流体力学 4-4流体动力学

1、4-4 4-4 动量方程及其应用动量方程及其应用 在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。 一、稳定流动量方程一、稳定流动量方程 从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化等于作用于该物体上外力的总和。等于作用于该物体上外力的总和。()()t dttt dttdMMMMMMM 由于流动为稳定流动，所以时间的下标可去掉，则由于流动为稳定流动，所以时间的下标可去掉，则dMMM 2 2 图图415 控

2、制体控制体及系统及系统 I III II v1 v2 111 1 22如图示是一个稳定流动。首如图示是一个稳定流动。首先选取先选取 所围成的空间为所围成的空间为控制体，取控制体，取t时刻占据控制体时刻占据控制体的流体为系统，经过时间的流体为系统，经过时间dt间隔后，控制体不动，而系间隔后，控制体不动，而系统移动到新的位置统移动到新的位置 ，构成了图示的构成了图示的、三个三个空间区域。在此过程中，系空间区域。在此过程中，系统动量的变化值为统动量的变化值为11221 1122121()dMQdt vv 这就是一元稳定流动的动量方程。这就是一元稳定流动的动量方程。21(-)dMQ vvdt 两端同除

3、以两端同除以dt得得21()FQ vv （1）由动量定理得由动量定理得为流入控制体内的流体所具有的动量为流入控制体内的流体所具有的动量，1111Mm vQ dtv 2222Mm vQ dtv 1122QQQ 而而为流出控制体的动量，并考虑到稳定为流出控制体的动量，并考虑到稳定流动的连续性方程流动的连续性方程，则有则有物理意义：物理意义：作用在控制体上的合力等于单位时间内流出与流入作用在控制体上的合力等于单位时间内流出与流入控制体的动量差。控制体的动量差。式式（1）的分量形式为的分量形式为212121()()()xxxyyyzzzQ vvFQ vvFQ vvF （2）作用在控制体上的合外力如下作

4、用在控制体上的合外力如下图示：图示：首先，控制体外流体或固体首先，控制体外流体或固体壁面作用在控制体上的表面壁面作用在控制体上的表面力：在控制体力：在控制体进出口截面上进出口截面上的的 和和 ；在控制在控制体体侧表面上有压力的侧表面上有压力的合力合力P及粘性力的合力及粘性力的合力T，这，这两个力比较复杂，在大多数两个力比较复杂，在大多数情况下是未知量，常用情况下是未知量，常用R=P+T来表示作用在控制体来表示作用在控制体侧表面上的合力，即通过控侧表面上的合力，即通过控制体侧表面作用在控制体内制体侧表面作用在控制体内流体上的合力。流体上的合力。111p A n 222p A n 图图416 控制

5、体受力分析控制体受力分析 Fb=mfp1A1 p2A2 n1 n2 P=pdA T=v1所以式所以式（1）中合力为中合力为111222bFp A np A nRF 12,n n式式中中为为入入口口断断面面和和出出口口断断面面的的外外法法线线单单位位矢矢量量。把上式代入把上式代入（1），），得得或或11122221()bp A np A nRFQ vv （3）21111222()bRQ vvp Anp AnF （4）其次，作用于控制体内流体的质量力其次，作用于控制体内流体的质量力bF一般为重力。一般为重力。11 1 122 221112221111 112222 22()()bbRQv nQ v

6、 np Anp AnFp AQv np AQ v nF R为壁管对管内流体的作用力，根据牛顿第三定律可为壁管对管内流体的作用力，根据牛顿第三定律可 知，知，F和和R是一对作用力和反作用力，即：是一对作用力和反作用力，即：F=-R。 式式（1）和和（5）仅适用于只有一个进出口的控制体仅适用于只有一个进出口的控制体。考虑到考虑到 及及 ，上式可写成，上式可写成111vv n 222vv n 1122RJ nJ n （5）引入冲量引入冲量 ，且重力忽略不计，则上，且重力忽略不计，则上式变为式变为JpAQv 强调：强调：对于有多个进出口的控制体，可依据动量方程物理意义将对于有多个进出口的控制体，可依据

7、动量方程物理意义将其推广得到其推广得到及及iiRJ n （7）iiiFQv （6）注意正负号注意正负号稳定流动的动量方程的特点：稳定流动的动量方程的特点： 在计算过程中只涉及控制面上的运动要素，而不必考在计算过程中只涉及控制面上的运动要素，而不必考虑控制体内部的流动状态。虑控制体内部的流动状态。 作用力与流速都是矢量，动量也是矢量，故动量方程作用力与流速都是矢量，动量也是矢量，故动量方程是一个矢量方程。是一个矢量方程。二、动量方程的应用二、动量方程的应用 应用动量方程应注意：应用动量方程应注意：1.合理选用控制体，正好包含需要确定流体作用力的边合理选用控制体，正好包含需要确定流体作用力的边界，

8、上下游断面选取在缓变流区域以便计算压力；界，上下游断面选取在缓变流区域以便计算压力；2.方程中应包含作用于控制体的一切外力，两断面上的方程中应包含作用于控制体的一切外力，两断面上的压力、边界上的力不要遗漏，压力、边界上的力不要遗漏，但不包括惯性力。但不包括惯性力。3.注意正负号注意正负号（Q,v），对于），对于Q而言，而言，流出为正，流入为流出为正，流入为负负；对于；对于v而言，而言，与坐标轴方向相同为正，相反为负与坐标轴方向相同为正，相反为负；4.动量方程是矢量式，应写成分量形式，对未知力可假动量方程是矢量式，应写成分量形式，对未知力可假设其方向，如果结果为正，说明原假设的方向正确，如设其方

9、向，如果结果为正，说明原假设的方向正确，如果结果为负，则作用力的方向与原假设方向相反。果结果为负，则作用力的方向与原假设方向相反。5.一般要联立连续性方程和伯努利方程求解。一般要联立连续性方程和伯努利方程求解。1流体作用于弯管的力流体作用于弯管的力一变直径弯管，轴线位于同一水平面，转角一变直径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直，直径由径由 变为变为 ，在流量，在流量 时，时，压强压强 ，求水流对，求水流对ABAB段弯管的作用力。不计弯段弯管的作用力。不计弯断的水头损失。断的水头损失。60o 200Admm 150Bdmm 30.1Qm s 218ApkN m 解：取控制体为弯管解：取控制体为

10、弯管ABAB内的空间，坐标系如图所示，内的空间，坐标系如图所示，设设R R为弯管为弯管ABAB对控制体内流体的作用力。对控制体内流体的作用力。采用动量方程的投影式采用动量方程的投影式即：即： xBxAxFQ vv yByAyFQ vv Acos60cos60 xABBBARp Ap AQ vv sin60sin60yBBBRp AQv 水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力FR 22220.5380.5980.804xyFFFkN F的大小的大小0.538,0.598xyRkNRkN AvBpBv将将 、 、 值代入式（值代入式（1 1）和（）和（2 2），得），得 F与与x轴的夹角轴的夹角0.

11、598tan1.112480.538yxFF 2射流对固体壁面的冲击力射流对固体壁面的冲击力 一股均匀射流正面冲击如右图所一股均匀射流正面冲击如右图所示固体壁面，由于控制体内的流示固体壁面，由于控制体内的流程很短，水流阻力较其他外力很程很短，水流阻力较其他外力很微小，可忽略不计。微小，可忽略不计。因此可认为：因此可认为：（1）控制体内液流的能量损失控制体内液流的能量损失（2）水平射流与壁面在接触后，水平射流与壁面在接触后， 射流只是改变方向，不改变大小；射流只是改变方向，不改变大小；（3）由于壁面的对称性，水平射由于壁面的对称性，水平射流的反作用力流的反作用力R平行于射流方向。平行于射流方向。

12、0wh 图图419Q Qv vQ/2Q/2v vQ/2Q/2v vF F= =-R-Rx x例例4-6 试求图示的射流对挡板的作用力。试求图示的射流对挡板的作用力。解解： 设水平射流的流量为设水平射流的流量为Q，因曲面，因曲面对称且正迎着射流，则两股流量可对称且正迎着射流，则两股流量可认为相等，都为认为相等，都为Q/2，x方向动量方方向动量方程为程为cos(180)(180)22QQRvvQv (cos1)RQv 例例46图图（a） Q Qv vQ/2Q/2v vQ/2Q/2v vF F= =-R-Rx x所以所以, ,射流对壁面的作用力为射流对壁面的作用力为(1cos)FRQv -射流冲击力

13、的分析是冲击式水轮机射流冲击力的分析是冲击式水轮机转动的理论基础。从上式可知：转动的理论基础。从上式可知： 当当时时，90 RQv ；当当时时，180 2RQv ；曲面所受冲击力最大，如例曲面所受冲击力最大，如例46图（图（b）所示所示。 例例46图图(b) QvQ/2vQ/2vF=-R射流对壁面的作用力为射流对壁面的作用力为(1 cos )FRQv 例例47图图 Q0，v0Q1，v0Q2，v0F =-Rxyo o解：设射流的初始速度为解：设射流的初始速度为v0，因为，因为壁面光滑，水平射流的速度只改变壁面光滑，水平射流的速度只改变方向不改变大小；方向不改变大小； 光滑壁面对射流的反力光滑壁面

14、对射流的反力R垂直于壁垂直于壁面，合外力在面，合外力在x方向上为方向上为0，列，列x方方向的动量方程可得向的动量方程可得1 02 00 00()cosQ vQ vQ v 例例47 流量为流量为 的水平射流，冲击铅直放置并与之成的水平射流，冲击铅直放置并与之成角的角的光滑平面壁，冲击后液流分散，设液流的密度为光滑平面壁，冲击后液流分散，设液流的密度为。求：（。求：（1 1）流量流量 与与 之分配；（之分配；（2 2）若测得来流的直径为）若测得来流的直径为 ，射流对平，射流对平面壁的冲力面壁的冲力F是多少？是多少？0d2Q1Q0Q联立上两式可解出联立上两式可解出10(1cos )/2QQ 20(1

15、cos )/ 2QQ 列列y方向的动量方程式方向的动量方程式220sin4sin/RQvQd 由连续性方程由连续性方程012QQQ 3. 射流的反推力射流的反推力航天器利用气流反推力获得飞行动力航天器利用气流反推力获得飞行动力. .如火箭，左图。如火箭，左图。取与火箭一起运动的相对坐标系，取取与火箭一起运动的相对坐标系，取火箭本身的外壳表面和喷管出口截面火箭本身的外壳表面和喷管出口截面积为积为A，流体相对于发射火箭喷出的，流体相对于发射火箭喷出的速度为流量为，流体密度为，列飞行速度为流量为，流体密度为，列飞行方向的动量方程有方向的动量方程有2RQvAv 火箭所获推力与气流受力方向相反，即火箭所获推力与气流受力方向相反，即2FQvAv可说明：提高速度可增大火箭推力。可说明：提高速度可增大火箭推力。图图420