流动传热与燃烧的数值计算4控制容积法

1、1.3控制容积控制容积法法控制容积法可以看作是加权余量法的一个特别分支。控制容积法可以看作是加权余量法的一个特别分支。 令权函数令权函数W i=1，把整个求解域划分成把整个求解域划分成N 个互不重个互不重叠的子区域（控制容积），使每个控制容积内有叠的子区域（控制容积），使每个控制容积内有一个结点，将守恒型的微分方程在每个控制容积一个结点，将守恒型的微分方程在每个控制容积内积分，结果就得到一组（内积分，结果就得到一组（N个）包含结点个）包含结点值的值的离散方程。离散方程。控制容积法最吸引人的地方是其物理上的合理性，控制容积法最吸引人的地方是其物理上的合理性，即某些物理量（质量、动量、能量）在每个

2、控制即某些物理量（质量、动量、能量）在每个控制容积内严格满足积分平衡。容积内严格满足积分平衡。一、控制容积法解题步骤：一、控制容积法解题步骤：1.将守恒型的控制方程在任意控制容积及时间间将守恒型的控制方程在任意控制容积及时间间隔内对空间和时间积分。隔内对空间和时间积分。2.选定未知函数及其导数对时间及空间的选定未知函数及其导数对时间及空间的局部分局部分布曲线（型线）布曲线（型线），也就是确定如何从相邻结点，也就是确定如何从相邻结点的函数值来表示控制容积界面上的函数值。的函数值来表示控制容积界面上的函数值。3.对各个项按选定的型线作出积分，得到关于结对各个项按选定的型线作出积分，得到关于结点上函

3、数值的代数方程组。点上函数值的代数方程组。4.求解代数方程组，得到结点上函数值。求解代数方程组，得到结点上函数值。： uStxxx 以以一一维维非非稳稳态态对对流流扩扩散散方方程程为为例例：WPEwex(x)w(x)e： 12ettttewttwttettetwtwetttttewwtPudtdxdxdttxdxdtSdxdtxxdxuudt 1 14 44 44 44 44 44 44 4 4 42 24 44 44 44 44 44 44 44 4 3 31 14 44 44 44 44 44 44 44 44 44 44 42 24 44 44 44 44 44 44 44 44 44

4、44 4 3 31 1. .将将控控制制方方程程在在典典型型控控制制容容积积 中中对对时时间间 t t和和空空间间 x x积积分分将将可可积积分分的的部部分分积积出出 43ttttettwewdtSdxdtxx 1 14 44 44 44 44 4 4 42 24 44 44 44 44 4 4 4 3 31 14 44 44 44 44 44 44 44 44 44 44 4 4 42 24 44 44 44 44 44 44 44 44 44 44 4 4 4 3 32.为了完成上述各项积分，需要对各项中变量为了完成上述各项积分，需要对各项中变量的型线作出选择。的型线作出选择。常用的型线有

5、两种：常用的型线有两种：（1）阶梯式分布：每个控制容积内函数值相）阶梯式分布：每个控制容积内函数值相等，等于结点上的函数值。等，等于结点上的函数值。（2）线性分布：每两个结点之间的函数呈线）线性分布：每两个结点之间的函数呈线性变化。性变化。 1PettttttPPwxdxx 本本例例题题中中：随随 的的变变化化取取为为阶阶梯梯式式分分布布，即即同同一一控控制制容容积积中中的的相相等等，等等于于，则则： 22222ewPEeEWWwtttttttewtttttttttPttuudtuutxuuuuutuuu 随随 的的变变化化取取为为阶阶梯梯显显式式分分布布，即即在在整整个个 t t间间隔隔内内

6、取取t t时时刻刻的的值值，仅仅在在t t时时刻刻才才跃跃升升为为，则则进进一一步步， 随随 的的变变化化取取为为分分段段线线性性分分布布，则则： 323ewewewtttttewtttEPttteEPWtttPWwxtxxxdttxxxxxxxx 随随 的的变变化化也也取取为为阶阶梯梯显显式式分分布布，则则进进一一步步，取取 随随x x的的变变化化为为分分段段线线性性分分布布，则则: :tx 4ttttetwSSSSdxdtSx t 源源项项 对对t t和和x x的的变变化化均均取取为为阶阶梯梯式式分分布布，则则式式中中， 为为t t时时刻刻源源项项 在在控控制制容容积积中中的的平平均均值值

7、 23.1422()4.EWtttttttttEPWPPPPPPEEWtbWnbnuuStxxaaaababbSx V V将将（ ）（ ）代代入入后后可可控控制制容容积积法法离离散散方方程程的的一一般般得得可可写写为为形形或或中中解解式式：其其求求二、关于型线假设二、关于型线假设1.型线的选取仅仅是为了导出离散方程，是积分时必型线的选取仅仅是为了导出离散方程，是积分时必需的一种辅助关系式，一旦离散方程建立起来，型需的一种辅助关系式，一旦离散方程建立起来，型线的使命就完成了，不再具有任何意义。线的使命就完成了，不再具有任何意义。2.型线的选取不必追求一致性，只需考虑积分是否方型线的选取不必追求一

8、致性，只需考虑积分是否方便，以及得到的离散方程是否具有令人满意的数值便，以及得到的离散方程是否具有令人满意的数值特性。特性。同一控制方程中不同的物理量可以用不同的型线；同一控制方程中不同的物理量可以用不同的型线；同一物理量对不同的坐标可以用不同的型线；同一物理量对不同的坐标可以用不同的型线；同一物理量在不同的项中对同一坐标也可以用不同的同一物理量在不同的项中对同一坐标也可以用不同的型线。型线。3.型线对于离散方程的求解方法及结果有很大影响。型线对于离散方程的求解方法及结果有很大影响。在控制容积法中，所谓不同的差分格式，主要是在控制容积法中，所谓不同的差分格式，主要是由于型线的不同造成的。由于型

9、线的不同造成的。例如：非稳态问题中，变量对时间的型线不同可导例如：非稳态问题中，变量对时间的型线不同可导致不同的差分格式致不同的差分格式显式、隐式显式、隐式 对流问题中，界面上的对流问题中，界面上的型线不同可导致对流型线不同可导致对流项各种差分格式项各种差分格式中心差分、迎风差分中心差分、迎风差分三、控制容积法应遵循的原则三、控制容积法应遵循的原则1.控制容积界面上的相容性控制容积界面上的相容性当一个界面由两个相邻的控制容积共有时，在这两当一个界面由两个相邻的控制容积共有时，在这两个控制容积的离散化方程中，通过该面的物理量个控制容积的离散化方程中，通过该面的物理量的通量（质量、动量、能量等）必

10、须用相同的表的通量（质量、动量、能量等）必须用相同的表达式来表达，以满足守恒的要求。达式来表达，以满足守恒的要求。这就要求，同一界面上的物理量及其一阶导数连续，这就要求，同一界面上的物理量及其一阶导数连续，即，从界面两侧的两个控制容积写出的该界面上即，从界面两侧的两个控制容积写出的该界面上的值相等。的值相等。 2.1uvwTdivVdivgradSt L Lu r u r导导出出离离散散方方程程的的控控制制方方程程守守恒恒型型控控制制是是守守恒恒型型的的在在流流动动传传热热问问题题中中，所所需需求求解解的的主主要要变变量量（ 、 、 、）的的控控制制方方程程都都可可以以表表示示成成以以下下通通

11、用用形形式式：方方程程对对流流项项都都采采用用散散度度的的形形式式来来表表示示，散散度度符符号号内内是是单单位位时时间间通通过过单单位位面面积积的的某某种种物物理理量量的的净净通通量量。： 23 :122TpTpTTTdivVTdivgradTStcutTvTwTTTdivgradTStxyzc u r u r能能量量方方程程（）的的守守恒恒形形式式与与非非守守恒恒形形式式将将代代入入（ ）, ,则则将将写写成成微微分分形形式式： 3TpuTTuTxxvTuxvywTvTyywTTwTzzTTTTuvwdivgradTStxyzcz 其其中中：将将连连续续性性方方程程代代入入得得：非非守守恒恒

12、在流动传热数值计算中，希望计算结果能满足守在流动传热数值计算中，希望计算结果能满足守恒定律，要保证这一点，应采用守恒型的控制恒定律，要保证这一点，应采用守恒型的控制方程。方程。只有守恒型的控制方程才能保证在有限大小的控只有守恒型的控制方程才能保证在有限大小的控制容积内所研究物理量的守恒定律仍然成立。制容积内所研究物理量的守恒定律仍然成立。: 21324psspTVppVVVpTVpVVGuassc VTn dsgradTn dsc SdVc T dVdivc VT dVdivgradT dVtc SdVc T dVt uu ruu ruruu ruu ruruu ruu r14444444 424444444 4 314444444 424444444 4 314444444 4244444444 314444444 4244444444 3144444244444 3144444244444 3以以能能量量方方程程为为例例，将将其其在在任任意意大大小小的的控控制制容容积积 内内积积分分：利利用用定定理理可可得得： 123 144444444444444444244444444444444444314444444444444444424444444444444444431444444444444444424444444444444444 3144444444