专题18常用逻辑用语解析版

1、专题18常用逻辑用语1、【2019年高考天津文数】设 x R，则“ 0 x 5 ”是“ |x 1| 1 ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|X 1| 1可得0 x 2,易知由0 x 5推不出0x2,由0 x 2能推出0x5,故0 x 5是0 x 2的必要而不充分条件，即“ 0 x 5 ”是“ I x 1| 1 ”的必要而不充分条件.故选B.本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x的取值范围2、【2019年高考浙江】若 a>0, b>0,则“ a+bw 4”是 “abw 4”的（）A.充分不必要条件B

2、.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a> 0, b> 0时，a b 2. ab，则当a b 4时，有Z ab a b 4，解得ab 4，充分性成立；当a=1, b=4时，满足ab 4，但此时a+b =5>4，必要性不成立，综上所述，“ a b 4”是“ ab 4 ”的充分不必要条件故选A.易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取a,b的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果3、 【2019年高考全国n卷文数】设 a, B为两个平面，则 all B的充要条件是（）A. a内有无数条直线

3、与 B平行B. a内有两条相交直线与B平行C.a,B平行于同一条直线D. a, B垂直于同一平面答案】 B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是 / 的充分条件；由面面平行的性质定理知，若/ ,则 内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是 / 的必要条件 .故a/卩的充要条件是a内有两条相交直线与 卩平行.故选 B 面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断4、2019 年高考北京文数】设函数f (x) =cosx+bsinx (b为常数)，则"b=0”是“f (x)为偶函数”的()5、6、A.充分而不必要条件

4、B.必要而不充分条件C.充分必要条件答案】 C解析】当 b 0 时，当 f (x) 为偶函数时，由 f ( x) cos( x)D.既不充分也不必要条件f (x) cosx bsin x cosx ， f (x) 为偶函数；f ( x) f (x) 对任意的 x 恒成立，bsin( X) cosX bsinX ，得 cosX bsinX cosX bsinX，则 bsinx 0 对任意的 x 恒成立，从而 b 0.故b 0”是f(X)为偶函数”的充分必要条件.故选 C.本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查【2018年高考浙江】已知平面a,直线m, n满足m a, n a,贝U

5、m / n"是m / %"的()A .充分不必要条件B 必要不充分条件C.充分必要条件答案】 AD .既不充分也不必要条件解析】因为 ? ?,? ?,?/?，所以根据线面平行的判定定理得?/?.由 ?/?不能得出 ?与?内任一直线平行，所以 ?/?是?/?的充分不必要条件 .故选 A.【2018年高考天津文数】设 x R，则x38 ”是|x| 2 ”的()C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式 ? > 8可得?> 2,求解绝对值不等式|?> 2可得？?> 2或？?< -2，据此可知：?> 8”是“？> 2

6、”的充分而不必要条件故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力7、 【2018年高考北京文数】设 a,b,c,d是非零实数，则 ad=bc"是a,b,c,d成等比数列"的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当？?= 4,?= 1,?= 1,?= 1时，？?不成等比数列，所以不是充分条件；4当？?成等比数列时，贝U ?= ?所以是必要条件综上所述，?= ?是 ?成等比数列”的必要不充分条件故选B.【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质

7、是判断命题? ?以及？?？ ？的真假判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题8、 【2018年高考江苏数】设;是首项为，公差为d的等差数列，bj是首项为公比为q的等比数列.(1 )设l.q-2,若斗%| n%对门LH均成立，求d的取值范围；(2)若刈证明：存在dER,使得忆兰对:】 gm + 丨均成立，并求d的取 值范围(用 时也乓表示).解析：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，

8、通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件二是讨论分析 法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条详解：解：(1 )由条件知： (门-1風切因为匡心-、3对n=1 , 2, 3, 4均成立，即 Kn- l)d-2n-l|<对 n=1, 2, 3, 4均成立，即 11, 1 d 3, 3 2d 5, 1<|3d 9，得吃：3 2因此，d的取值范围为C.1 2(2 )由条件知：*,'：；：-：丄、-、'若存在d，使得I斗厂荃6 (n=2, 3,，m+1)成立，即 + (n - 1 )d -''| <

9、 b(门 23 rm +即当从而I 时，d 满足bi<d<L_n - 1n -1n - 1qi-1-I I均成立.ph】兰C= 0，对因此，取d=0时，卜对一丨均成立.H - 1 勺F面讨论数列n二的最大值和数列一：的最小值(h当心沙时，是_芒士吋n - In(n- 1)“，从而 i(q" - qn '- q11 + 2 > 0 n(n - 1)na因此，当时，数列故数列n-二的最大值为I5一 单调递增， n -1-J2)m设 i'(x) - 2Xi 1 - xj，当 x>0 时，fg 珂沁 J “ xln2)2s < 0 ,所以fg单调

10、递减，从而f(x)<f(0)=当卜,代二咤'工|时，II1 nn nn- 111 - 1因此，当x-、l时，数列单调递减，n -1ii-1Im故数列,?的最小值为n - 1tn因此，d的取值范围为：m m难点突破、充分性和必要性(1) 对于两个条件 p,q，如果命题“若 p则q ”是真命题，则称条件 p能够推出条件q，记为p q ,(2) 充分条件与必要条件： 如果条件p,q满足p q，则称条件p是条件q的充分条件；称条件q是条件p的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方 面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若

11、p则q ”的真假，也要判断“若 q则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系:(1)p能推出q，但q推不出p，则称p是q的充分不必要条件(2)p推不出q，但q能推出，则称p是q的必要不充分条件(3)p能推出q，且q能推出，记为p q，则称p是q的充要条件，也称p,q等价(4)p推不出q，且q推不出，则称p是q的既不充分也不必要条件4、运用集合作为工具由P Q可得到：x Px Q，且x Q推不出x P，所以“ x P ”是“ x Q ”充分不必要条 件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关 系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断

12、出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间 的关系了。相关结论如下： P Q : p是q的充分不必要条件， q是p的必要不充分条件 P Q : p是q的充分条件 P Q : p是q的充要条件此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在p : x 1;q : x2 1 0中，满足p的x取值集合为P 1 ,而满足q的x取值集合为1,1所以P Q，进而判断出p是q的充分不必要条件p是q的充分不必要条件，则命5、关于“ p, q ”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如:q，则 p ”也为

13、真命题。题“若p，则q ”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若 所以 q 是 p 的充分不必要条件二、恒成立问题参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为 D ， f x 为函数；a 为参数，g a 为其表达式）1）若 f x 的值域为 m,M xD, gafx，则只需要gafxmin mxD, gxfx，则只需要gafxmin m xD,gafx，则只需要gafxmax =MxD,gafx，则只需要gafxmax =M xD,gafx，则只需要gafx maxMxD, gafx，则只需要gafx maxM xD,gafx，则只需要gafx minmxD,

14、 gafx，则只需要gafx minm（2）若 f x 的值域为 m,MD,g，则只需要 gD,g，则只需要 g注意与（1）中对应情况进行对比）D,g，则只需要 gD,g，则只需要 g注意与（1）中对应情况进行对比）D,g，则只需要 g注意与（1）中对应情况进行对比）D,g，则只需要 gD,g，则只需要 g注意与（ 1）中对应情况进行对比）x D,g a f x，则只需要g a m三、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不

15、含参数的一侧可以解出最值（同 时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。（2 ）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变 量表达式的最值即可。题型突破题型一、充分必要条件充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断若？则？、若？则？的真假.并注意和图示相结合，例如 ？?为真，则？是？的充分条件.（2）等价法：利用？?与非？?非? ?与非？?非? ?与 非?非？?勺等价关系，对于条件或结论是否定式的命题， 一般运用等价法.（3）集合法：若？?？则?是?的 充分条件或？?是？的必要条件；若？?= ?则？是？的充要条件.1例

16、1、（2018盐城三模）“ x 2k -,k Z ”是“sin x 、成立的条件（选填“充分不必要”、6 2“必要不充分、“充要、“既不充分又不必要、）.【答案】充分不必要1 5【解析】：根据正弦函数y sinx的图象，由sinx 可得，x 2k ，或x 2k,k Z ,2 6 61故“ x 2k-,k Z ”是“ sin x 一”成立的充分不必要条件6 2【规律总结】因为“小范围”可以推出“大范围”，故“小范围”是“大范围”的充分条件，“大范围”是“大范围”的必要条件例2、（2016南京学情调研）已知直线I, m,平面a, m? a,贝厂'1丄m”是“ I丄a”的条件（填“充分不必要

17、”“必要不充分、“充要”或“既不充分又不必要、）.【答案】必要不充分【解析】根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“ I丄m”推不出“ I丄a”，但是由定义知“ I丄a”可推出“ I丄m”，故填必要不充分例3、（2016南京三模）记不等式x2+ x 6v0的解集为集合 A,函数y= lg（x a）的定义域为集合 B.若“x A”是“ x B”的充分条件，则实数 a的取值范围为【答案】 ，32【解析】：由x x 60得3x2，即A 3,2，又由x a 0得x a，即B a, ，因为“ x

18、 A”是“ x B ”的充分条件，所以3,2 a, ，故a 3。题型一函数的存在问题函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： xD,gafx，则只需要gafxmaxMx D,g a f x，则只需要 g a f x max M xD,gafx，则只需要gafxminmxD,gafx，则只需要gafxminm例4、(2016苏锡常镇调研)已知函数f(x)= x|x a|,若存在x 1, 2，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是.【答案】(1,5)2【解析】 解法 1 当 x 1,2时，f(x)<2，等价于

19、lx(3) 当 1<a<4 时，|a x2|>0,与 一>0 矛盾.那么有aw 1或a> 5，故原题答案为1<a<5.解后反思 对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1);也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2).题型二函数的恒成立问题参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设x为自变量，其范围设为 D，f x为函数；a为参数, ax|<2,即Zvx3 ax<2，即 x3 2<ax<x3+ 2,得到 x2x22口 口2222<a<x2+ ，即

20、x x min<a< X + x max，得到一1<a<5.xxx解法2原问题可转化为先求：对任意 x 1,2，使得f(x) >2时，实数a的取值范围.2则有 xx2 a|>2，即 |a x2|>一.x2 2(1) 当 a >4 时，a>x2 + x22+ ? = 5，得到 a >5.222(2) 当 a< 1 时，x2 a>，有 a<x2 < 1 = 1，得到 a< 1.xx1g a为其表达式)(1 )若f x的值域为 m, M5、D，gD，gD，gD，g(2015年江苏卷)，则只需要g，则只需要g，则

21、只需要g，则只需要gmin mmin mmax=Mmax=M在平面直角坐标系 xOy中，P为双曲线x2 y2= 1右支上的一个动点.若点P到f(x)x，又当 f(x) smxmin恒成立时实数m的最大值为1，所以f(x)min1.因为4)11所以问题等价转化为f(x)1在1,)上恒成立，即f(x) x 0在1,)上恒成立.直线x y+ 1 = 0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为【答案】22【解析】思路分析 1设出点P的坐标，求出点 P到直线的距离d,从而将问题转化为求距离 d的取值 范围.解法1设点P(x, ± x2 1)(x > 1,)不妨以点P(x,x2 1)为例，则

22、点P到直线x y + 1 = 0的距离d =|x_、x2 1 + 1| 11,令U = X x2 1=,它在区间1 , +8上单调递减，所以U>0,且当 XT+ X时，2x + x2 1uT0 ,所以 d>¥，故 Cmax=¥思路分析2注意到双曲线的图像与它的渐近线无限接近，而直线x y+ 1= 0与渐近线x y= 0平行,因而，点P到直线x y+ 1 = 0的距离大于两条平行线 x y + 1 = 0与x y= 0的距离.解法2双曲线x2 y2= 1的渐近线方程为x±y= 0,而直线x y+ 1 = 0与x y= 0平行，它们之间的距离为d=吉=乎，

23、又当Xi + *时，点P到渐近线x y = 0的距离无限接近于 0,故点P到x y+ 1 = 0的 距离 d' >>，从而 Cmax=¥.1 1例6、(2019南京三模)已知函数 f(x) = 2x2 alnx+ x ，对任意x 1, + *)当f(x) Smx恒成立时实数 m的最大值为1，则实数a的取值范围是 .【答案】.( *,1【解析】对任意 x 1 ,+ 8)有f(x) smx恒成立，即f (x) m恒成立，即mx设 g(x) f(x) x1a 2( % " g(x)当a1时，因为所以g (x)x2a0，因此g(x)在1,x)上是单调递增函数，所

24、g(x)g(i) o,即f(x)x 0 在1,)上恒成立;当a1时，在(1a)上，有g (x)在(、a,)上，有 g (x)0，所以g(x)在(1,、a)上为单调递减函数,在(、a,)上为单调递增函数当 x (1,、.a)，有 g(x) g(1)0,即 f(x) x 0 在1,)上不恒成立综合得：实数 a的取值范围是(,1.例 7、( 2016 江苏卷)已知函数 f(x)= ax+ bx(a>0 , b>0 , al,1)、九1(1)设 a = 2, b = 2. 求方程f(x) = 2的根； 若对于任意x R，不等式f(2x) smf(x) 6恒成立，求实数 m的最大值；【解析】

25、思路分析 第1问的第2小题，通过将变量 m分离出来，将问题转化为求分离出的函数的最小值则可第2问，注意到g(0) = 0,从而得0是函数g(x)的一个零点，为此，只需说明函数g(0)为函数g(x)的最大值或者最小值，进而说明它的某个极值点与0相等，由此来求出ab的值.规范解答(1)因为a= 2, b= 2，所以f(x)= 2x+ 2 x. 方程 f(x)= 2, 即卩 2x+ 2 x= 2，亦即(2x)2 2X2x+ 1 = 0，所以(2x 1)2= 0,于是 2x= 1,解得 x= 0. 由条件知 f(2x) = 22x+ 2 2x= (2x+ 2X)2 2 = (f(x)2 2.因为f(2

26、x) Smf(x) 6对于x R恒成立，且f(x)>0,2f (x)f(x)所以m<4故实数4f(x) f( ) 4, f(x)m的最大值为4.所以m2f (x) 4,对于一切实数R恒成立。而f (x)题型二函数的存在与恒成立的综合函数的存在与恒成立的问题涉及到函数的值域的关系或者把参数独立出来转化为存在或者恒成立问题来处理。2例8、(2019苏州期末)设函数f(x) = x ax2，若对任意X1 ( ,0)，总存在X2 2, 使得f仪2) f(x),则实数a的范围【答案】0 a 1【解析】思路分析考察函数f(x)在区间(8, 0)和上的最小值或下确界特别注意到，当azo时，当x購

27、时,2 ax2= 0.X8 ) 当当a<0 时，f(x1) min = f 2 = 0,而f(X2)>0恒成立，所以不可能有f(X2)< f(M；当0<a<4时，f(X 2)min = f 32 = 0,而f(X1)亘成立，满足要求;a当a>时,222ax3+ 2设 g(x)=厂 ax2,则 g' (x= p 2ax= -XX2-易得g(x)在813 上递增，在上递减，在(2,)单调递减3 a所以f(X1)min33a f(X2)min 4a 1所以4a 13需解得4a2，在，满足要求;a= 0时，f(x)=合在(8, 0)上的值域为(0,+)凶综上

28、：0 a 1“a b ”是“ tan0=的1、(2016南京、盐城一模)设向量a= (sin2 0, cos 9, b= (cos 0, 1)，则条件.(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”【答案】必要不充分1【解析】：若 a/ b,贝U cos【解析】“存在x R, ax2 + 4x+ a< 0”为假命题，则其否定“对任意 x R, ax2 + 4x + a>0”为真命题，当a>0,a = 0,4x>0不恒成立，故不成立；当a工0时，2 解得a>2,所以实数a的取值范围是(2, += 16 4a2<0, 0 sin2 0= 0,

29、即卩 co£ 0-2sin 9cos0= 0.得 cos 0= 0或 tan 0=?.所以"cos 0= 0或23、( 2013年江苏卷)已知函数 f x x mx 1，若对任意的x m,m 1，都有f x0成立，则实数m的取值范围是答案：2 ,02解析：恒成立的不等式为x2 mx 1 0,如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为x所在区间含参，m的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到f x是开口向上的抛物线，若要2m2 102f m 1 2m 3m4、(2017苏北四市摸底)已知函数0，只需端点处函数值小于零即可(无论对称轴是否

30、在区间内)，所以只2 2m22 ，解得m2 ,02f(x)= ex 1 + x 2(e为自然对数的底数)，g(x)= x2 ax a+ 3,若存在实 数*, X2,使得f(x1)= g(x2)= 0,且|x1 X2|w 1,则实数a的取值范围是【答案】.2,3【解析】易知函数f(x) = ex 1 + x 2为单调递增函数，且f(1) = e0 + 1 2= 0,从而xu 1.因为|x1 X2|w 1, 所以卩一 X2|w 1,所以0< x2< 2.题意也就可转化为存在实数 x 0,2,使得x2 ax a+ 3 = 0成立，即存在实 数x 0,2,使得a =缶成立令t = x+ 1

31、(t * 1,3)，则g=耳仝十4一 2 >2 £一2 = 2,当且4 4仅当t= t,即t = 2, x= 1时取等号.又因为g(t)max= maxg(1), g(3) = 3,所以函数g(t) = t+厂2的值域为 2,3,从而实数a的取值范围是2,3.|x3 2x2 + x|,x<1 ,5、( 2018无锡期末)已知函数 f(x)=若对于？t R, f(t)w kt恒成立，贝U实数k的lnx, x> 1,取值范围是.【答案】1, 1e【解析】 思路分析 本题条件“？ t R, f(t)W kt”的几何意义是：在(8,+)上，函数y= f(t)的图像恒 在直线

32、y= kt的下方，这自然提示我们利用数形结合的方法解决本问题.1 令 y= x3 2x2 + x, x<1,则 y'= 3X2 4x + 1 = (x 1) (3x 1),令 y' >0,即(x 1)(3x1)>0 ,解得 x<3311 11或x>1.又因为x<1,所以x<3.令y' <0,得3<x<1 ,所以y的增区间是(一 , 3),减区间是q, 1),所以y极大值=27.根据图像变换可作出函数y=|x3 2x2 + x|, x<1的图像.又设函数 y= Inx(x> 1)的图像经过原点的11I

33、nx1 01切线斜率为k1,切点(X1, Inx1),因为y'=-，所以匕=一=，解得* = e,所以刘=-.函数y= x3 2x2xX1x1 0e1+ x在原点处的切线斜率k2= y' x= 0= 1.因为？t R, f(t)w kt,所以根据f(x)的图像，数形结合可得-< kw 1.6、已知函数fa的取值范围是X1,X20,1 ,不等式f X1f X2a 1恒成立，则答案：e,解析：若不等式恒成立，则f X-|f x2maxf x1 与 f x2差的最大值即为f x最大值与最值的差。所以考虑求 f Xx2 xlna 在0,1 的最大最xaxln a 2x In aa

34、x 1 In a 2x ,1，则 ax1 0,ln a 0 ,所以 ax1 ln a0 a 1，则 ax 10,lna 0，所以 ax1 ln a 0。而2x 0 ,所以无论a为何值,f X在0,1单调递增。f X maxX mina Ina ,从而 a 1 a In a ,解得 a7、已知函数f x2ax 2a1 Xln x,a R, gXx ex 1,不等式1fx-igX2恒成立，求实数a的取值范围答案：a1,0解：Q f *gX2恒成立只需f X1g Xmin由g xx ex1 得: g' XX e1,令 g' x0解得：x 0g x在,0单调递减，在0,单调递增g X

35、ming 00x0,ax22a 1X1ln X10恒成立即只需1f xmax0若对于任意的X10, X2R,x 2axa 0时，令2a 12aIna 0 时，2axf x 在 0,1f xmax综上所述：a2a2a 122ax 2a 1 x 1 2ax 1 x 1单调递增，在1 a 2a1,0In1,8、( 2014年江苏卷)10.已知函数0解得x 1单调递减0矛盾f(x) = ex+ e_x,其中e是自然对数的底数.(1) 证明：f(x)是R上的偶函数；(2) 若关于x的不等式mf(x)w e_x+ m- 1在(0,+ )上恒成立，求实数 m的取值范围；(3) 已知正数a满足：存在X0 1

36、,+s )，使得f(x0)<a( x0+ 3x0)成立.试比较ea-1与ae-1的大小，并 证明你的结论.解析： 因为对任意 x R，都有 f( x) = ex+ e(_x)= ex+ ex= f(x),所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知 m(ex+ e x 1)< ex 1在(0,+ )上恒成立.t 一 ii令 t= ex(x>0)，贝U t>1，所以 mW 2=;对任意 t>1 成立.t1 t-1+1 1+1因为t- 1 +占+ 1>2寸t- 1占+ 1 = 3,所以=-£，t 1 + t1+ 1当且仅当t= 2，即x = ln2时等号

37、成立.因此实数m的取值范围是一R,；.11(3)令函数 g(x) = ex+ "x a( x3 + 3x)，则 g' (x)= ex 7+ 3a(x2 1). ee1当 x> 1 时，ex x>0, x2 1 >0.e ，又a>0，故g' (x)>0，所以g(x)是1 , +r )上的单调增函数，因此g(x)在1,+ )上的最小值是 g(1)=e+ e 1 2a.由于存在 xo 1 ,+r )，使exo+ e xo a( x3 + 3xo)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0.e 1x故 e+ e 1 2a<0 ,即 a

38、>§+.解法 1 令函数 h(x) = x (e 1)lnx 1,贝U h' (x)= 1 令 h' (x)= 0,得 x= e 1.当 x (0, e 1)时，h' (x)<0，故 h(x)在(0, e 1)上是单调减函数；当 x (e 1，+R )时，h' (x)>0, 故h(x)在(e 1,+r )上是单调增函数.所以h(x)在(0,+r )上的最小值是h(e 1).注意到 h(1) = h(e)= 0,在区间(0,1)和(e,+R )上，h(x)>0 ;在区间(1, e)上, h(x)<0.e+ e 1- 当 a

39、一2, e? (1, e)时,h(a)<0，即 a 1<(e 1)lna,从而 ea 1<ae 1; 当 a = e 时，ea1= ae 1; 当 a (e,+R )? (e 1,+r )时，h(a)>h(e)= 0，即 a 1>(e 1)l na，故 ea 1>ae 1.e+ e 1综上所述，当a 2,e 时，ea1<ae 1 ;当a=e时，ea1 = ae1;当 a (e,+R )时，ea1>ae 1.解法2由于ea1与ae_1均为正数，同取自然底数的对数，即比较(a 1)lne与(e 1)lna的大小，即比较Ine lna与的大小.e 1

40、a 11 ,1 一一 lnx构造函数h(x)lnx，贝V h，(x)=x2x 1x 1 211 x设 m(x)= 1 x lnx,贝H m'(x) = .令 m' (x)= 0,得 x= 1.当 x>1 时，m' (x)<0 ;当 0<x<1 时，m' (x)>0.所以 m(x)在(1,)上单调递减,此时 m(x)<m(1) = 0，In x所以h ' (x)<0在(1,)上恒成立，所以h(x)=肓在(1，)上单调递减所以当 e2e_<a<e 时，ae 1>ea 勺；当 a = e 时，ea 1

41、 = ae 1;当 a>e时，ae 1<ea 1.解法 3 因为 ae = e(e 1)lna,所以a0=ee(e- 1)|na-(a-1)，故只要比较 a 1 与(e 1)lna 的大小.e一 1令 h(x)= (e 1)lnx (x 1)，那么 h' (x)= 1.x令 h' (x)= 0,得 x= e 1.当 x>e 1 时，h' (x)<0;当 0<x<e 1 时，h' (x)>0.所以h(x)在(0, e 1)上是增函数；在(e 1,+ )上是减函数.e+ e 1e+ e 1又 h(e)= 0, h(1) =

42、0,贝V h(e 1)>0, h +>°那么当 +2 <a<e 时，h(a)>0，所以 eh(a)>1，所以 ae1>ea1 ;当 a = e 时，h(a)= 0，所以 ea1= ae 1 ;当 a>e 时，h(a)<0，所以 0<eh(a)<1,所以 ae_ 1<ea1.e+ e 一综上所述，当 2 <a<e 时，ae 1>ea 1;当 a= e 时，ea 1 = ae 1;当 a>e 时，ae 1<ea 19、(2018 无锡期末)已知函数f(x) = ex(3x 2), g(x

43、) = a(x 2)，其中 a, x R.(1) 求过点(2 , 0)和函数y= f(x)图像相切的直线方程；(2) 若对任意x R，有f(x)君(x)恒成立，求a的取值范围；(3) 若存在唯一的整数 X0,使得f(x0)<g(x0),求a的取值范围.思路分析(1)利用导数的几何意义求切线的方程，根据斜率建立方程即可.(2)不等式恒成立问题处理的方法有两种：一种是分离参变，转化为相应函数的值域(最值)问题解决；另一种是转化为含参函数的值域问题，通过分类讨论解决这里可以采取第一种方法，只是分离参变时要注意对x 2的符号进行分类讨论.(3)在第(2)小问的基础上，分离参变，转化为存在有限整数

44、自变量满足条件的问题利用导数研究函数F(x)=ex (3x 2)x 2的性质，找到相关的整数自变量，求得对应的函数值是解决本问题的关键.规范解答(1)设切点为(X0, y0), f ' (=ex(3x + 1)，则切线斜率为ex0(3x0+ 1)，所以切线方程为y y =ex0(3x0 + 1)(x X。)，因为切线过点(2, 0),所以exo(3xo 2) = exo(3xo+ 1)(2 xo),8化简得 3x0 8xo= 0,解得 xo= 0 或 xo= 3， (3 分)当xo= 0时，切线方程为y= x 2, (4分)当xo= 3时，切线方程为y= 9e3x 18e8*(5分)(

45、2)由题意，对任意 x R,有ex(3x 2)玄(x 2)恒成立，ex (3x 2)ex (3x 2) 当 x (g, 2)时，a ，即 a>x 2x 2 max令 F(x) =ex (3x 2)x 2，则 F'x( =ex (3x2 8x)(x 2) 2令F 'x)= 0，得x= 0，列表如下:x(g, 0)0(0, 2)F'x)+0一F(x)极大F(x)max= F(0)= 1,故此时 a > 1.G分) 当x = 2时，恒成立，故此时 a R.(8分)ex (3x 2)ex (3x 2)8 当x (2,+g时，a ，即a< ，令F '刈=

46、0,得x=8，列表如下:x 2x 2 min3888 ,x2 -2, 33-k g3,十F '刈一0+F(x)极小8 8 8 8F(x) min = F 3 = 9e3,故此时 a<9e3，综上，ide3.。分)(3)由 f(x)<g(x),得 e(3x 2)<a(x 2),由知a ( g,81)U (9e3 , + g)令F(x) = e ("2)，列表如下:x 288 ,x(g, 0)0(0 , 2)2 ,3-k g3,F '刈+0一一0+F(x)极大极小(12 分)当x (一8, 2)时，存在唯一的整数 xo使得f(xo)<g(xo),等

47、价于a<e( *一刀 存在的唯一整数x 2xo成立,5 55因为F(0) = 1最大，F( 1)=正，F(1) = e,所以当a<3e时，至少有两个整数成立，所以a ， 1 .(14当x (2,+时，存在唯一的整数 xo使得f(xo)<g(xo),e ( 3x 2)等价于°匚厂存在唯一的整数xo成立,8 8因为F 3 = 9e3最小，且F(3) = 7e3, F(4) = 5e4,所以当a>5e4时，至少有两个整数成立，当a< 7e时, 没有整数成立，所以 a (7e3, 5e4.5综上，a 3e，1 U (7e3, 5e4. (16 分)1O、(2O17 苏州暑假测试)已知函数f(x)= x lnx, g(x)= x2 ax.(1) 求函数f(x)在区间t, t+ 1(t>O)上的最小值 m(t);h x1 h x2(2) 令 h(x) = g(x) f(x), A(X1, h(x”),