高考数学难点归纳18《不等式的证明策略》

1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合高考解答题屮，常渗透不等式证 明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学中的一个难点，木难点着重培养考生数学式的 变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场（）已知。0,方0, il «+/?= 1.11?5求证：（d+）（方+ ）2 ab4案例探究例1证明不等式i+言+吉+2yn (n w n+)命题意图：木题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、 构造能力以及逻辑分析能力，属级题冃.知识依托：木题是一个与自然数有关的命题，首先想到皿用数学归纳法，另外还涉及 不等式证明

2、中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：1 + 2 + 纟丄 丄十世- * =麻 v. 2 /n.罷 /3y/f这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发牛的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从川以到n=k+l的过渡采用了放缩法；证法二 先放缩，后裂项，有的放矢，肓达日标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心， 发人深省.证法一：（1）当等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;（2）假设心如1）时,不等式成立,即1+护吉+.+ ±2低,2攸+则1 + 士 +亠+ .+亠<v2 v3 vk + 12k(k + 1)+1 疋 k

3、+ (k + 1) + 1 _ 2、口 vm vrn _当n=k+时，不等式成立.综合、（2）得:当用nf寸,都有“护存+*另从k到r+1吋的证明还有下列证法:2伙+ 1)-1-2火伙+ 1)寸-2壮伙+ 1)+伙+ 1) =(vt-vm)2 >o,?. 2jk(k + l) +1 v 2伙 +1), 4k + > 0, 14k + -7= < 2vttt.qk + 又女口:t 2 j k + 1 2-r= > = ijr +1 + yjk jr +1 + jk +1 jk +114k + / 1< 2y/k + 1.vt+1证法二：对任意rwn*,都有：1 二

4、2 2 vt+vr 4k4-vri因此1 +1 1 17t7t+石<2 + 2(v2-l) + 2(v3-v2) + - + 2(v-v) = 2v.+ +证法二： 设/(72)= 2 (1 f= h + ),v2 v3 jn那么对任意*都有：/伙+i)m=2(vm_vr)4k + =2伙 + 1) - 2yjk(k + 1)-17t+1veh= -r伙 + l)_2j£ 伙 + 1)+灯广 >0vt+1朋+1)>/伙)因此，对任意nn*都有加)>血一1)>>/(1)=1>0,1+厶+厶+厶<v2 v3 am2乔.例2求使五+ “ wa

5、 jx + y (x>0, y>0)恒成立的q的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于 级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求。的最值蕴含于恒成立的不等式中， 因此需利用不等式的有关性质把。呈现出来，等价转化的思想是解决题f1的突破口，然后再 利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此吋我们习惯是将x. y -u cos “、sin 來对应进行换元，即令yx =cos “，yy =sin (0v 0< ),这样也得 tzsin +cos(),但是这种换元是错误的其原因是：

6、缩小了八y的范珮(2)这样换元相当于本题又增加了 “x、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数d 满足不等关系,a2j(x),则dminhwmax；若dw/w，则qmaxmwmin，利用这一基本事实,可 以较轻松地解决这一类不等式屮所含参数的值域问题还有三角换元法求最值川的恰当好处， 对以把原问题转化.解法一：由于d的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2 yxy wa2(x+y),即 2 xy w (/ 1 )(x+y),.x, y>0, .x+y2yxy ,当且仅当兀二y时，中有等号成立.比较、得d的授

7、小值满足/一1=1,:.a2=2, a=41 (因 t/>0), :.a 的最小值是血.x + y +vx>0, y>0, .x+y2yxy （当 时"二”成立）,巫勺，迥的最大值是i. 兀 + yx + y从而町知,u的最大值为v17t = v2 ,乂山已知，得5,：a的最小值为血.解法三：了>0,原不等式可化为tan 0+lwdjkm2 + l ；即 um + lwaseo 0.amsin +cos =>/1 sin（ + ）,4又vsin（ +兰）的授大值为1（此时二兰）.44由式可知。的最小值为vl锦囊妙计1. 不等式证明常川的方法有：比较法、综

8、合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方 法.(1) 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配 方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则 考虑川判别式法证.(2) 综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充 分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2. 不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式 法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应川换元法时，要注意代换的 等价性.放缩性是不等式证明屮最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，口

9、标可以从要证的 结论中考查.冇些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟 一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题冃的特点和内在联系，选择适当的证明方法，耍熟悉各 种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.歼灭难点训练一、填空题1. ()知x>y是正变数,a、b是正常数，且+ = 1 fx+y的最小值为.x v2. (*)设正数a、b、c、d满足a+d=b+c,且ladivibcl,则ad与方c的大小关系是3. (* )若 m<n, pvg,且(p_加)(p_n)<0, (g_加)(g_n)v0,则 m、n

10、、p、q 的大小顺序是.二、解答题()己知 a, b, c 为正实数，a+b+c=.求证：(1 )a2+fe2+c22 3(2) j3a + 2 4- j3b + 2 +(3c + 2 w61 25. (ianar)已知 x, y, zr,且 x+y+z= 1, xf+z?二一，证明：x, yf 泻0,2 36. ( m正明k列不等式：(1) 若 x, yf zwr，a, b, cwr*,则 +兀2 +( + a,2 十 a + b 孑$2(兀，+旳+旷)abe(2) 若 x, y, zwr”，且 x+y+z=xyzhli, y+ zz + xx + y111、兀yz%yz7. ()知 j,

11、2、“是正整数，且 1(1)证明:卅a；“<,a：；(2)证明:(1+加)">(1+*&( )若 a>0, b>0, a3+b3=2,求证：d+bw2, abwl.参考答案难点磁场证法一：(分析综合法)欲证原式，即证 4(°疔+4(°2+/,)25db+420,即证 4(db)233(")+820,即证 dbw 丄或4ab$8.va>0, b>0, a+b=l, .ab8 不可能成立v =a+b2yah , .'.ab：,从而得证.4证法二：(均值代换法)设 d=t, b=h.2 2 *"*

12、6/+/?= 1 > d>0, b>0,114-2=0, l/l< , l/2< 一 2 _ 2(1 v, 1、/+1 b2+ (a + )(b + t)二x -aba b(舟 + f )2 + 1(* + 切2 +1(£ + / +斤2 + 1)(-1 4-/2 +/22 + 1)(£ + ?1)(扌 +2)51 1i?5即得(a +丄)® +丄)n兰.2 2 -(右 + 斤 + 1)( +2 + u +1) g + 22)2 _ f= ； 訂2253 24251+ 匚 *_ 162 一 、16 一 252" 14<

13、744显然当且仅当匸0,即g归丄吋，等号成立.2证法三：(比较法)*.*a+b= 1, a>0, b>0, :.abw 4z 1 zf 125 ai ab4歼灭难点训练一、1.解析：令=cos2 e, =sin2 ",则.r=f/sec2 &, y=hcsc2 ", xv=a+b+atan2 & +bcop & a+b+2 ya tan2 0 - /?cot2 9 = a + b + 2>ab .答案：a+b+2 yab2.解析：由 0 w lal v lbel o (a d)? < (方一c)2 o (a+b)24ad<

14、; (/?+c)24bc + b2 + 254c?2/?2 + 33 + 8(14")(8 ")(a 4- )(b + )= a b 4 a h 44ab4ab(lw, 1、25a b 4证法四：(综合法)*.*a+b= 1,d>0, b>0, .abw .475(1 一如 +1、25> 2 ab4(l-afe)2 + l> 16丄24 abji25即(d + -)(/2 + -)> ab4证法五：(三角代换法)t a>0,方>0, a+b= ,故令 a=sin2 a , b二cos? a , a e(0,)2(a + )(b +

15、) = (sin2 a + -)(cos2 a +)a bsirracos* a_ sin*.*a+d=b+c, 4ad<4bc,故 ad>bc.答案：ad>bc a + cos4 a 一 2sin2 crcos2 a + 2 _ (4 - sin2 a)2 + 16 4sin2 2a4 sin2 lat sin2 2a <4 一 sin2 2«>4 - 1 =3.24-2sin226z + 16>25sin2 2a 4(4 一 sii?2q)24sin2 2a25t7 .x+)=asec0 +bcs8 03. 解析：把p、g看成变量，则m<

16、p<n, m<q<n.答案：m<p<q<n二、4.(1)证法:a2+b2+c2 = (3a2+3b2+3c2 1)3 3=3a2+3b2+3c2(«+/?+c)2 = 3ez24-3/?24-3c2ctc22ablac2bc 3=(ab)2+(bc)2+(ca)2 mo a2+b2+c2证法二:/ (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcwa2+b2-c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2:.3(d2+2+c2) 2 (a+b+c)2= 1 /. a2+b2-c2 2 证法三:a2 +b2 +c2 >'.a2+b2

17、+c2 3 证法四：设 a=-+ ci, b二丄+ 0, c=-+ y.3 33a+b+c= 1,：a + 0 + $ =0 /. a2+z?2+c2=(丄 + a )2+(丄 + 0 )2+( -+ r)2333i o= -+- ( a + 0+/)+/+02+严331o c21二一 +旷+介+厂事一33/. a24-z?2+c2 3证法-:t j3a + 2 = j(3a + 2) x 1 < 3口 +； +, 同理竝 + 2 <世三,如 + 2 <吏岀2 2竝 + 2 + j3b + 2 + j3c + 2 < 引"+ 八。)+ 9 = 62原不等式成立

18、.证法 _. y/sci + 2 +(3b + 2 4- j3c + 2 < (3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2) 1 " 一：3_ v33(a +b + c) + 63ci + 2 +3b + 2 + j3c + 2 w 33 <6:原不等式成立.5. 证法：ill x+y+z= 1, x故兀、八* (), +y2+z2=，得 x2+y2+(l %j)2= » 整理成关于 y 的一元二次 2方程得:2y22( 1 x)y+2x22x+ =0, t y w r,故力 2012a4(1-x)2-4x2(2?-1v+-)&0,得 0w

19、兀w-,23同理可得y, zw 0,-证法二：设=丄+十，尸丄+)r ,込二丄+疋，则x' +y'333r 是 £=(£+* r+(£+y)2+()223332+才2+|x+/ +才)f 2丿+十2+必竺+和23232l1i _2 rw ，一 ,兀丘0,同理y, 333axe 0,-3+才=0,二丄+x，2+才3=丄 +x，2+y'3证法三：设2泻 to, 4：3y x z三数屮若有负数，不妨设x<(),则x2 > 0,丄=x2+y2+z2 m0 (y + z)，_(1-兀)22 3 21、1千+ x =x x > 9 才

20、盾.2 2 2 2771八 八z三数屮若有最人者人于兰，不妨设x> -,则丄=xw+2 >3 322,(y+z)22,(1 一兀)23 2. 1x +=x h= x x+ 2 2 2 2 =刍心一!)+£>£；矛盾.2 3226. (1)证明:兀2 +-y2 +乙2 - 2(xy + yz + zx)2bc= (x2 + v2 -2xv) + ( v2 + z2 -2vz) + (z2 +£兀，-2zx)(2)证明：所证不等式等介于 宀2“止 + 土 + 土)> 2® + w m0 xyz yz(y + z) + zx(z + x

21、) + xy(x + y) > 2(xy + yz + zx)2<=> (x + y + z)(y2z + yz2 +z2 兀+ +x2y + xy2) >2(x2y2-i-y2z2 +z2x2)+ 4(x2yz + xy2z-i-xyz2)<=> y3z-i- yz3 +z3x + zx3 + x3y + xy3 > 2x2yz + 2xy2 + 2xyz2o yz(y-z)2 +zx(z-x)2 +ay(x-y)2 +x2(y-z)2 + y2(z-x)2 +z2(x-y)2 >0上式显然成立，.原不等式得证.7. 证明：对于 1 viw&q

22、uot;7,且 a；” =m(/? z+1),9 7 am1 m mmnl n nnu l山于m<n,对于整数2,，l1,有>az az所以牛牛，即肘a：n'a；(2)由二项式定理有:(l+/n)h=l+c m+c；i /+c； m ,(1 +1+c 打+c 細/+c ；几由知(1<运加/.m°c号°c=l tnc =ncn-m n, mwc：* >nmc , m,n+lc >0,，?"c；： >0, 1+c：加+c： /+c； /> l+c打+c：/2+c；：aa即(1+)">( 1+”"成立.8. 证法:因 a>0, b>0, a3+b3=2f 所以(a+b)323=ab+3a8 8所以对任意非负实数。、b,有心”2 (4)32 2因为 «>0, b>0, /+戾二2,所以 1=必21$(£旦)3,2 2.y±wl,即°+bw2,(以下略) 证法五:假设a+b>2f则/+丽=(0+)(/ab+b2)=(a+