求这两根弹簧的劲度系数k,大弹簧）和id小弹簧）分别为多少?（m）（参考答案：f二kx a f=k a x ki=100n/m k尸200n/m）练习1：某同学在做“探究弹力和弹赞伸长的关系”的实验吋，他 先把弹费平放在桌ffi±,使其h然伸长，用直尺测出弹簧的原长s再把弹赞竖直悬挂起來，挂上钩码后测出弹簧伸长后的长度l,把l-lo作为弹簧的伸长量x,这样操

18、作, 由于弹簧自身重力的彩响，最后得出的图线，可能是图3-6-6 的（）cd图 366答案：c练习2：如图所示，一轻质弹簧竖肓立在水平地面上，弹簧一端固定在地面上。一小球从高处白 山卞落到弹簧上端，将弹簧压缩至最低点。在小球开始下落至最低点的过程中，弹簧始终处于弹性限 度内。在此过程中，能正确表示小球的加速度日随下降位移/的大小变化关系是卜面图像中的答案：b七、弹簧形变量可以代表物体的位移弹簧弹力满足胡克定律f = kx,具屮x为弹簧的形变量，两端与物体相连时兀亦即物体的位移,因此弹簧可以与运动学知识结合起来编成习题.【例】如图3-7-7所示，在倾角为0的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接 的物

19、块4 3,其质量分别为忤、叫，弹簧的劲度系数为匕c为一固定挡板, 系统处于静上状态，现开始用一恒力f沿斜面方向拉力使z向上运动，求b 刚要离开c时/的加速度a和从开始到此吋a的位移d （重力加速度为g）.【解析】系统静止时,设弹簧压缩量为西，弹簧弹力为片，分析力受力可 知：百=ax】二 w fgsin 0解得乜=迪艺k在恒力尸作用下物体/向上加速运动时，弹簧由压缩逐渐变为伸长状态设物体3刚要离开挡板c时弹簧的伸长量为也，分析物体b的受力有：肚二叫gsin。，解得*严巴 k设此时物体力的加速度为a ,由牛顿第二定律冇：f-magsin o-kx2 = maa解得：a =尸 一）g sin

20、76;叫k八、最大转速和最小转速问题因物体/与弹簧连在一起，弹赞长度的改变量代表物体力的位移，故有d = x1+x2 ,即 d = （b+s）gsin°答案d【例】冇一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为k的轻弹簧，其一端固定于轴0上，另一端 系着质量为m的物体a,物体a与盘而间最人静摩擦力为ffm,弹赞原长为l,现将弹赞伸长人厶后置于旋转的桌面上，如图5所示，问：耍使物体相对于桌面静止，圆盘转速n的最大值和最小值各是多 少？解析：当转速n较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即: kl + ffm厶+ m）”=丄咛+ f加1 2ti m（厶+ a厶）当转速n较小时,静摩擦力与弹簧弹力反向

21、,即：kkl 一 ffm -加（2勿2 ）2（厶 + aa）沁-f伽加（厶+ 厶）所以圆盘转速n的最大值和最小值分别为:拓展：若盘面光滑，弹簧的原长为l0,当盘以w匀角速度转动吋，弹簧的伸长量为多少?kx = mw2(l0 + ax)九、弹力变化的运动过程分析（弹簧振子振动模型）弹簧的弹力是一种rfl形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对 应.一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量厂与物 体空间位置变化的儿何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形 变量相关.以此来分析计算物体运动状态的可能变化.【

22、例】如图3-7-8所示，质量为加的物体力川一轻弹簧与卜方地面上质量也为刃的物休8相连，开始 时/和3均处于静止状态，此时弹簧压缩量为, 条不可伸长的轻绳绕过轻滑伦，一端连接物体/、另一端c握在手屮，各段绳均刚好处于伸直状态，物体/上方的一段绳子沿竖直方向且足够长.现在c端施加水平怛力f使物体/从静止开始向上运动.（整个过程弹簧始终处在弹性限度以 内）.如果在c端所沌加的恒力大小为3哗,贝ij在物体b刚要离开地面时物体/的速度为多 大？（2）若将物体3的质量增加到2加，为了保证运动小物体b始终不离开地而，则f最大不 超过多少？饥闷自主招生选做）【解析】由题意可知，弹簧开始的压缩最二竽，物体3刚要

23、离开地血时弹簧的伸长量也是兀）=些.k若f = 3mg，在弹簧伸长到兀时，物体8离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前和等，f所做的功 等于物体/增加的动能及重力势能的和.即：f '2x = /ng 2x0 +mv2 得：v = 2j2gx°(2) 所施加的力为恒力耳时，物体b不离开地而，类比竖总弹赞振子，物体力在竖直方向上除了受变 化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力故物体/做简谐运动.在最低点有：花-加g +仇二加q,式屮力为弹簧劲度系数，q为在最低点物休/的加速度.在最高点，物体b恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸,伸长量为2x°,则:z;(2x0) + mg-f0=

24、ma2而kx°g，简谐运动在上、下振幅处q=e，解得：他=驾也对以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力坨.物体/做简谐运动的最低点压缩量为儿，最高点伸长量为2%,则上下运动屮点为平衡位置，即伸长量为所在处.由吨+ k牛f乙，解得q答案2甌晋说明：区别原长位置与平衡位置.和原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关，和平衡 位置对应的位移量打回复大小、方向、速度、加速度相关.十.与弹簧相关的临界问题通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹赞形变 量达到最人；使物体恰好要离开地而；相互接触的物体恰好要脱离等此类问题的解题关键是利用好 临界条件，得

25、到解题有用的物理量和结论.提示：两物体分离之前加速度与速度均相同，刚分离时二者之间弹力为零。【例】如图3-7-9所示，4 3两木块叠放在竖直轻弹簧上，己知木块4 3的质量分别 为0.42kg和0.40馆，弹簧的劲度系数k = oon/m,若在/上作用一个竖直向上的力f , 使/由静止开始以0.5/w/52的加速度竖直向上做匀加速运动(g = lom/s2 )求：(1) 使木块/竖直做匀加速运动的过程中，力f的最大值；(2) 若木块由静止开始做匀加速运动，氏到4 b分离的过程屮，弹簧的弹性势能减少了 0.248丿，求这一过程中f对木块做的功.【解析】此题难点在于能否确定两物体分离的临界点.当f

26、= ()(即不加竖直向上f力)时，设木块b替放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x,有：kx = (w t + mr )g ,即他+ w)g k对木块/施加力f , a b受力如图3-7-10所示，对木块/有：f + n-叫g = tnaa对木块 b 有：kx'- n 7g = mranb| |itn m厨图 3-7-10可知，当nho时，木块/、b加速度和同，由式知欲使木块力匀加速运动，随n减小f增大，当n = 0时，f取得了最人值化，即：fm=ma(a + g) = an乂当n = 0时，as b开始分离，由式知，弹簧压缩量kx' = mba + g),贝ljx' =

27、+k木块/、b的共同速度：v2 =2a(x-x')由题知，此过程弹性势能减少了 =伤,=0.248丿设f力所做的功为，对这一过程应用功能原理，得：+(® +叫)g(x-0)-£p2联立式，r ep = 0.248j，得：wf = 9.64x10 2j【答案(1) fm =4.4w % =9.64x10-2丿练习1：如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手 将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射illi,则在弹射 过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ()a. 一直加速运动b.匀加速运动c.先加速运动后减速运动d

28、.先减速运动后加速运动参考答案：c【解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力.所以，对物体进行准确的受力分析 是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用.刚放手时，弹力大于重 力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹赞形变量变小，弹力随z变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相筹的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最人； 此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离.练习2：如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为力的重物，先由托盘托住加，使弹簧比自 然长度缩短l，然后山静止开始以加速度。匀加速向下运动。已知

29、°yg,弹簧劲度系数为求经过多少时间托盘m将与加分开？【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无札i互作用力，此时重物只受到重力和 弹簧的作用力，在这两个力的作用下，当重物的加速度也为。时，重物与托盘恰好分离。由于dvg,故此吋弹簧必为伸长状态，然后由牛顿第二定律和运动学公式求解: 根据牛顿第二定律得：= 加（g q）由得：kl + x = ctt由运动学公式有：2kln（g_a） = 1冲2联立式有：k2解得坐皿旦v ka【点评】本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题烈的关键是找出临界条件，同时述耍 能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这

30、样探索：若将此题条件改为 qg,情况乂如何呢？练习3： 弹簧秤的秤盘质最尸1.5kg,盘内放一质最为zf10.5kg的物体只弹簧质量不计，其劲度系数为a=800n/m,系统处于静止状态，如图2所示。现给p施加一个竖、占 直向上的力尸，使尸从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0. 2s内尸是变化的， 在0.2s后是恒定的，求尸的最大值和最小值各是多少？ （g=10m/s2）冒解析 因为在f0. 2s内尸是变力，在f0. 2s以后尸是恒力，所以在f0. 2s时，p 冒离开秤盘。此时p受到盘的支持力为零，由于盘的质量也二1.5kg,所以此时弹簧不能处亘于原长。设在00.2s这段时间内p向上运动

31、的距离为x,对物体p受力分析，根据牛顿 第一定律iij得：ffs-nhgnha>图？对于盘和物体戶整体应用牛顿第二定律可得:-x 一（力+ 加2）g =（加| + 加2）d ,1 2令用0,并由上述二式求得x= -丘 ，而x = 2at '所以求得沪6m/s',当p开始运动时拉力最小，此时对盘和物体p整体冇凡产（勿+底）沪72n, 当戶与盘分离时拉力尸最大，血二加3g）=168n。点评弹赞长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，从而分析物体 运动规律。而物体的运动乂导致弹力的变化，变化的规律乂会影响新的运动，由此画出弹簧的儿个特 殊状态（原长、平衡位

32、置、最人长度）尤其重要。十一、弹力做功与弹性势能的变化问题弹赞伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹赞的弹性势能可以与机械能守恒规律综合应用, 我们用公式ep=-kx2算弹簧势能，弹簧在相等形变量时所具有的弹性势能相等一般是考试热点.2弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下四种方法求解：(1) 因该变力为线性变化，可以先求平均力，再川功的定义进行计算；(2) 利jljf-x图线所包围的面积人小求解；(3) 用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和；(4) 根据动能定理、能量转化和守恒定律求解.山于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，

33、因此，在求弹力做功 或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度來求解.特别是涉及两个物理过程屮的弹簧形 变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解.【例】如图3-7-13所示，挡板p固定在足够高的水平桌面上，物块/和b人小可忽略，它们分别带 有+0和+qb的电荷量，质量分別为®和叫两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不对伸长的轻绳跨过滑轮，一端与b连接，另一端连接轻质小钩.整个装一气 置处于场强为e、方向水平向左的匀强电场中，a. 3开始时静止，已知弹(簧的劲度系数为丘，不计一切摩擦及力、b间的库仑力，a. b所带电荷量保彳持不变，b不会碰到滑轮.一图3713(1) 若在小钩上

34、挂质量为m的物块c并由静止释放，可使物块/对挡板p的压力恰为零，但不会离开 p ,求物块c下降的最大距离h.若c的质量为2m，则当a刚离开扌当板p时，b的速度多大？【解析】通过物理过程的分析可知，当物块力刚离开挡板p时，弹力恰好与/所受电场力平衡，弹 簧伸长量一定，前后两次改变物块c质量，在笫(2)问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势 能的改变相同，町以替代求解.设开始时弹簧压缩量为西，由平衡条件kx严qr可得x严坐k设当/刚离开挡板时弹簧的伸长量为也，由可得：x严器故c下降的最大距离为：h = xx2 由三式可得：心¥(°+0)k(2) 由能量守恒定律nj知，物块c

35、下落过程中，c重力势能的减少量等于物块b电势能的增量和弹簧 弹性势能的增量以及系统动能的增量z和.当c的质量为m时，有：mgh = o.eh + ae当c的质呆为2m时，设/刚离开挡板时的速度为则有：2mgii =1(2m + mb)v2由三式可得/刚离开卩时3的速度为：警(0+更 v k(2m + mb)【答案】(1)心¥(0+0) (2) 2鸞沪+?) ky k(2m + mb)练习1： (2010年福建卷)如图3(甲)所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，z二0时刻，将一金 属小球从弹簧正上方某一高度处由静止釋放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然示又被弹起离开 弹簧，上升到

36、一定高度后再下落，如此反复.通过安装在弹簧下端的压力传感器,测出这一过程弹簧i刎2弹力f随时间/变化的图像如图3(乙)如示，则()(a) /时刻小球动能最人.(b) -吋刻小球动能最大.(c) °厶这段吋间内，小球的动能先增加后减少.(d) °厶这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能.【解析】小球在接触弹簧z前自由落体，碰到弹簧后先做加 速度不断减小的加速运动，当加速度为零即重力等于弹簧弹力时加速度达到最大值，而后往卜做加速度不断增人的减速运动，与弹簧接触的整个下降过程，小球的动能和重力势能转化为弹簧的弹性势 能.上升过程恰好与下降过程互逆.由乙图町知tl时刻开始

37、接触弹簧；t2时刻弹力授大, 小球处在最低点，动能最小；s时刻小球往上运动恰好要离开弹簧；t2 - /3这段时间内， 小球的先加速后减速，小球的动能先增加后减少.答案c选项正确.练习2：如图12所示，质量为血的物体a经一轻质弹簧与下方地更上的质量为m, 的物体b相连，弹簧的劲度系数为k, a、b都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过 轻滑轮，一端连物体a,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，a上方的 段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为血的物体c并从静止状态释放，已知它恰好能使b离开地而但不继续上升。若将c换成另一个质量为（码4吋的物体d,仍从上 述初始位置fit静止状态释放，则这次

38、b刚离地时d的速度的大小是多少？已知璽力加速 度为go解：过程分析法（1）开始时，a、b都静止，设弹簧压缩量为贝u：得出：1*（2）挂上c由静止释放，山b刚好离开地血得：得出：* （3）挂上c肓至b刚好离开地而，由系统机械能守恒得:曲渥（班+ x,）4-aj =4 £）其中ar为弹簧弹性势能的增加量（4）若将c换成d后，当b刚好离开地面时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同,afi +叫或兔+ 枫）j = （«!）g（西 + 羽）ffl 12得出:以上两式联立得出: 说明：研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结 合往往在一些题目 11需要综合使用.练习

39、3：如图所示，光滑斜面倾角为，c为斜面上固定挡板，物块“lib通过轻质 弹簧连接，a、b处于静止状态，弹簧压缩量为x.现对a施加沿斜面向下的外力使 弹簧再压缩3x,之后突然撤去外力，经时间t,物块a沿斜面向上运动的速度为乙 此吋物块b刚要离开挡板.已知两物块的质量均为m,重力加速度为g.下列说法 正确的是（ ）mg sin 0a. 弹簧的劲度系数为兀b. 物块b刚要离开挡板时，a的加速度为gsin&c. 物块a沿斜面向上运动速度最大时，物块b对扌当板c的压力为0 5ingxsxo + mv20.撤去外力后，经过时间t,弹簧弹力对物块a做的功为2【解析】x答峯】ad工解析】试题分4斤物

40、敗a静止时，彈簧的压縮歴希心 只寸a进行受丈j分析可知 wgsin 8 = 心、因此弼箕的劲度系数上=w&sm & ,八 正确，当 匕 将曼芮开档板时，弾策对 b 向上的弹力等于 k后=存左sm & 迄时弾簧对a的弾戈3向下的弾箕尢也是w乌sin & 对恸体a,牛艮据牛顿第二 定徉得二 心 +wg sin & = ma、 可知 a的加遠度希2gsm & , b 错匚吴罗a物体向上运动速度 电大时，弼貧的压縮量希心 此时b5?寸档板的压丈）等于2wgse &, c 错泯；a在最下轴时， 弾籍压縮量冷4x, b梧娶离开档板时. 彈賛伸长量共因

41、t a移动的距离冷5心 才艮据动 旨色5自理.，一5xeg sin & + 炉 =zv2 ,匡li匕弾簧只寸 a 倍5?的功 iv = 5xwg sin. & + 丄 zzv2 , d 正.确.问题拓展1：求在时间t内物块a运动的最大速度。问题拓展2：求物块a运动到弹簧原长时的速度。十二、弹簧弹力的双向性弹簧可以伸长也可以被压缩，因此弹簧的弹力具有双向性，亦即弹力既可能是推力乂可能是拉力, 这类问题往往是一题多解.【例13】如图3-7-15所示，质量为加的质点与三根相同的轻弹簧相连,静止时相邻两 弹费间的夹角均为120°,已知弹簧°、b对质点的作用力均为f,

42、则弹簧c对质点作用力 的人小可能为 （）an 0b> f + mg c、f - mg d、mg - f【解析】 由于两弹簧间的夹角均为120° ,弹簧心对质点作用力的合力仍为f,弹簧e 对质点有可能是拉力，也有可能是推力，因f与驱的大小关系不确定，故上述四个图3715选项均有可能正确答案:abcd 答案】abcd十三、弹簧串、并联组合1和簧申联击并联斋劲度系数会发牛变化，弹簧组合的劲度系数可以用公式计算，高屮物理不耍求 用公式定量分析，但弹簧串并联的特点要掌握:弹簧串联时，每根弹簧的弹力相等;原长和同的弹簧并 联时，每根弹簧的形变量相等.图 3-7-17【例14】如图3-7-1

43、7所示，两个劲度系数分别为铅心的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细 纯连接，并冇一光滑的轻滑轮放在细线上;滑轮下端挂一垂为g的物体后滑轮下降，求滑轮静 止后重物下降的距离.【解析】两弹簧从形式上看似乎是并联，但因每根弹簧的弹力相等，故两弹簧实为串联;两 弹簧的弹力均g,可得两弹簧的伸长量分别为,心亠,两弹簧伸长量之和22l2 広“州+禺，故重物下降的高度为"亠匚从字）答案g&+/g-24何&4讣2十四、生产和生活中的弹簧图 3-7-21【例17】如图3-7-21所示表示某同学在科技活动中自制的电子秤原理，利用电压表示数來指示物 体质量，托盘与电阻可忽略的弹簧札i连，托盘与弹

44、簧的质疑均不计，滑动变阻器的滑 动头与弹赞上端连接；当托盘中没放物体且s闭合时，电压表示数为零.设变阻器的总 电阻为r、总长度为厶，电源电动势为e、内阻为厂，限流电阻阻值为他，弹簧劲度 系数为丘，不计一切摩擦和其他阻力.推导出电压表示数匕与所称物体质最加的关系式.（2）由（1）结果可知，电压表示数与待测物体质量不成正比、不便于进行刻度为使电 压表示数与待测物体质量成正比，请利用原有器材进行改进并完成电路原理图，推导 出电压表示数匕与待测物体质虽加的关系式.【解析】设变阻器上端至滑动头的长度为厂据题意彳认仏，讣“十已解得“莎牆而（2）改进后的电路如图3-7-22所示,则有:mg = kx,图 3

45、-7-22rx=-r,解得：lu 二 mgrex kur + +r)【答案】(1)mgremgr + kl(r( + r)(2)mgrekl(r + ri + r)练习：“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置 的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架a、b固定在待测系统上，滑块穿在a、b间的水平光滑杆上，并用轻弹赞固定于支架a上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对 于支架发生位移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号 从1, 2两接线柱输出.巳知：滑块质量为ni,弹簧劲度系数为k,电源电动势为e,

46、内阻为r、滑动 变阻器的电阻随长度均匀变化，其总电阻kmr,有效总长度l,当待测系统 静止时，1、2两接线柱输出的电压u°=0.4e,取a到b的方向为正方向，(1) 确定“加速度计”的测量范围.(2) 设在1、2两接线柱间接入内卩fl很大的电压表，其读数为u,导出加速度的 计算式。试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为i,导出加速度的 计算式。【解析】(1)当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压u0=e - r12/ (r+r)由已知条件u尸0.4e可推知，r沪2r,此时滑片p位于变阻器中点，待测系统沿水平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最人

47、伸长吋刻，p点只能滑至变阻器的最左 端和最右端，故冇：ai=kl/2m,念二-kl/加所以"加速度计”的测量范围为 -kl/加，l/加,当1、2两接线柱接电压表时，设p由屮点向左偏移x,则与电压表并联部分 的电阻 ri=(l/2-x) 4r/l由闭合电路欧姆定律得：t=e/(r+r)故电压表的读数为：u=t心根据牛顿第二定律得：k x=ma建立以上四式得：a=kl/加-5klu/ (4em),(3) 当1、2两接线柱接电流表吋，滑线变阻器接在1, 2间的电阻被矩 路设p由中点向左偏x ,变阻器接入电路的电阻为： &二(l/2+x) 4r/l由闭合电路欧姆定律得：e=i (r2

48、+r)根据牛顿第二定律得：k x=ma联立上述三式得：a=kl (e-3t r)/(41 m r)十五电场中的弹簧问题例如图所示，绝缘材料制作的轻质弹簧劲度系数为厶一端固定在墙壁上，另一端与带正电、电量为g的滑块力连接，滑块为绝缘材质，不带电，与滑块接触而不粘连，两滑块质量相等。 水平面光滑不导电，整个装置处于匀强电场中，电场强度为仅最初电场水平向左，此吋装置保持静止，现突然将电场方向变化为水平向右，大小不变，在以后的过程中，两滑块在某处分离后，滑块昇 作简谐运动。求：(1) 两滑块分离吋弹赞的形变量;(2) 滑块获得的最大动能。【解析】(1)爪一起向右加速运动，对整体：qe- kmafama

49、两滑块分离时,/勺尸0，加速皮为零;由此得：尸塑k所以,这一过程有:（2）分离时，弹簧的势能与戢初位置弹簧的势能相等。qe*2x=2inv,获得的最大动能为fif丄/几 由此得ef业 o2k答：（1）两滑块分离时弹簧的形变量为些 k（2）滑块获得的最大动能为唾k练习1 如图所示，在光滑绝缘水平面上放置三个电荷 量均为g g>0）的相同小球，小球之间卅劲度系数均为編的轻质弹簧绝缘连接。当三个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为/,已知静电力常量为力，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（）a. /+-v b. 1-c. /-当vd. /-凹-2kfkf4kf2如 2【解析】c.根据题意

50、知，三个小球所带的电荷相同，故两两之间是相互排斥的。以第三个小球为 研究对象进行受力分析，如图所示。设弹簧的弹力为f,因为三个小球处在静止状态，根据受力平衡可得尸二件+件，其中鬥3是第二个小球少笫三个小球的作用力，件是第一个小球少笫三个小球的 作用力，2 2即 kx =+ k,/2 （盯解得“彩，故每根弹簧的原长为心一日一券。由以上分析可知，正确选项为c。练习2.如图甲，在水平地面上固定一倾角为的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为幺方 向沿斜血向下的匀强电场中。一劲度系数为&的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于°片g图2自然状态。-质量为刃、带电量为q（7>

51、;0）的滑块从距离弹簧上端为®处静 止禅放，滑块在运动过程屮电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械 能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g°（1）求滑块从静止释放到为弹簧上端接触瞬间所经历的吋间加（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为兀，求滑块 从静止释放到速度人小为仏的过程中弹簧的弹力所做的功他（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图屮呦出滑块在沿斜面向下 运动的整个过程中速度与吋间关系旷广图像。图中横朋标轴上的如直及h 分别表示滑块第一次与弹费上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度 减为零的时刻，纵处标轴上的刃为滑块在九时刻的速度人

52、小，是题中所指 的物理量。（木小题不要求写出计算过程）【解析】本题主耍是考查弹簧的弹力、电场力和重力做功的综合性问题。（1）根据题意可知，滑块从距离弹赞上端为so处静止释放，下滑的加速度大小设为0。滑块在 与弹费接触z前一直做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律和运动学规律可得mgsin 0+ qbma s a22ms()联立式解得“qe + mgsin 0（2）当滑块的速度大小为授大值几时,体处于受力平衡状态，设此时弹簧压缩量为心，则滑块的加速度为零，物kx° = mg sin 0 + qe在滑块从斜面静止释放到速度授大这一过程中，滑块只受到弹力、电场力和重力的作川，it!动

53、能定理解得（/wgsin + ge）（s（）+兀（）+ 0 = mvn -0联立式解得注屁_（外必（时泌也空）2k（3）根据题意，滑块在沿斜而向下运动的整个过程中速度与吋间关 系旷z图像如下图。练习3. （2014-青羊区）如图所示，倾角为&的光滑斜面下端固定一绝缘轻弹簧，対点固定一个质量为人带电量为-g的小球仏整个装置处在场强大小为从方向沿斜而向下的匀强电场屮。现把一个带电量为+q的小球户从河点由静止释放，释放后"沿着斜面向下运 动。w点与弹赞的上端和册的距离均为弘p、"以及弹赞的轴线“与斜而平行。两小球均可视为质点和点电荷，弹簧的劲度系数为,静电力常量为乩则（）

54、a. 小球户返回时，不可能撞到小球02qe + zwgsin o-k卑b. 小球"在艸点的加速度大小为亘mc. 小球戶沿着斜面向下运动过程小，其电势能一定减少d. 当弹簧的压缩最为必+簣血°时,小球户的速度最大【解析】ab.根据动能定理知，当小球返凹到川点，由于重力做功为零，匀强电场的电场力做功为零，电荷0的电场对戶做功为零，则合力做功为零，知道到达用点的速度为零。所以小球不可能撞到小球q故a正确;根据牛顿第二定律得,2qe + mgsin 0 _ k 写小球在m点的加速度匹mm确；小球戶沿着斜而向下运动过程中，匀强电场的电场力做正功，电荷0产生的电场对户做负功，两 个电场

55、力的合力不一定沿斜面向下，则最终电场力不一定做正功，贝ij 电势能不一定减小，故c错谋；当小球所受的合力为零时，速度最大， 即k£+h、xfqe5於计a,则压缩最不等于必+驱血,故d错谋。练习4如图所示，倾角为的光滑固定斜而底端固定挡板c,质量为2/的绝缘小滑块/放在 斜面上，a. c之间用劲度系数为彳的轻质弹簧相连，在其上表而放置一带正电的小滑块必的质量 为刃、带电量为° /不带电。空问有匀强电场，电场强度的人小为圧方向平行于斜面向左下方。现把弹簧拉到原长，使久从斜面上由静止释放，a. 一起运动时始终保持相对静止且处于匀强电场 中,的电量保持不变。昇、在运动过程中受到空气阻力作用,最后人将停止在斜面上某处。因 的体积远小于儿只考虑空气对力的作用，在运动过程中受到的空气阻力大小恒定，静止时，弹 簧的弹性势能为so则（）a. 刚釋放小滑块久时，a.