大学微积分经济管理类ppt课件

1、 1 微 积 分章学诚 刘西垣 编著普通高等教育普通高等教育“十一五家级规划教材十一五家级规划教材(经济管理类)第三章 导数和微分3.33.53.2导数概念导数概念求导法那么求导法那么根本求导公式根本求导公式高阶导数高阶导数函数的微分函数的微分导数和微分在经济学中的简单运用导数和微分在经济学中的简单运用3.43.63.1第三章 导数和微分 他以几乎神普通的思想力，最先阐明了行星的运动他以几乎神普通的思想力，最先阐明了行星的运动和图像，彗星的轨道和大海的潮汐和图像，彗星的轨道和大海的潮汐 牛顿墓志铭牛顿墓志铭 微积分是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，微积分是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的， 但不是由

2、他们发明的但不是由他们发明的恩格斯恩格斯3.13.23.33.43.53.63.13.33.23.43.53.6 微积分学大致产生于 17 世纪下半叶，在整个数学开展史上是自欧几里得几何学 (约建立于公元前 3 世纪) 之后的一个最大的发明虽然它的思想萌芽可追溯到古希腊时期，但它的创建，首先是为理处理 17 世纪所面临的许多科学问题 一元函数微积分可分成一元函数微分学和一元函数积分学两部分微分学是积分学的根底 导数或微商和微分是一元函数微分学中两个亲密相关的根本概念3.13.33.23.43.53.6 引发导数概念的问题主要有： 1) 知直线运动的路程函数 s(t)，求物体运动的速度 v； 2

3、) 求曲线的切线； 3) 求函数的最大、最小值 这些问题最终可归结为求一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢，即 “变化率，这就是函数的导数概念从部分来看, 微分是函数的线性近似, 它在一元函数积分学中起重要作用导数可以看成是函数的微分与自变量的微分之比, 故又称微商 本章主要论述函数的导数和微分的概念以及它们之间的关系，并给出它们的运算法那么和计算方法，最后引见导数和微分概念在经济学中的简单运用3.13.33.23.43.53.63.1 导 数 概 念3.1.13.1.23.1.33.1.4两个经典问题两个经典问题导数概念和导函数导数概念和导函数单侧导数单侧导数函数可导与延续的关系函数可导与

4、延续的关系3.13.33.23.43.53.6 3.1.1 3.1.1 两个经典问题两个经典问题 在论述函数的导数概念之前在论述函数的导数概念之前, , 先引见两个古先引见两个古典的例子典的例子 例例 1 1 曲线的切线曲线的切线. . 在在 17 17 世纪世纪, , 为了设计光学透镜和了解行星为了设计光学透镜和了解行星的运动方向的运动方向, , 必需知道曲线的切线必需知道曲线的切线 大家知道大家知道, , 圆的切线是与圆只需一个交点的圆的切线是与圆只需一个交点的直线但这样认识曲线的切线没有普遍意义直线但这样认识曲线的切线没有普遍意义. . 给定曲线给定曲线 C C：y = f (x) (

5、xD ), y = f (x) ( xD ), 假设假设 U U (x0) (x0) 是点是点 x0 x0 的一个邻域，的一个邻域，U (x0) U (x0) D, D, 那么那么 P0(x0, f (x0)C. P0(x0, f (x0)C. 如今的问题是：什么是曲线如今的问题是：什么是曲线 C C 在点在点 P0 P0 处的切线？这切线的斜率如何计算？处的切线？这切线的斜率如何计算？3.13.33.23.43.53.6 给定曲线 C：y = f (x) ( xD )，假设 U (x0) 是点 x0 的一个邻域, U (x0) D, 那么 P0(x0, f (x0)C. 如今的问题是: 什么

6、是曲线 C 在点 P0 处的切线？这切线的斜率如何计算？ 设 xU (x0), xx0, 且点 P(x, f (x)C, 那么直线 P0P 称为 C 的割线. 当点 P 沿曲线 C 趋于 P0 时, 假设 P0P 绕点 P0 旋转而趋于一个极限位置 P0T, 那么直线 P0T 就称为曲线 C 在点 P0 处的切线 (如图 3-1), 即:当点 时, 直线 P0P切线 P0T. 为确定切线 P0T, 关键是要求出它的斜率 k = tan a, 其中a 是 P0T 的倾角0CPP沿 图 3-13.13.33.23.43.53.6 为此, 设割线 P0P 的倾角为j, 记 x = x - x0， y

7、 = f (x) - f (x0) = f (x0 +x) - f (x0)，那么 而点 P P0 等价于x x0，即x 0故假设切线 P0T 存在，那么有即切线 P0T 的斜率(3.1) 求出了切线 P0T 的斜率, 切线 P0T 也就确定了 图 3-1tan.yx00tanlim tanlim,xxyx 0000( )()limlim.xxxf xf xykxxx 3.13.33.23.43.53.6 例 2 直线运动的瞬时速度. 设一物体做直线运动, 其运动方程为 s = s(t) (0tt1), 其中 s(0) = 0，它表示物体行走的路程 s 与所阅历的时间 t 之间的关系如图 3-

8、2 设 t0, t0+t0, t1, 那么在时间段 t0, t0+t (设t 0) 内物体行走的路程s = s(t0+t) - s(t0). 在这时间段内物体的平均速度假设物体做匀速直线运动，那么其平均速度 v 是一个常数，与 t0 和t 无关，这是最简单的直线运动图 3-200( ,).sv tttt 在自然界和日常生活中人们所遇到的直线运动大多是非匀速运动，例如自在落体，下落的时间越久，在单位时间内下落的间隔越大，即它是一个变速运动. 在这种情况下，平均速度不能准确地描写物体的运动情况随之就提出了瞬时速度的概念3.13.33.23.43.53.6 例 2 直线运动的瞬时速度. 假设极限存在

9、，就称此极限值为物体在时辰 t0 的瞬时速度，简称速度，记为 v(t0). 所以(3.2) 对于曲线运动, 其速度不仅有大小, 还有方向, 速度的方向就是曲线的切线方向. 人类在研讨天体的运动时, 必需知道天体运动的速度. 速度的概念对于了解物体的运动具有极其重要的意义.0000lim ( ,)limttsv tttt 00000()( )( )limlim.tts tts tsv ttt 3.13.33.23.43.53.6 3.1.2 3.1.2 导数概念和导函数导数概念和导函数 上面例上面例 1 1 中的切线问题是一个几何问题中的切线问题是一个几何问题, , 而而例例 2 2 中的速度那

10、么是一个力学概念中的速度那么是一个力学概念, , 在计算切线的斜在计算切线的斜率和运动的速度时都要遇到函数值的增量与自变量的增率和运动的速度时都要遇到函数值的增量与自变量的增量之比的极限量之比的极限, , 它们的笼统就导致函数的导数概念它们的笼统就导致函数的导数概念 定义定义 1 1 设函数设函数 y = f (x) y = f (x) 在点在点 x0 x0 的某的某一邻域一邻域 U (x0) U (x0) 上有定义上有定义. . 假设对于自变量假设对于自变量 x x 在点在点 x0 x0 的增量的增量x (x0 +xU (x0)x (x0 +xU (x0)和相应的和相应的函数值的增量函数值的

11、增量y = f (x0 +x) - f (x0), y = f (x0 +x) - f (x0), 比值比值 当当x 0 x 0 时有极时有极限限, , 那么称函数那么称函数 f (x) f (x) 在点在点 x0 x0 可导可导, , 并称此极限并称此极限为函数为函数 f (x) f (x) 在点在点 x0 x0 的导数或微商的导数或微商, , 记为记为 f f (x0), (x0), 即即(3.3)(3.3)yx0000()()( )limlim.xxf xxf xyfxxx 3.13.33.23.43.53.6 这个定义可以用另一种方式表示： 假设记 x = x0 +x, 那么x 0 即

12、为 x x0, 因此(3.3) 函数 y = f (x) 在点 x0 的导数也可用 或 或 表示 所以, 导数 f (x0)表示曲线 C: y = f (x) 在点 P0(x0, f (x0) 的切线P0T 的斜率, 从而按直线的点斜式方程知, 曲线 C: y = f (x) 在点P0(x0, f (x0) 处切线 P0T 的方程为y - f (x0) = f (x0)(x-x0). (3.4)0000( )()()lim.xxf xf xfxxx0|x xy0ddx xyx0d ( )dx xf xx3.13.33.23.43.53.6 在力学中, 导数 s (t0) 表示直线运动 s =

13、s(t) 在时辰 t0 的瞬时速度, 即v(t0) = s (t0). (3.2) 在实践运用中, 通常把导数 称为变量 y 对变量 x 在点x0 的变化率, 它表示函数值的变化相对于自变量的变化的快慢. 这样, 曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率, 速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率. 变化率有广泛的实践意义, 例如: 加速度就是速度对于时间的变化率, 角速度就是旋转的角度对于时间的变化率, 线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率, 功率就是所做的功对于时间的变化率, 等等0ddx xyx牛顿 (I. Newton, 16421727), 伟大的英国数

14、学家、物理学家、天文学家和自然哲学家. 他给出了求一个变量对另一个变量的变化率的普遍方法, 而且证明了求面积的问题可以作为求变化率的反问题而得到处理, 这就是如今所称的微积分根本定理. 虽然他的先驱者在特殊的例子中察看到了这一点, 但并未认识到它的普遍意义. 可以说正是牛顿在先前许多出色的数学家作出的奉献的根底上, 以他的敏锐和洞察力, 完成最后最高的一步, 成就了微积分学的创建任务在他的著述中, 用的是无穷小量的方法, 他所说的“瞬, 就是无穷小量, 或者微元, 或者不可分的量. 他将如今所说的导数称为“流数, 牛顿关于微积分的任务有鲜明的力学和几何颜色牛顿生于英格兰的一个小村庄, 出生前即

15、丧父, 在地方学校接受初等教育, 除对机械设计有兴趣外未显示出有特殊的人才. 1661年他进入剑桥大学三一学院, 受教于数学家 I. 巴罗, 并做实验, 研讨笛卡儿的 “几何 以及哥白尼、开普勒、伽利略、沃利斯等人的科学著作, 1665 年获文学士学位 以后二年因躲避伦敦的鼠疫回到家乡, 开场他在机械、数学和光学方面的伟大任务, 其中包括处理微积分问题的普通方法, 但他没有及时发表所获得的成果, 1667年回到剑桥, 中选为三一学院的研讨员, 次年获硕士学位. 1669 年被委任接替巴罗任教授直至 1701 年, 由于需处置一些技术问题, 以及严重的神经衰弱和经济方面的缘由, 于1696 年授

16、命任皇家造币厂监视, 1703 年任英国皇家学会会长, 1705年受女王封爵, 晚年潜心于自然哲学和神学他由于 1672 年和 1675 年发表的两篇光学论文曾遭到了不同观念学者的严峻批判, 所以直到 1687 年才在天文学家 E. 哈雷的鼓励和资助下发表了他的巨著三卷, 其中包含它在微积分学方面的任务. 他分别于 1669 年、1671 年和 1676 年完成的三本关于微积分的著作直到18世纪才正式出版. 从如今的观念来看, 牛顿关于微积分的根本概念的论述和运算方法的证论是不很明晰和严密的18 世纪达朗贝尔 (J. L. R. DAlembert, 17171783指出微积分的根底可建立在极

17、限的根底上, 导数的这个定义是波尔察诺于 1817 年和柯西于 1823 年给出的.3.13.33.23.43.53.6 假设函数 y = f (x) 在开区间 I 中的每一点都可导, 那么称函数 f (x) 在区间 I 上可导 这时, 对每一个 xI, f (x) (xI ) 可以看成是定义在 I 上的一个新的函数, 称它为原来的函数 f (x) 的导函数或简称导数, 也可以说成 y 对 x 的导数,并记为 y 或 或 也可记为 或 留意, 在这里 或 是一个整体, “ 表示对 x 求导, 表示 y 作为 x 的函数对 x 求导 由此可见, f (x) 在点 x0 的导数 f (x0) 就是

18、导函数 f (x) 在点 x0 的值, 即 或0()( )( )lim.xf xxf xfxx ddyxd,dfxddyxd( ).df xxddyxddfxddxddyx00()( ) |x xfxfx00d().dxxyy xx3.13.33.23.43.53.6 例 3 求函数 f (x) = C常数的导数. 解 在恣意一点 x, 由于y = f (x +x) - f (x) = C - C = 0,故 f (x) = 0. 所以常数的导数恒等于零, 即(C ) = 0.3.13.33.23.43.53.6 例 4 求幂函数 f (x) = x n (nN) 的导数. 解 对恣意一点 x

19、 和它的增量 h, 由于 n 是正整数, 由二项式定理, 有所以即 (x n ) = n x n-1.122122()(1)2!(1),2!nnnnnnnnnnyxhxn nxnxhxhhxn nnxhxhh LL121100(1)()limlim,2!nnnnnhhyn nxnxxhhnxh L3.13.33.23.43.53.6 例 5 求函数 的导数. 解 对恣意的 x, x0,1yx0002111limlim1lim()1.xxxyxxxyxxxx xxx 3.13.33.23.43.53.6 例 6 求指数函数 y = a x 的导数 解 由 2.6.3 小节, 故即 (a x) =

20、 a x ln a. 特别, (e x ) = e x.000(ln )01limlimlime1lim.xxxxxxxxaxxxyaaayaxxxax 0e1lim1,hhh(ln )0e1limlnln ,(ln )axxxxyaaaaax 3.13.33.23.43.53.6 例 7 求正弦函数 y = sin x 的导数 解 即 (sin x) = cos x. 同理可证, (cos x) = - sin x.000sinsin()sin2limlim 2cos2sin2lim coscos .22xxxxxxxxyxxxxxxxx 3.13.33.23.43.53.6 例 8 设函数

21、 f (x) 在 x = a 点可导, 且求 f (a). 解 设x = -2h, 那么 h 0 即x 0, 所以01lim.(2 )( )4hhf ahf a000()( )(2 )( )( )limlim21(2 )( )lim2142.2xhhf axf af ahf afaxhf ahf ah 3.13.33.23.43.53.6 例 9 求双曲线 的平行于直线 L: x + 4y + 5 = 0 的切线方程 解 问题的关键是要求出双曲线上的一点, 在该点曲线的切线与 L 平行. 设点 是双曲线上这样的点. 由于故双曲线在点 P0 的切线 P0T 的斜率为 由于 P0TL, 而 L 的

22、斜率为 故 即从而x02 = 4, 即 x0 = 2.1yx0001,Pxx211,yxx 0201.kx 1,401,4k 2011.4x 3.13.33.23.43.53.6 例 9 求双曲线 的平行于直线 L: x + 4y + 5 = 0 的切线方程 续解 由上可知双曲线在点 和 的切线均与给定的直线 L 平行双曲线在这两点的切线方程分别为 和即 x + 4y - 4 = 0 和 x + 4y + 4 = 0.1yx12,212,21111(2)( 2) ,2424yxyx 3.13.33.23.43.53.6 3.1.3 3.1.3 单侧导数单侧导数 函数的导数实践上是一种特殊方式的

23、函数极函数的导数实践上是一种特殊方式的函数极限函数有左、右极限的概念限函数有左、右极限的概念, , 因此也可以定义函数因此也可以定义函数在一点的左、右导数对于分段函数在一点的左、右导数对于分段函数, , 如何判别它在如何判别它在分段点处的可导性分段点处的可导性, , 就要用到在分段点处的左、右导就要用到在分段点处的左、右导数数 定义定义 2 2 设函数设函数 y = f (x) y = f (x) 在在 x0 x0 点及其点及其一个左一个左( (右右) )邻域邻域(x0-, x0) (x0, x0+)(x0-, x0) (x0, x0+)有定义有定义. . 假设极限假设极限存在存在, , 那么

24、称此极限为函数那么称此极限为函数 f (x) f (x) 在在 x0 x0 的左的左( (右右) )导导数数, ,记为记为 f f-(x0) (f-(x0) (f+(x0).+(x0).000000()()()()limlimxxf xxf xf xxf xxx 3.13.33.23.43.53.6 因此 左、右导数统称为单侧导数 由函数极限与其左、右极限之间的关系, 可知 函数 f (x0) 在点 x0 可导 f (x) 在点 x0 的左、右导数存在且相等00000000000000()()( )()()limlim,()()( )()()limlim.xxxxxxf xxf xf xf x

25、fxxxxf xxf xf xf xfxxxx 3.13.33.23.43.53.6 例 10 求绝对值函数 y = f (x) = | x | 的导数 解 当 x 0 时, f (x) = x. 故 f (x) = 1. 当 x 0 时直线 y = x 的斜率 y = 1, 当 x 0 时直线 y = - x 的斜率 y = - 1, 当 x = 0 时图形上原点 O 是一个尖点, 没有切线3.13.33.23.43.53.6 例例 11 设设 求求 g (x). 解解 当当 x 1 时时, g(x) = x2 + 1. 设设 x +x 1 时时, g(x) = 2x. 设设 x +x 1,

26、 那么那么 21,1;( )2 ,1.xxg xxx22020()1(1)( )lim2()lim2 .xxxxxg xxx xxxx 02()2( )lim2.xxxxg xx 3.13.33.23.43.53.6 例例 11 设设 求求 g (x). 续解续解 当当 x = 1 时时, g(1)=2,所以所以, g- (1) = g+(1) = 2, 从而从而 g (1) = 2. 综上所述综上所述, 有有 或或21,1;( )2 ,1.xxg xxx2002000(1)(1)(1)12(1)limlim2()lim2,(1)(1)2(1)2(1)limlim2.xxxxxgxgxgxxx

27、xxgxgxgxx 从例 11 可见, 对分段函数求在分段点处的导数比较费事,下面的定理给出了较为快捷的方法参见习题四第 8 题2 ,1;2 ,1;( )( ).2,1,2,1xxxxg xg xxx3.13.33.23.43.53.6 定理 3.1 设0. 1) 假设函数 f (x) 在 x0, x0 +) 上延续, 在 (x0, x0 +) 上可导, 且当 x x0+ 时 f (x) A, 那么 f+(x0)=A. 2) 假设函数 f (x) 在 (x0 -, x0 上延续, 在 (x0 -, x0) 上可导, 且当 x x0- 时 f (x) B, 那么 f-(x0) = B. 依此定理

28、, 在例11中, g(x)在(-,+)上延续, 在 (1,+) 和 (-,1) 上可导,且 故 g+(1) = 2, g-(1) = 2, 从而 g (1) = 2. 例 11 设 求 g (x). 21,1;( )2 ,1.xxg xxx2 ,1;( )2,1,xxg xx1111lim( )lim 22, lim( )lim 22,xxxxg xg xx3.13.33.23.43.53.6 3.1.4 3.1.4 函数可导与延续的关系函数可导与延续的关系 由导数由导数 f f (x0) (x0) 的定义可知的定义可知, , 假设导数假设导数 f f (x0) (x0) 存在存在, , 那么

29、当那么当x 0 x 0 时必有时必有y = f (x0 y = f (x0 +x) - f (x0) 0+x) - f (x0) 0见习题二第见习题二第 13 13 题题, , 即函数即函数 f (x) f (x) 在点在点 x0 x0 延续延续. . 所以所以, , 可导与延续的关系是：可导与延续的关系是： 函数函数 f (x) f (x) 在点在点 x0 x0 延续是延续是 f (x) f (x) 在点在点 x0 x0 可导的必要条件可导的必要条件, , 但不是充分条件但不是充分条件. . 从例从例 10 10 可见可见, , 虽然函数虽然函数 f (x) = | x | f (x) =

30、| x | 在点在点 x = 0 x = 0 延续延续, , 但在点但在点 x = 0 x = 0 不可导不可导 例 10 求绝对值函数 y = f (x) = | x | 的导数.答案: f (x) = | x | 在点 x = 0 不可导, 1,0;|1,0.xxx3.13.33.23.43.53.6 例 12 判别分段函数在点 x = 0 能否可导 解 由于j (0+ ) = j (0) = 0, j (0- ) = 1, 故 j (x) 在点 x = 0 不延续, 从而在点 x = 0 必不可导21,0;( )3 ,0 xxxxx3.13.33.23.43.53.63.2 求 导 法

31、那么3.2.13.2.23.2.3函数的和、差、积、商的求导法那么函数的和、差、积、商的求导法那么反函数求导法那么反函数求导法那么复合函数求导法那么复合函数求导法那么3.13.33.23.43.53.6 3.2.1 3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法那么函数的和、差、积、商的求导法那么 定理定理 3.2 3.2 设函数设函数 u(x) u(x) 和和 v(x) v(x) 均在均在 x x 点可导点可导, , 那么它们的和、差、积、商那么它们的和、差、积、商 ( (分母不等于分母不等于 0) 0) 也均在也均在 x x 点可导点可导, , 且且(u(x) (u(x) v(x) v(x) =

32、 u = u (x) (x) v v (x), (x), (3.5)(3.5)(u(x)v(x)(u(x)v(x) = u = u (x)v(x) + u(x)v (x)v(x) + u(x)v (x), (x), (3.6)(3.6)(3.7)(3.7) 证证 只证明只证明 (3.7) (3.7) 式式, (3.5) , (3.5) 和和 (3.6) (3.6) 可同样证明可同样证明2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0).( )( )u xv x u xu x v xv xv xvx3.13.33.23.43.53.6 (3.7) 证 由导数的定义, 设 那么 记u = u(x

33、+x) - u(x), v = v(x +x) - v(x), 那么( )( ),( )u xf xv x()().()u xxf xxv xx 000000()( )()( )( )limlim()( )() ( )( ) ()lim( ) ()( ( ) ( )( )( ( )( )( )limlim( ) ()( ) ()limxxxxxxf xxf xu xxu xfxxv xxv xxu xx v xu x v xxv x v xxxu xu v xu x v xvv xuu xvv x v xxxv x v xxx 201( ) ( )( ) ( )( )( )lim.( ) ()

34、( )xuvu x v xu x v xv xu xxxv x v xxvx 2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0).( )( )u xv x u xu x v xv xv xvx这就得到(3.7).3.13.33.23.43.53.6 (u(x) v(x) = u (x) v (x), (3.5)(u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x), (3.6) 公式 (3.5) 和 (3.6) 可推行到多个函数的情况, 如(uvw) = uvw + uvw + uvw. 由于 (C ) = 0, 从 (3.6) 可得(Cu(x) = Cu(x).3.13.33.2

35、3.43.53.6 例例 1 设设 f (x) = 3x4 + 5x2 x + 8. 求求 f (x). 解解 由由 3.1 节例节例 3 和例和例 4, f (x) = (3x4 + 5x2 x + 8) = (3x4) + (5x2) - (x) + (8) = 3(x4) + 5(x2) - 1 + 0 = 34x3 + 52x - 1 = 12x3 + 10 x - 1. 例 3 求函数 f (x) = C (常数) 的导数. 例 4 求幂函数 f (x) = x n (nN) 的导数.答案: (C ) = 0; (x n ) = n x n-1.3.13.33.23.43.53.6

36、例 2 设 g(x) = x23x. 求 g (x) 和 g (2). 解 由 3.1 节例 4 和例 6,g (x) = (x2) 3x + x2(3x) = 2x3x + x23x ln 3.所以 g (2) = (2x3x + x23x ln 3)|x=2 = 432 + 432 ln 3 = 36(1 + ln 3). 例 4 求幂函数 f (x) = x n (nN) 的导数. 例 6 求指数函数 y = a x 的导数.答案: (x n ) = n x n-1; (a x ) = a x ln a.3.13.33.23.43.53.6 例 3 设 y = tan x, 求 y .

37、解 由 3.1 节例 7,所以 (tan x) = sec2x. 同理可证, (cot x) = - csc2x.222222sin(cos )(sin )(sin )(cos )coscoscossin1sec.coscosxxxxxyxxxxxxx 例 7 求正弦函数 y = sin x 的导数.答案: (sin x) = cos x.3.13.33.23.43.53.6 例例 4 设设 y = sec x, 求求 y . 解解 即即(sec x) = tan x sec x. 同理同理, (csc x) = - cot x csc x.221(cos )(1)1 (cos )0sinco

38、scoscostan sec ,xxxyxxxxx 3.13.33.23.43.53.6 3.2.2 3.2.2 反函数求导法那么反函数求导法那么 定理定理 3.3 3.3反函数求导法那么反函数求导法那么 设函数设函数 x = x = f ( y) f ( y) 在区间在区间 I1 I1 上单调上单调, , 可导可导, , 且且 f f ( y)0, ( y)0, 那么它的反函数那么它的反函数 y = f -1(x) y = f -1(x) 在区间在区间 I2 = R( f ) = I2 = R( f ) = x = f ( y) | yI1x = f ( y) | yI1上也可导上也可导,

39、, 且且(3.8)(3.8)即即(3.8)(3.8) 下面给出证明大意下面给出证明大意. .11( )1( ),( )yfxfxfy d1.dddyxxy3.13.33.23.43.53.6 (3.8) 证 由于函数 x = f ( y) 在 I1 上单调, 可导, 从而延续, 所以它的反函数 y = f -1(x) 在 I2 上单调, 延续 对于恣意的 xI2 和它的增量x0 (x +xI2), 相应地有y = f -1(x +x) - f -1(x) 0,且x 0 等价于y 0, 故 反函数求导法那么阐明：反函数的导数等于直接函数的导数的倒数11( )1( ),( )yfxfxfy 100

40、111( )lim.d( )limdxxyyfxxxxfyyy 3.13.33.23.43.53.6 例例 5 求求 (loga x) . 解解 设设 y = loga x, 即即 x = a y, 所以所以即即 特别特别, d111,ddlnlndyyxxxaaay1(log).lnaxxa 1(ln ).xx 3.13.33.23.43.53.6 例例 6 求求 (arcsin x). 解解 y = arcsin x ( |x| 0, y = f (x0 +x) - f (x0) 0, 那么 P0Q =x, PQ =y, RQ = f (x0)x = dy|x=x0,PR =y - dy|

41、x = x0= o(x) (x 0). 近似计算公式 (3.13) 阐明：当x 很小时, PQ RQ, 其差 PR 是 P0Q 的高阶无穷小. 所以在点 P0 的临近, 为了计算 PQ, 可由切线 P0T 替代曲线 C, 此即通常所说的 “以直代曲. P0Q R 在一元微分学中占有重要位置, 称为微分三角形或特征三角形, 它的两条直角边分别表示自变量的微分和函数的微分.图 3-4f (x0 +x) f (x0) + f (x0)x. (3.13)3.13.33.23.43.53.6 在恣意一点 x, 函数 y = f (x) 的微分dy = y dx 或 d f (x) = f (x)dx.

42、(3.14) 由 (3.14), 导数 可以看成是函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之比, 所以导数也称为 “微商即微分的商 例 1 求函数 y = sin x 在点 x = 0 和 的微分. 解 dy = (sin x) dx = cos x dx. 所以 dy|x=0 = (cos 0)dx = dx,ddyyx 2x2 dcosd0.2xyx3.13.33.23.43.53.6 例例 2 求函数求函数 在点在点 x = 1 的微分当的微分当x = 0.003 时的值时的值. 解解 所以所以 例例 3 求以下函数的微分求以下函数的微分: 1) e cos x; 2) ln |x| (

43、x0). 解解 1) 由于由于 (e cos x ) = - e cos x sin x, 故故d e cos x = - e cos x sin x dx.3yx3321d() dd .3yxxxx1,0.00331d0.0030.001.3 1xxy 3.13.33.23.43.53.6 例 3 求以下函数的微分: 1) e cos x; 2) ln |x| (x0). 解 2) 由于 故当 x 0 时, 当 x MC(100),故 ML(100) = MR(100) - MC(100) 0.所以公司在q = 100 时添加产量可以获得更大利润图 3-53.13.33.23.43.53.6

44、 3.6.2 3.6.2 弹性分析弹性分析 设设 y = f (x) y = f (x) 是一个经济函数是一个经济函数, x , x 在在 x0 x0 点点的改动量为的改动量为x. x. 相应的相应的 y y 在在 y0 = f (x0) y0 = f (x0) 处的改动处的改动量为量为y = f (x0 +x) - f (x0), y = f (x0 +x) - f (x0), 导数导数y y | x = x0 = f | x = x0 = f (x0)(x0)思索的是思索的是y y 与与x x 之比的极限之比的极限 但在经济学中但在经济学中, , 经常需求知道的是当经常需求知道的是当 x

45、x 在在 x0 x0 改动改动 1 1 个百分数个百分数时时, y , y 在在 y0 y0 处要改动多少个百分数处要改动多少个百分数, , 即要求思索即要求思索 与与 之比之比. . 0yy0 xx3.13.33.23.43.53.6 定义 2 设 y = f (x) 是一个经济函数, 当经济变量 x 在点 x0 改动x 时, 经济变量 y 相应地在 y0 = f (x0) 处改动y = f (x0 +x) - f (x0). 假设极限存在, 那么称此极限值为 y = f (x) 在 x0 点的弹性, 记为 其中比值称为 y = f (x) 在点 x0 与点 x0 +x 之间的弧弹性.000

46、limxy yx x 0,x xEyEx000000/()()/()y yf xxf xxx xxf x 3.13.33.23.43.53.6 在恣意一点 x 的弹性, 记为 它作为 x 的函数称为 y = f (x) 的弹性函数所以由此可见, 只需函数 y = f (x) 在 x0 点可导, 在 x0 点的弹性 就存在 从弹性的定义可知：当 时, 这阐明当自变量 x 在点 x0 添加 1% 时, 因变量 y 在 y0 = f (x0) 近似地改动 确个百分数, 或简单地直接说成改动 个百分数, 这就是 “弹性 概念的实践含义0 x xEyEx,EyEx0000/dlimlim( )./dxxy yEyxyxyxfxExx xyxyxy 01xx 00().x xyEyyEx0 x xEyEx0 x xEyEx3.13.33.23.43.53.6 由于 与 都是相对改动量x,y 是 x 和 y 的绝对改变量, 而 是这种相对改动量之比的极限, 故它是