人教A版选修2-2第一章单元测试题

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1 .函数f(x)的定义域为开区间(a, b),导函数f' (x)在(a, b)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案 A解析设极值点依次为x1,x2,x3且a<x1<x2<x3<b,则f (x)在(a, x1), (x2, x3)上递增，在(x1, x2), (x3, b)上递减，因此， x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点.2.在区间1, 2上，函数 f(x)=x2+ px+ q 与 g(x)=

2、2x + ；在 2X2，一 ，一一 ，1，一 ，一同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在2, 2上的最大值是()5B.413A<4C. 8D. 4答案 D 2,3.点P在曲线y = x3x+鼻上移动，设点P处的切线的倾斜角为3a ,则a的取值范围是()兀_兀，3A 0,5B. 0,万U 4 nt,兀)一 3、- r 兀 3 rc 4 兀，兀)D 2， 4 兀答案 B1一，一4.已知函数 f(x) =2x4 2x3+3m x6 R 若 f(x) +9>0 怛成立,-3B. nm> 2则实数m的取值范围是().、3A. m> 2-3C. mK 23D. m< 2答案

3、 A1解析因为函数f (x) =x4 2x3+3m所以 f' (x)=2x3 6x2.令f' (x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最27 一“，、一 一小值点，所以函数的最小值为f (3) =3mv万.不等式f(x)+9A0恒成27-3立，即f(x)n 9怛成立，所以3mv万> 9,解得m>2.5.函数f (x) =cos2x 2cos22的一个单调增区间是()B.D.A.C.。,答案 A解析 f(x) =cos2xcosx 1 , f' (x) = - 2sin x cosx+ sin x = sin x (1 2cosx).令f &#

4、39; (x)>0,结合选项，选A.、门， f乙1口- f x0 + 3Ax -f x06.设 f (x)在 x = x0 处可导，且lim-=1, x0则f' (x0)等于()A. 1B. 0-1C. 3D-3答案 D7.经过原点且与曲线x 9y=壬相切的明短程为(A. x + y=0B. x + 25y = 0C. x + y= 0 或 x + 25y = 0D.以上皆非答案 D8 .函数 f (x) =x3 + ax2+bx+c,其中 a, b, c 为实数，当 a2一 3b<0 时，W*)是()A.增函数9 .减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数答案 A10

5、若a>2,则方程1x3 ax2+1 = 0在(0,2)上恰好有()3A. 0个根B. 1个根C. 2个根D. 3个根答案 B一、一1 Q解析 设 f (x) =.x ax +1,贝U f (x) =x 2ax=x(x2a),3当 x£(0,2)时，f' (x)<0, f(x)在(0,2)上为减函数，又 f(0) f(2)=1 8-4a+ 1 =114a<0, 33f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根，故选 B.1510. 一点沿直线运动，如果由始点起经过ts后距离为s = 7t4-43t3+2t2,那么速度为零的时刻是()A. 1s 末B. 0sC. 4s

6、 末D. 0,1,4s 末答案 D11.设 f (x)=x2, x6 0,1,2 x, x1,2,则2f（x） dx等于（）0a44B.5D.不存在答案解析2f(x)0数形结合，如图.dx =011 33x2x-1x2=3+ (4-2-2+2)sin xsin xisin x则a, b的大小关系是（A. a>bB. a<b12.右函数 f(x)且 0<xi<x2<1> 设 a=b=-C. a=b答案 AD. a、b的大小不能确定解析f' (x)xcosx sin x令 g(x) = xcosxsin x,贝Ug' (x) = xsin x +

7、 cosxcosx= xsin x. 0<x<1, g' (x)<0 ,即函数 g(x)在(0,1)上是减函数，得 g(x)<g(0) =0,故 f' (x)<0 ,函数 f(x)在(0,1)上是减函数，得 a>b, 故选A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填 在题中横线上)13.若 f(x) =1x3 f ' (1)x2 + x + 5,则 f' (1) =3八 2答案23解析 f' (x) =x22f ' (1)x +1,令 x=1,得 f' (1) =2. 3兀 兀14.已知

8、函数f(x)满足f(x) =f(兀一x),且当x6, 时,f(x) =x+ sin x,设 a=f(1) , b=f(2) , c = f(3),则 a、b、c 的大小 关系是.答案 c<a<b解析 f(2) =f(兀一2),f(3) =f(兀3),因为 f' (x)=1 + cosx一 ， 兀 兀.一一一”兀A0,故f(x)在一万，万 上是增函数，,金文 2>1>兀一3>0,、(兀-2)>f(1)>f(兀3),即 c<a<b.15.已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4),且1f(x) dx = 3,则函数f(x)的解析

9、式为.0答案 f(x) =|x + | 33解析 设函数f(x) =ax+ b(a丰0),因为函数f(x)的图像过点(2,4),所以有 b=42a. 1f(x) dx= 1(ax +42a) dX 00J 211, c /=,ax + (4 2a)x ° = 2a + 42a= 1.28=3X+3.2 . ,8 一、 .a= 3. - b = 3. f(x)16. （2010 江苏卷）函数y = x2（x>0）的图像在点（ak, ak）处的切 线与X轴的交点的横坐标为ak+1,其中k6N.若a1=16,则a + a3+ a5的值是.答案 21解析= 2x, 过点 ，a2）处的切

10、线方程为y-ak= 2ak（x11a。，又该切线与x轴的交点为（ak+1,0）,所以ak+1=2ak,即数列ak1是等比数列，首项 a=16,其公比q = 2,.a3 = 4, a5=1,.21+23 + a5 = 21.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、 证明过程或演算步骤）17. （10分）如图，直线y=kx分抛物线y=xX2与x轴所围成图 形为面积相等的两部分，求k的值.信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达解析 抛物线y = xx2与x轴两交点的横坐标为Xi = 0, X2= 1,所以，抛物线与x轴所围图形面积S= 1(x-x2)dx=02 x3 -2 31

11、13= 6.2y=xx,2又 ,由此可得抛物线y = xx与y=kx两交点的横y= kx,S坐标 x3=0, x4=1 k,所以 2 =,21-k(x x kx) dx =013= 6(1 k) 3.一 1 一、，3 1又 S=所以(1 -k) =2,18. (12分)已知函数f(x)= x4 4x3+ax2 1 在区间0,1上单调递增，在区间1,2)上单调递减.求a的值；若点A(x0, f(x0)在函数f(x)的图像上，求证：点 A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.解析 (1)由函数f(x) =x4-4x3 + ax2-1在区间0,1单调递增，在区间1,2)单调递减，.x=

12、1 时，取得极大值，f' (1)=0.又 f ' (x) =4x312x2+2ax,4 12+2a= 0? a=4.(2)点A(x0, f(x0)关于直线x=1的对称点B的坐标为(2x0, f(x0) ，f(2 x0) =(2- x0)4 4(2 x0)3 + 4(2 x0)2 1= (2- x0)2(2 x0) -22 -1= x404x30+ ax20- 1 = f(x0),.A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.19. (12 分)设 x= 2 与 x=4 是函数 f(x) =x3+ax2 + bx 的两个 极值点(1) 求常数a， b；(2)试判断x= 2

13、, x=4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说 明理由解析 f' (x) = 3x2+ 2ax+ b.(1) 由极值点的必要条件可知：f ' ( 2)=f ' (4) =0,即12 4a+b=0, 48+8a+b=0,解得 a= 3, b= - 24.或 f ' (x) =3x2+2ax+ b = 3(x + 2)(x -4)= 3x2 6x 24,也可得 a= 3, b= - 24.(2)由 f ' (x) =3(x +2)(x -4).当 x< 2 时，f' (x) >0,当一2<x<4 时，f' (x) &

14、lt;0.x= 2是极大值点，而当x>4时，f' (x) >0,.x= 4是极小值点.20. (12 分)已知 f(x) =ax3 6ax2+b,x6 1,2的最大值为 3, 最小值为29,求a, b的值.解析 a# 0(否则f(x) = b与题设矛盾)，由 f' (x) =3ax2-12ax= 0 及 x6 1,2,得 x=0.(1)当a>0时,列表：x(-1,0)0(0,2)(x)十0一f(x)增极大值b减由上表知，f(x)在 1,0上是增函数，f(x)在0,2上是减函数.则当x=0时，f(x)有最大值，从而b=3.又式-1) =-7a+ 3, f(2)

15、=16a+ 3,. a>0, .J( -1)>f(2).从而 f(2) =16a+3= 29,得 a = 2.(2)当a<0时，用类似的方法可判断当x = 0时f(x)有最小值.当x = 2时，f(x)有最大值.从而 f(0) =b=-29,f(2) =16a 29=3,得 a= - 2.综上，a= 2, b= 3a= - 2, b= - 29.21. (12分)(2010 重庆卷)已知函数f(x) =ax3 + x2+bx(其中常 数 a, b6R), g(x)=f(x)+f' (x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间

16、1,2上的最大值与最小 奋斗没有终点任何时候都是一个起点值.解析(1)由题意得 f' (x) =3ax2+2x+b.因此 g(x) = f (x) + f' (x) = ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数 g(x)是奇函数，所以 g(x)= g(x),即对任意实数 x,有 a(-x)3 + (3a+1)( -x)2 + (b + 2)( x) + b= ax + (3 a+ 1) x + ( b+ 2)x + b,从而 3a+ 1=0, b=0,解得 a= b= 0,因此 f(x)的解析式为 f (x) = -x3 + x2.33(2)由知 g(x) = 1x

17、3+2x,所以 g' (x) = x2+2. 3令 g' (x) =0,解得 x1 = 也，x2=V2,则当 x<42或 x>42时， g' (x)<0,从而g(x)在区间(一 oo, 一V2,业 + oo )上是减函数； 当一啦<x<2时，g' (x)>0,从而g(x)在/，42上是增函数.由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x=一一，1 一54 24 一 .，1,勺2, 2 时取得，而 g(1) =-, g(42)=Tj, g(2)=因此 g(x)在 333区间1,2上的最大值为g(啦)=42,最小值

18、为g(2) =4. 33._._1 x22. (12 分)已知函数 f(x)=ln( ax+1)+7, x>0,其中 a>0.1 I x(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f (x)的最小值为1,求a的取值范围.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x)的导数f' (x),再利用 导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意 在定义域范围内求解.信达解析a 2ax + a 2(x) =ax+1 1 + x2= ax+11 + x2'f(x)在x=1处取得极值，*- f (1) =0,即 a , 12+ a 2=0,解得 a= 1.ax + a 2(2) f (x) =2,ax+11 + x.x> 0, a>0,. ax+ 1>0.当an2时，在区间0, +s)