万有引力与天体运动--最全讲义

1、最新资料整理推荐万有引力与天体运动讲义本章要点综述1. 开普勒第三定律:行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。占（K值只与中心天体的质量有关）2. 万有引力定律：巧产G嚳r（1）赤道上万有引力：5 = mg +伦=mg +加倫（g和是两个不同的物理量,）（2）两极上的万有引力：F；| = mg3. 忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。竺（黄金代换）4. 距离地球表面高为h的重力加速度：GMm(尺+川=nig => GM = gf(R + hy =>g' =GM(R+府15. 卫星绕地球做匀速圆周运动:万有引力提供向心力F” = = = /;

2、.,色竺=阳=一绰（轨道处的向心加速度a等于轨道处的重力加 rr速度gQ（2）畔耳得 一越大/ 2越大， 6).最新资料整理推荐由g譽整得.厂越大，TT = 76. 中心天体质量的计算：方法1： GM =gR （已知R和g）方法2： ，=忤=M = 丁（已知卫星的V与r）方法3：妇浮nM =穿 （已知卫星的血与r）方法4:幕"=注（已知卫星的周期T与r）方法5：已知匕_ =（已知卫星的V与T）rZTT2ttG_ pAT方法$已知上 （已知卫星的v与。，相当于已知V与T）球的体积公式：V = R7 地球密度计算:近地卫星° =浑 （r=R）&发射速度：采用多级火箭发射

3、卫星时，卫星脱离最后一级火箭时 的速度。运行速度:是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度.当卫星“贴着"地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。第一宇宙速度（环绕速度）：7.9km/so卫星环绕地球飞行的最大运行速度。地球上发射卫星的 最小发射速度。第二宇宙速度（脱离速度人11.2km/s o使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行,从地球表面发射所需的最 小速度。第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/so使人造卫星挣脱太阳引力的 束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去，从地球表面发射所需要的最小速度。卫星绕地球做匀速側周运动卫星绕地球运动，轨道是栉圖卫星说离地球束缚，

4、成为太 阳系的一颗小行星.卫星規离太阳束缚，E出太阳系要点精析1、人造卫星万有引力提供向心力:同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相 同的周期 周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期 就等于地球自转的周期，T=24 h. 角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速 度. 轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内. 高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度 是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度 约为 h=3.6X104 km. 环绕速度大小一定:所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一 定的，都是3

5、.08 km/s,环绕方向与地球自转方向相同.2. 卫星变轨和卫星的能量问题人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变 化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或 者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化, 可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并 不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度 虽小，但发射速度越大。解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解 若尺供=尺求，供求平衡一一物体做匀速圆周运动. 若F供VF求，供不应求 体做离

6、心运动. 若F供F求，供过于求一 体做向心运动.卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道 /、/ 、变成圆轨道的目的，可以通过加速（离心）或减速i '（向心）实现.速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星（或行 星）越近速率越大.加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速 度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。3. 近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的 异同：1. 轨道半径：I同r近=上物2. 运行周期：T同=丁物丁近3. 向心加速度：a近a同a物4. 双心问题在天体运动

7、中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星.它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变.已知两星质量分别为Ml和M2,相距L, 求它们的角速度.如图，设Ml的轨道半径为rl, M2的轨道半径为r2,由于两星绕0点做匀速圆周运动的角速度相同,都设为3,根据万有引力定律有:1. 双星系统模型的特点：c两星都绕它们连线上的一点减五ffl'就塩动，故/两皇附幣速f、/ 、 度、周期相等.勺+5二力(2) 两星之间的万有引力提供各自裁斑画亟的向心力，所丿岁 它们的向心力大小相等；八 °'、“/(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即n +r2

8、=L.2. 双星系统模型的三大规律：(1) 双星系统的周期、角速度相同.(2) 轨道半径之比与质量成反比.(3) 双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的 总质量有关，而与双星个体的质量无关.5. 三星模型宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星 系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.现已观测到稳定的三 星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星等间距地位于同一直 线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三最新资料整理推荐颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道 运行.附录：万有引力相关公式1思路和方法:卫星或天体的运

9、动看成匀速圆周运动，F心二F万（类似原子模型）2 公式：=man,又 an=- = co2r=（）2r,则 v= J学,3=爭,3求中心天体的质量M和密度P由G导=m（丝"nM二空 （4 =恒量）TGT 珞=啓二（当r=R即近地卫星绕中心天体运行P = * =洛時 飞冰 GR T5近 s远 KW） => P =-（M=pV trp -7T r3） s 球曲 =4“2 s=r2 （光的垂C7T*3直有效面接收，球体推进辐射）S球肿2兀貼9轨道上正常转:地面附近:F引晋r>LV2t Q兀-f A 2=F <,= ma 心=m = mco R=m R =m4 r-nR厂G

10、呼=mg => GM=gR2 （黄金代换式）mg R-=>v = -JgR =v 第_宇宙二7. 9km/s题目中常隐含：（地球表面重力加速度为g）;这时可能要用到上式与其宜方程联立来和。轨道上正常转:c Mm”G = m => v = r2RGM【讨论】（V或Ek）与r关系,r JR小时为地球半径时,v第-字宙=7. 9km/s （最大的运行速度、最小的发射速度）;T 最小=84. 8min=l. 4h 沿圆轨道运动的卫星的几个结论：v二厚，叶罟，T=2ng 理解近地卫星：来历、意义 万有引力重力二向心力、r杯时为地球半径、最大的运行速度二v第一宇宙=7.9km/s （最小

11、的发射速度）；T晟小=84. 8min=l. 4h同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯（南北极仍有盲区）轨道为赤道平面T=24h=86400s 离地高h=3. 56 x l（Tkm （为地球半径的5. 6倍）V同步=3.08km/s<V第-宇宙=7.9km/s©=157h（地理上时区）a=0. 23m/s.最新资料整理推荐 运行速度与发射速度、变轨速度的区别 卫星的能量:卜增nv减小（Ek减小CEp增加），所以E总增阪1需克服 引力做功越多，地面上需要的发射速度越大卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不 能进行 应该熟记常识:地球公转周期1年，自转周期1天=

12、24小时=86400s, 地球表面半径6.4x 105km表面重力加速度g=9. 8 m/s2月球公转周 期30天例题精讲1. 对万有引力定律的理解（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反 比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。（2）公式表示：F二凹件。厂（3）引力常量G：适用于任何两物体。意义：它在数值上等于 两个质量都是lkg的物体（可看成质点）相距lm时的相互作用力。G的通常取值为G=6o 67X10“Nm7kg2。是英国物理学家卡文迪许 用实验测得。一个重要物理常量的意义：根据万有引力定律和牛顿 第二定律可

13、得：G件=mr（学尸字半二k.这实际上是开普勒第 厂T厂 4/r三定律。它表明是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同 一星球运转的卫星，均可使用该公式。（4）适用条件：万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。 当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接 使用万有引力定律计算。当两物体是质量均匀分布的球体时，它 们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距 离。当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数 个质点，求出两个物体上每个

14、质点与另一物体上所有质点的万有引 力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路）（5）万有引力具有以下三个特性： 普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到 天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相 互作用之一。 相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合 牛顿第三定律。 宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或 天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的 质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。天体间的主要作用 力就是万有引力了。【例1】设地球的质量为M,地球的半径为R,物体的质量为m,关于 物体与地

15、球间的万有引力的说法，正确的是:11最新资料整理推荐A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。B、物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F二气于-oC、物体放在地心处，因r=0,所受引力无穷大。D、物体离地面的高度为R时，则引力为F二兽4R-答案DK总结（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物 体对地球与地球对物体的引力大小相等。（2）F=凹伴。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误厂认为是两物体表面间的距离。（3）F=凹件适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心厂处，显然地球已不能看为质点，故选项C的推理是错误的。【例2】对于万有引力定律的数学表达式F二凹

16、伴，下列说法正确的厂是：A、公式中G为引力常数，是人为规定的。B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。C、血、m2之间的引力总是大小相等，与口、血的质量是否相等无关。D、nu、曲之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 答案C2. 关于万有引力和重力的关系地面上物体所受万有引力F可以分解为物体所受的重13最新资料整理推荐力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F，o19其中F = GMm=mrco1当物体在赤道上时，F、mg> F，三力同向，此时满足N +mg=F 当物体在两极点时，严=0 ,F=mg=GR- 当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。【例3地球赤道上的物体由于地球

17、自转产生的向心加速度a=3. 37X IO-2 m/s2,赤道上重力加速度g取10m/s2试问：(1) 质量为m kg的物体在赤道上所受的引力为多少？(2) (2)要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重，地球自 转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？解析：(1)物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖 直向下运动的重力，一是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在 赤道上这三个力的方向都相同，有F引=mg+F向=m(g+a)=m(9. 77+3. 37 X10'2) =9. 804m (N)(2)设地球自转角速度为3,半径为R,则有a=3R,欲使物体完 全失重，即万有引力完

18、全提供了物体随地球自转所需的向心力，即m Z R=F引=9. 804m,解以上两式得3 =17. 1 w.3. 计算重力加速度1、在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用 万有引力定律来计算。g=G_=6. 67*10-*5.98 *1024(6730* 1O3)2=9. 8 (m/? )=9. 8N/kg即在地球表面附近，物体的重力加速度g=9. 8m/52o这一结果表明, 在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。2、即算地球上空距地面h处的重力加速度才。有万有引力定律可 得：j _ GMGM g _ R2 丿 一 R 亠g 一77又g一亍'？一7'gg

19、3计算任意天体表面的重力加速度g o有万有引力定律得： 才=兽（M，为星球质量，R，卫星球的半径），又g=,A = （）2og M R4. 佔算中心天体的质量和密度 1中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得:G昨=厂mr()2,T2中心天体的密度方法一：中心天体的密度表达式p=鈴，7=1叔（R为中心天体的V4半径），根据前面M的表达式可得：P=-vo当r=R即行星或卫5 K星沿中心天体表面运行时，P =琴。此时表面只要用一个计时工具,G1测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期T,就可 简捷的估算出中心天体的平均密度。方法二 由g哼,M晋进行估算，p=¥，卩=

20、化R- GV4G7TR地球的同步卫星(通讯卫星) 同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，同 步卫星的运行方向与地球自转方向相同，周期T=24h,同步卫星又叫 做通讯卫星。同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h,运行速率v是唯一确 定的。设地球质量为儿 地球的半径为R=6.4xl06m,卫星的质量为加，根据 牛顿第二定律G 册切(R+h)冷设地球表面的重力加速度g=9.8m/s2 ,贝SjGmJRg以上两式联立解得:R-T2g J（6.4x 106）2 x（24x 36OO）2 x 9.8R+h=V 4疋-=4.2x 107m4x3.142同步卫星距离地面的高度为h=(4.

21、2x 107-6.4x 106)m=3.56x 107m注意:赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫 星的区别在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比 较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆 心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R, 因此，有些同学就把两者混为一谈,实际上两者有着非常显著的区别。地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有 引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们 通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速

22、度逐渐 变大,将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星, 万有引力全部充当向心力。赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相 对静止，因此它做圆周运动的周期应与地球自转的周期相同，即24 小时，其向心加速度0.034m/s2；而绕地球表面运行的近地卫 星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度， 它的周期可以由下式求出：R T求得T=2j匹，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕 VGM地球的运行周期T约为84min,此值远小于地球自转周期，而向心加 速度a J磐=9.8m/s2远大于自转时向心加速度。R'【例4已知引力常量G=6. 67X10_11Nm

23、9;/k，重力加速度g =9. 8m/s2,地球半径R=6.4X104m,可求得地球的质量为多少？（结果 保留一位有效数字）解析：在地球表面质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有MmG =mg9.8x(6.4xl06)26.67 xlO-11kg = 6x 1024Zrg【例5 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量最新资料整理推荐A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞 船的轨道半径与行星的半径相等,飞船做圆周运动的向心力由行星对 它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律： G叫心叽R- T由上式可知：二占，即行星的密度p=斗;込2込EGT-33上