高中数学含参数导数的解题策略

1、含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其 中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常 作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固裳握基础知识、基本技 能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年來高考的难点 和热点，本文着重就含参数导数的儿种常见的解题策略加以归纳.一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a>f(x)恒成立，只须求出 max，则心/(兀)加若恒成立,只须求出/(心j则。"(兀)歸转 化为

2、函数求最值.例、已知函数f(x) = xnx. ( i )求.f(x)的最小值；(ii)若对所有jt > 1都有/(x) >ax-,求实数a的取值范围.二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点, 从而引起讨论.例2已知a是实数,函数f(x) = x2cx-a).(i)若广(1) = 3,求a的值及曲线j = /(%)在点(1,/(1)处的切线方程；(ii)求/(兀)在区间0, 2上的最大值.三、导函数为0是否存在，分类讨论策

3、略求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程 问题时，与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关, 令二0,求分点，从而引起讨论.例3、己知函数/（兀）=兀2 - x + alnx, （ae r）,讨论/（兀）在定义域上的单调性.四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在 定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间.所以必须分类，通过令几个根相等 求分点，从而引起讨论.例4、己知m>ot讨论函数/（兀）=+ + 6的单调性.ex练习求导后，

4、考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的 实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根 也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。三、!,x< 11. 08 广东（理）设kw r ,函数 = < l-x,f（x） = /（x）-hc,xg /?,j x 1,兀 n i试讨论函数f（x）的单调性。2.(08浙江理)已知g是实数，函数f x) = yxx-ci)(i)求函数/(x)的单调区间；(ii )

5、设g (°)为几兀)在区间0,2上的最小值o(/)写出g(a)的表达式；(a)求a的収值范围，使得-6<§(«)<-2oc213 (07天津理)已知函数f(x)= axa + (xe/?),其中aero x i 1(i )当a = l时，求曲线y二/(兀)在点(2,/(2)处的切线方程;(ii)当gh0吋，求函数/(x)的单调区间与极值。4 (07高考山东理改编)设函数/(x) = x2+/?ln(x+l),其中/心0,求函数/(兀)的极值 点。含参数导数的解题策例1、解：(i)略.(ii) v 对所有%>1 都有/(x)>-l,对所有x&

6、gt; 1 都有xlnx> ax-l,即 a < lnx +.x记g(x) = lnx + -,(x>0),只需 a < g(x)min.x令 g©)=丄一 -1 = 0,解得 x=l.x xg'(x) > 0 u> xl,g'(x) v 0 o 0 v x v 1.当x = 1时，g(兀)取最小值g(l) = la<.即q的取值范围是aa < 1例2解：(i)略.(tt)令/*(%) = 0,解得x. =0,x2当上50,即dso时，/(x)在0, 2上单调递增，从而 =/(2) = 8-467. 当y>2时,即

7、a>3时，/(%)在0, 2上单调递减,从而/nax = /(0) = 0.当0vy<2,即0vav3, /(兀)在o,yj上单调递减，在3上单调递增'8-4a,0<a<2.从而 znax8-4, a <2.综上所述，/nax0,a >2.例 3、解：由已知得 fx) = 2x-1 -=2x'x + c(x > 0),xx(1) 当4 = l-8a<0, a>-fx)>0恒成立，/(兀)在(0,+-)上为增函数.8(2) 当二l-8a>0, a<-时,8、1.1 + j1 1 yjl sa©、升1

8、 + jl l)0<a<一时，>>0, £(兀)在，8 2 2 2 2上为减函数,/(兀)在(0,，+oo）上为增函数,2）当qv0时，上卫莎<0,故/（劝在0,1 + 4% 上为减函数,/（力在1±肖二险，+8）上为增函数.综上，当a>-时，/（兀）在（0,+oo）上为增函数.8当0 vavg时，/（兀）在上冷二竺，1 + "；一乜上为减函数,/（x）在（0,上壬邑,上莎,+00）上为增函数,当gvo时，/在（0, u牛鱼上为减函数，/（对在1±牛1冬,+ °°）上为增函数.例 4、解： fx)=

9、 +_ , g(x) = -mx2 - (m + 3)x - 3 , 令 g(x) = o,3得 r, x9=-l.m31) 当0 vv3时，x, <x2,在区间(-oo-2i) , (_l,+oo)上g(q vo,即 fx) <0 ,m3所以f(x)在区间(-汽-一),(-l,+oo)上是减函数；m在区间(-,-1), g(x)>0,即f(x) > 0,所以/(x)在区间(-,-1)±是增函数; mm2) 当 m = 3 时，西=毛，在区间(-1)，(1,+s)上 g(x) v 0 ,即 fx) v 0 ,又 /(x)在x = 1处连续，所以/(兀)在区间(

10、-oo,+oo)上是减函数；33) 当 m>3 时，>x2，在区间(-oo-l), (-, + oo)±g(x)<0,即 /z(x) < 0 ,m3所以f(x)在区间(-00-1) , (- , + oo)上是减函数；m在区间(一1, 一丄)上,g(兀)>0,即fx) > 0,所以/(x)在区间(-1,-丄)上是增函 mm数.1.练习解：f(x) = f(x)-kx = < 1-x(7i + 2k j x -1心考虑导函数fx） = 0是否有实根，从而需要对参数k的収值进行讨论。（一）若x<l,则fg） j m ：）。由于当pso时，f

11、x） = 0无实根，而当k0 （1一兀）时，f x） = 0有实根,因此,对参数k分r50和£>0两种情况讨论。(1)当m0时,fx）>q在（-汽1）上恒成立,所以函数f（兀）在（j）±为增函数;(2)当k>0时，f'（x）由f,(x) = 0,得西x- 1 -,因为£ >0 ,所以召< 1 < q（1一兀）由 f*(%)>0,得 1一由 f*u)<0,得xvl-命。因此当£>0时，函数f（兀）在（-oo,l-）上为减函数,在（1*,1）上为增函数。1 + 2£、/ y （二）若“】

12、，则由于当心。时，无实根，而当£vo时，fx） = 0有实根，因此，对参数£分kno和£<0两种情况讨论。(1)当kno时，fx)< 0在l,+oo)上恒成立，所以函数f(x)在l,+oo)上为减函 数；(2)1 + 2,ksj x l2x 由")>0,得小+着由f30,得1*1+占因此，当£<0时，函数f(x)在1.1 + 4r上为减函数，在i+占t上为增函数。综上所述:(1)当r>0时，函数f(兀)在(-00,1-)上为减函数，在(1-)上为增函数,在h+8)上为减函数。(2) 当k = 0吋，函数fco在(-

13、00,1) ±为增函数，在l,+oo)上为减函数。1 a(3) 当evo时，函数f(x)在(yo,l)上为增函数，在1,1 +上为减函数，在-4k丿" 1 > 、，1 h,+°°上为增函数。l 4k丿2解：(i ) 函数的定义域为0,+oo),3x-a2a/x(x >0),由 /(%) = 0 得 x =-考虑-是否落在导函数fx)的定义域(0, +oo)内，需对参数a的取值分a<0aa>0两种情况进行讨论。(1) 当dwo时，则/'(x)> 0在(0,+oo)上恒成立，所以/(q的单调递增区间为0,+oo)。(2)

14、当a>0时，由 / (x)>0, wx> ；由 / (x)<0, wo<x< o33因此，当g>0时，/(兀)的单调递减区间为0,- , /(兀)的单调递增区间为ra,+8 ol3(id (i)由第(i )问的结论可知：(1) 当dso时，/(兀)在0,代)上单调递增,从而/(兀)在0,2上单调递增,所以 g(a) = f(0) = 0. "i、(2) 当a>0时，/(x)在0,-上单调递减，在-,+oo上单调递增，所以：33 丿当手(0,2),即0vav6时,/(兀)在0,彳上单调递减,在鉀上单调递增,所以g(d) = / f =2a

15、 la _2a3atvi _9当-e 2,+-),即a>6时，/(%)在0,2上单调递减，所以 g(o) = /(2) =血(2-。)。0,a<02a aq综上所述，j,0 v a v 6 3 v3v2(2-cz), >6(ii)令 -6 5 g (a) < -2。 若a50,无解； 若0vav6,由-6<-j-<-2mw3<6z<6；3 v3 若心6,由-6<v2(2-)<-2ww6<6/<2 + 3a/2o综上所述，d的取值范围为3<<2 + 3>/2o3、解：（i ）当° = 1吋，曲线y

16、 = fx）在点（2,/（2）处的切线方程为6x + 25y-32 = 0o（ii）由于"0,所以m）h（2心夕+ 1）严（x2+l)2( 1 )兀+ 由/（x） = o,得x, =-yx2=a.这两个实根都在定义域r内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数。的収值分。>0和qvo两种情况进行讨论。（!） 当q>0时，则%! < x2 c易得/（x）在区间一汽丄、q丿（d,+oo）内为减函数，在= -a2；函数/（兀）区间-上卫 为增函数。故函数/（兀）在州=一+处取得极小值/ - 在兀2=。处取得极大值1间a-一）为减函数。故函数f（兀）在召=-一处取得极小值/

17、- aa（2） 当avo时，则召无。易得/（x）在区间（yo,g）,（丄,+oo）内为增函数，在区 a= -a2；函数/（兀）在（n< cl）工2=。处取得极大值/（6/） = lo4、解：由题意可得/（无）的定义域为（一 1,+8）, f （兀）=2兀+ 占=2工；： + ，f（%）的分母兀+ 1在定义域（-1,+8）上恒为正，方程2兀? + 2兀+ b =（）是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。（1）当二4一8方50,即bn丄时，方程2x2+2x + b = 0无实根或只有唯一根x = -f2 2 所以 g（x） = 2f +2x + /?>0在（-l,+oo）上恒成立，则

18、/（x）>0在（-l,+oo）上恒成立,所以函数/（对在（-l,+oo）上单调递增，从而函数/（刃在（-1,+8 ）上无极值点。(2)当a = 4-8/?>0,即b<时，方程2f + 2x + b = 0,即/(x) = 0有两个不相等的实根：x=这两个根是否都在定义域（-1,+-）内呢？又需要对参数b的取值分情况作如下讨论:(i ) 当bvo时-1-v1-2/7(+-<-=2>-1兀i 电(一 1,+°°),兀2 g (-1,+°°) o(-1,兀2)兀2(兀2，+°°)0+递减极小值递增此时,/（x）与/（x）随x的变化情况如下表:由此表可知：当bvo时，/（兀）有唯一极小值点九-1 + j1-2z?2(ii )当 og 时,-1-v1-2/?,-1 + v1-2z?>-l,x2 =2 2>-1%,（-1,+