2021年奥数专题——裂项法(一)(含答案)-

1、奥数专题一一裂项法(一)欧阳光明(2021.03. 07)同学们知道：在计算分数加减法时，两个分田不同的分 数相加减，要先通分化成同分毋分数后再计算。()阅读思考丄_丄=丄例如厂厂"，这里分母3、4是相邻的两个自然数， 公分母正好杲它们的乘积，把这个例题推广到一般情 况，就有一个很有用的等式：1 11即"n + 1 n(n + 1)1 _ 1_1_或 n(n + 1) n n + 1下廂利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的冋题。【典型例题】例1.计算：1+ +1985x19861986x19871987x19881994x1995分析与解答：系，便可找到一组解,号外一种方

2、法421 - 6即*欧阳光明*创编2021.03.07上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一 加一减正好相互抵消变为0,这一来冋题解起来就十分 方便了。像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做 适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而 使计算简化的方法，我们称为裂项法。1 +丄+ +1例 2 计算 1 1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3+ + 100公式的变式当”分别取1, 2, 3,100时,就有例3.设符号（）、v代表不同的自然数，问算式1 _ 1 恳中这两个符号所代表的数的数的积是多 少？亠丄+丄分析与解：减法杲加法的逆运算，6（） 就变成 1 _

3、 1 1 11 ' 厂一C 与前面提到的等式厂市一亦而相联1 1 1=+ 设"、“、)都是自然数，且“My,当"时，利用上X-/7 _ 1 直的变加为减的想法，得算式矿=亍。这里了是个单位分数，所以定大于零，假定t _ 1x-n = t>0 9则x = n + t ,代入上式得+ °>' ,即iry = + nt o又因为y是自然数，所以一定能整除“I即是”的约 数，有"个/就有"个y,这一来我们便得到一个比1 11更广泛的等式，即当，n 1 1=1 r有 x y,这里心6”=36, 36 共有 1, 2, 3, 4

4、,6, 9, 12, 18, 36 九个约数。当心1时，“7,尸42当心2时，x = 8,尸24当/ = 3 时，x = 9t )=181 _ 11y nq、+ t ，是“2的约数时，一定有"* BD2rry = + ita上指出当" = “ + f ,是/的约数时，一定32, 27,1 1 F 1051201+ y时，求1 1+105120*欧阳光明*创编当心4时，x=109y=5当心6时,x=129y=0当心9时，x=159y=10当心12时,x=l89y = 9当心18时,x = 24y = 8当心36时,x = 42v = 7故（）和v所代表的两数和分别为49,25O【模拟试题】（答题时间：20分钟）二尝试体验：1计算：2. 计算丄+ 丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄十3610152128364555667891丄丄3. 已知"、'是互不相等的自然数，当用一匚x + y O【试题答案】1.计算：2.计算丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄3610152128364555667891水欧阳光明*创编1 1 1 =-3.已知工、是互不相等的自然数，当18 % y时，求x + y.Ox + y 的值为：75, 81, 96, 121, 147, 20