2018届初中数学中考复习专题【二次函数压轴题】

1、2018年中考数学冲刺复习资料：二次函数压轴题面积类【例 1】.如图 1，已知抛物线经过点 A( - 1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三点.(1) 求抛物线的解析式.(2)点 M 是线段 BC 上的点(不与 B, C 重合)，过 M 作 MN / y 轴交抛物线于N,若点 M 的横坐标为 m,请用 m 的代数式表示 MN 的长.(3)在(2)的条件下，连接 NB、NC,是否存在 在，说明理由.【考点：二次函数综合题.专题23,【巩固 1】.如图 2，抛物线y=ax ?x2(a0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已 知 B 点坐标为(4, 0).(1) 求抛

2、物线的解析式；(2)试探究 ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标.【考点：二次函数综合题.专题：压轴题；转化思想.】图 2平行四边形类【例 2】.如图 3，在平面直角坐标系中，抛物线AB 上的动点，过点 P 作 x轴的垂线交抛物线于点(1) 分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式.(2) 若点 P 在第四象限，(3) 是否存在这样的点 点 P 的横坐标；若不存在，PM 最长时，求 ABM 的面积.O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出等腰三角形类【例 3】.如图，点 A

3、在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置.(1) 求点 B 的坐标；(2) 求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点 P 的坐标；若不存在，说明理由.【考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论.】连接 AM、P,使得以点请说明理由.BM，当线段P、 M、 B、2y=x+mx+ n 经过点 A (3, 0)、B (0, - 3),点 P 是直线M，设点 P 的横坐标为 t.【巩固 3】.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，

4、斜靠在两坐标轴上，且点 A( 0，2)，点 C (- 1, 0),如图所示：抛物线 尸 ax2+ax- 2 经过点 B.(1)求点 B 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点 P (点 B 除外)，使 ACP仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.规律探索类【例 4】如图，已知点 A1、A2、A3、A4、An在 x 轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数，过 点 Ai、A2、A3、A4、An分别作 x 轴的垂线，父抛物线 y=x? +x 于点 Bi、B2、B3、B4、Bn，父过 点 Bi的直线 y=2x 于点 C2、C

5、3、C4、Cn。若厶 B1C2B2、 B2C3B3、 B3C4B4、 BnCn dBn d的面积分别为 S1、S2、S3、Sn。求 S2 S1与 S3- S2的值；猜想 Sn Sn与 n 的数量关系，并说明理由；若将抛物线 y=x2+x”改为 y=x2+bx+c”，直线 y=2x”改为 与 n 的数量关系(直接写出答案)。综合类【例 5】.如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B (5, 0),另一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C(0，5).( 1)求直线 BC 与抛物线的解析式；(2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MN / y

6、 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值;(3)在(2)的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作 平行四边形CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为, ABN 的面积为 S2,且 SF6S2,求点 P 的坐标.【考点：二次函数综合题专题：压轴题.】Av【巩固 6】如图，抛物线 y=ax2+bx+c (a 工0的图象过点 C (0,1),顶点为 Q (2, 3),点 D 在 x 轴正半 轴上，且 OD = OC. (1)求直线 CD 的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点

7、x(4)在(3)的条件下， 若点 P 是线段 QE 上的动点， 点 F 是线段 OD 上的动点， 问： 在 P 点和 F 点移动 过程中， PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.20XX年中考数学冲刺复习资料：二次函数压轴题【参考答案】【例题 1】考点：二次函数综合题.专题：压轴题；数形结合.分析：(1)已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物线的解析 式中，可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长.(3)设

8、MN 交 x 轴于 D，那么 BNC 的面积可表示为：SABNC=SAMNC+SMNB=MN ( OD + DB )=MN?OB ,MN 的表达式在(2)中已求得，OB 的长易知，由此列出关于 SABNC、m 的函数关系式，根据函数的性 质即可判断出 BNC 是否具有最大值.解答：(1)设抛物线的解析式为：y=a (x+1) (x-3),则: 抛物线的解析式：y= -( x+1) (x- 3) = -X2+2X+3.(2) 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b,则有：Rk+b 二 Q，解得(k二-1；故直线Lb=3Ib=3已知点 M 的横坐标为 m, MN / y,贝 U M (m, m+3

9、)、N ( m, m2+2m+3);故 MN=m2+2m+3(m+3)=-m2+3m(0vmv3).(3)如图 2 SBNC=SMNC+SAMNB=MN (OD+DB) =MN?OB,2227SABNC=(m +3m)?3=-(m ) +- (0vmv3);8当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为士 .8【巩固 1】【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想.】分析：(1)该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可.(2)首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明 ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标.MBC 的面积可由 9M

10、BC=BC h 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即点 M 到直线 BC 的 距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M .解答：(1)将 B (4, 0)代入抛物线的解析式中，得：抛物线的解析式为：y=x2- x-2.(2)由(1)的函数解析式可求得：A (- 1 , 0)、C ( 0,- 2) ; OA=1 , OC=2 , OB =4,即：OC =OA?OB，又：OC 丄 AB, OACAOCB，得：/ OCA =ZOBC;/ ACB= / OCA+ / OCB= / OBC+ / OCB=90 , ABC 为直角三角形，A

11、B ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：(,0).(3)已求得：B (4, 0)、C (0,- 2),可得直线 BC 的解析式为：y=x- 2;设直线 I / BC,则该直线的解析式可表示为：y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+ b=x2-x-2,即：x2-2x-2-b=0，且=0; 4-4X(2-b)=0,即卩 b=-4;二直线 I:y=x-4.过M点作 MN 丄 x 轴于 N,SABMC=S梯形OCMN+ SAMNB-SAOCB=X2 X(2+3) +X2 X3 -X24=4 .JLA0|D叭图 2a(0+1) (03)=3,a=-

12、1;所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有:，解得：(即 M(2, - 3).y= - 3BC 的解析式：y= - x+3.图 4图 5【例 2】考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型.分析：(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A( 3, 0)B( 0, - 3)分别代入 y=x2 3+mx+n 与 y=kx+b,得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可；(2)设点P的坐标是(t, t - 3),则 M(t, t2-2t- 3),用 P 点的纵坐标减去 M

13、 的纵坐标得到 PM 的长， 即 PM= (t-3)-( t2- 2t - 3) =-t2+3t，然后根据二次函数的最值得到；貸 g当 t= - :=时，PM 最长为-=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+APM计算即可；(3)由 PM / 0B,根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时， 点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四 边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=0B=3, PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM = 0B=3,(t2- 2t - 3)-( t- 3) =3；当 P 在第三象限：PM = 0B=3, t2- 3t=3，分别解一元二次方程即可

14、得到满足 条件的 t 的值.解答：解：(1)把 A (3, 0) B (0,- 3)代入 y=x2+mx+ n,得，所以抛物线的解析式是豪-2x- 3设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,n= - 32已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式.3 根据(2)的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P 点的坐标，而 O、B 坐标已知, 可先表示出 OPB 三边的边长表达式，然后分 OP=OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论，然后 分辨是否存在符合条件的 P 点.解答：g+3 丽解得l_3=n(2)所以k=l，所以直线b=-3设点 P 的坐标是(t, t -

15、 3),则 M(t, t2- 2t- 3),因为 p 在第四象限，PM =(3, 0) B (0, - 3)代入 y=kx+b,得，解得，-3-bAB 的解析式是 y=x- 3 ；当 t=一(t - 3)-( t2- 2t- 3) =-t2+3t,Q0 9=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为“、4X ( -1)1927贝 V SABM=SBPM+SAPM=：=二 .存在，理由如下： PM / OB,PM=OB 时，点 P、M、B、P 在第四象限：PM=OB=3,(3).当当 P 在第一象限：PM=OB=3,O 为顶点的四边形为平行四边形，PM 最长时只有，所以不可能有PM=3.(t2- 2

16、t - 3)-( t- 3) =3，解得 t1=- , t2=(舍去)，所以%图 7P 点的横坐标是乂工当 P 在第三象限：PM=OB=3,:所以二-(舍去)，t2=，所以 P 点的横坐标是P点的横坐标是匸或t2- 3t=3，解得 t1【例3】分析:(1)首先根据B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 OB 的长 (即 OA 长)确定 B 点的坐标.解：(1)如图，过 B 点作 BC 丄 x 轴，垂足为 C,则/ BCO=90/ AOB=120 , / BOC=60 ,又 OA=OB=4, OC=OB =X4=2, BC=OB?sin604X也 =2 _,点 B 的坐标为(-2,- 2 二

17、);2(2)V抛物线过原点 O 和点 A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx.此抛物线的解析式为63(3)存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为(2, y),1若 OB=OP，则 22+|yf=42，解得 y=2 7 , 当 y=2/时，在 Rt POD 中，/ PDO=90 sin/ POD=Z?显卫，/ POD=60OP 2/ POB= / POD+ / AOB=6O+12O=18O ,即 P、O、B 三点在同一直线上， y=2 二不符合题意，舍去，点 P 的坐标为(2, - 2 7)2若 OB=PB ,则 42+|y+2 =f

18、=42,解得 y= - 2 -,故点 P 的坐标为(2, - 2 7),3若 OP=BP ,则 22+|y|2=42+|y+2 ，解得 y= - 2 二,故点_P 的坐标为(2, - 2 二),综上所述,符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2, - 2 二)，【例题 5】【考点：二次函数综合题专题：压轴题.】分析：(1)设直线 BC 的解析式为 y=mx+n ,将 B (5 , 0), C (0 , 5)两点的坐标 八丁代入，运用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；同理，将 B ( 5 , 0), C (0 , 5)两点口勺坐标代入 y=x2+bx+c ,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式

19、；(2)MN 的长是直线 BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 XMN 的长和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN 的最大值；(3)先求出 ABN的面积 S2=5 ,则 S1=6S2=30 .再设平行四边形 CBPQ 的边 BC上的高为 BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3 徒,过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点 P ,交 x 轴于点 E ,在直线 DE 上截取 PQ = BC ,则四边形 _CBPQ 为平行四边形.证明 EBD 为等腰直角三角形，贝 U BE2BD=6 ,求出 E +的坐标为(-1 , 0),运用待定系数法求出直线 PQ

20、的解析式为 y=- x- 1,然后解方程组尸,即可求出点 P 的坐标.、Jy= X2-解答：(1)设直线 BC 的解析式为 y=mx+n ,将 B (5 , 0) , C (0 , 5)两点的坐标代入，得5 阿二 Q，解得严一 1 ,所以直线BC的解析式为 y= - x+5;Ln=5In二5将 B (5 , 0) , C (0 , 5)两点的坐标代入 y=/+bx+c,(fb= - 62得十X U，解得*,所以抛物线的解析式为y=x2- 6x+5 ；iC 5. ：一5(2) 设 M (x , x2- 6x+5) (1v xv 5),贝 U N (x, - x+5),2222525 MN= (-

21、 x+5)-( x2- 6x+5) = - x2+5x=-( x-)，当 x=时，MN 有最大值一；33v MN 取得最大值时，x=2.5，- x+5= - 2.5+5=2.5 ,即 N (2.5 , 2.5).解方程 x2- 6x+5=0 ,得 x=1 或 5 A ( 1 , 0), B ( 5 , 0), AB=5 -仁 4 , ABN 的面积=“ X2.5=5 ,将 A (4, 0), B (- 2 - 2 近)代入，得(4) 在(3)的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在

22、，请说明理由. 分析：(1)利用待定系数法求出直线解析式；(2) 利用待定系数法求出抛物线的解析式；(3) 关键是证明 CEQ 与厶 CDO 均为等腰直角三角形；(4)如答图所示，作点 C 关于直线 QE的对称点 C 作点 C 关于 x 轴的对称点 C， 连接 CC，交 OD 于点 F,交 QE 于点卩，则厶 PCF即为符合题意的周长最小的三角形， 由轴对称的性质可知， PCF 的周长等于线段 CC的长度.利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小.如答图所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即 PCF 周长的最小值.解答：解：(1)TC (0, 1), OD = OC

23、, D 点坐标为(1, 0).设直线 CD 的解析式为 y=kx+b(k 工0 ,_=b将 C (0, 1), D (1, 0)代入得：*，解得：b=1 , k= - 1，直线 CD 的解析式为：y=- x+1 .lk+b-0(2)设抛物线的解析式为 y=a (x- 2)2+3,将 C (0, 1 )代入得：1=aX(- 2)2+3，解得 a=- y= 三(x - 2)2+3=UX2+2X+1 .(3) 证明：由题意可知，/ ECD=45/ OC=OD ,且 OC 丄 OD , OCD 为等腰直角三角形，/ ODC=45/ECD= / ODC , CE/ x 轴，则点 C、E 关于对称轴(直线

24、X=2)对称，.点 E 的坐标为(4 , 1). 如答图所示,设对称轴(直线 x=2)与 CE 交于点 M ,则 M( 2 , 1), ME=CM=QM=2, QME 与厶 QMC 均为等腰直角三角形，/ QEC =ZQCE=45 .又OCD 为等腰直角三角形，/ ODC= / OCD=45/QEC=/QCE=/ODC=ZOCD =45, CEQCDO.(4) 存在.如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C 作点 C 关于 x 轴的对称点 C ,连接 CC”, 交 OD 于点 F ,平行四边形 CBPQ 的面积为 BD，贝 U BC 丄 BD ./ BC=5 _, BC?BD=30,过点 D 作直线 BC 的平行线，SI=6S2=30 .设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高 BD=3_.交抛物截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形. BC 丄 BD，/ OBC=45 /EBD=4