new传递函数矩阵的矩阵分式描述和结构特性更新中学习教案

1、会计学1new传递函数矩阵的矩阵分式传递函数矩阵的矩阵分式(fnsh)描描述和结构特性更新中述和结构特性更新中第一页，共35页。 传递函数矩阵的矩阵分式描述（MFD, Matrix Fraction Description）是复频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。本章前半部分将对MFD做较为系统和全面的讨论，主要内容包括MFD的形式、构成、真性、严真性和不可简约性等。 本章后半部分讨论传递函数矩阵的结构特性，它是复频域分析和综合的基础。传递函数矩阵的结构特性由极点和零点的分布(fnb)属性、极点和零点的不平衡属性表示： 极点和零点的分布(fnb)属性：决定系统的稳定性和运动

2、行为； 极点和零点的不平衡属性：反映系统的奇异特性和奇异程度。其中，我们需要重点掌握的内容包括Smith-McMillan型、结构指数、极点和零点。本章主要内容本章主要内容矩阵分式描述矩阵分式描述规范矩阵分式描述规范矩阵分式描述埃米特型、波波夫型、史密斯埃米特型、波波夫型、史密斯-麦可米伦型麦可米伦型MFD传递函数矩阵的极点、零点和结构指数传递函数矩阵的极点、零点和结构指数(zhsh)传递函数矩阵的评价值（略）传递函数矩阵的评价值（略）传递函数矩阵的零空间和最小多项式基（略）传递函数矩阵的零空间和最小多项式基（略）第1页/共34页第二页，共35页。1 右MFD和左MFD 考虑p维输入和q维输出

3、的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递函数矩阵G(s)为qp有理分式矩阵，其表示(biosh)形式为)17()()()()()()()()()(11111111sdsnsdsnsdsnsdsnsGqpqpqqpp 严格真有理矩阵：有理矩阵严格真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足满足 G() = 0。 真有理矩阵：有理矩阵真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足满足 G() = G0 (非零常数非零常数(chngsh)。 考察考察G(s)是否为严格真有理矩阵或真有理矩阵，只要观察是否为严格真有理矩阵或真有理矩阵，只要观察G(s)中的元素中的元素 gij(s) = nij(s)/dij(s) 是是

4、否有否有 deg nij(s) deg dij(s)。第2页/共34页第三页，共35页。)()(00)()(000000123222113121112122322222111311211111321232221131211323222121313212111232322222121131312121111sNsDnnnnnndddndndndndndnsDsNdddnnnnnndndndndndndndndndndndndnllrrrrrrrrrrccccccccc其中(qzhng)dci是G(s)中第i列元素的最小公分母；dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。 例如(lr)，第3页/共3

5、4页第四页，共35页。 解 首先构造(guzo)G(s) 的右MFD。为此，定出G(s)各列的最小公分母如下： dc1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dc2(s) = (s+3)(s+4) ，dc3(s) = (s+1)(s+2) 1433)1(231)3)(2(1)(2ssssssssssssssG 进而(jn r)，构造G(s)的左MFD。为此，定出G(s)各行的最小公分母如下： dr1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dr2(s) = (s+1)(s+3)(s+4) 由此可以导出G(s)的右MFD为1221)2)(1()4)(3()3)(2()2()3()3)(2)(1()

6、1()4)(1(1)()()(ssssssssssssssssssDsNsGrr第4页/共34页第五页，共35页。2 MFD的特性的特性 (1) MFD的实质的实质 类似类似(li s)于于SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示，线性时不变系统的传递函数的分式化表示，)4)(3()3)(1()4()1()3()3)(2)(1(1)4)(3)(1()3)(2()()()(222121sssssssssssssssssssNsDsGll)37()()()()()()()(11snsdsdsnsdsnsgMIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的MFD G(s) = Nr(s)Dr-1(s) =

7、Dl-1(s)Nl(s)实质上，上式也属于G(s)的分式化表示。因此，称Dr(s)、Dl(s)为G(s)的分母(fnm)矩阵，Nr(s)、Nl(s)为G(s)的分子矩阵。第5页/共34页第六页，共35页。 (3) MFD的不惟一(wiy)性 对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD 不惟一(wiy)，且不同的MFD可能具有不同的次数。 解 G(s)的两个(lin )MFD为 【例例7-2】给定22传递函数矩阵G(s)为22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG1222122122221112)2()2()1(00)()()()2(00)2()1()1()()()(s

8、sssssssDsNsGsssssssssDsNsGrrrr并且可求出deg detD1r(s) = 6，deg detD2r(s) = 5。 两右MFD的次数是不等的。第6页/共34页第七页，共35页。3 真性真性(zhnxng)(严真性严真性(zhnxng)有理矩阵定理有理矩阵定理 定理定理7-1 设设G(s) 是是 rm 阶真性阶真性(zhnxng)(严真性严真性(zhnxng)有理矩阵，有理矩阵， G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s)，则，则)117(, 2 , 1)()()()()107(, 2 , 1)()()()(risDsNsDsNmjsDsNs

9、DsNlrilrilrilrircjrcjrcjrcj和242120)(,1624737412)(223222sssssssDsssssssssNrr 【例【例7-3】真有理】真有理(yul)矩阵矩阵G(s) = Nr(s)Dr-1(s)，其多项式矩阵，其多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下如下 从两个多项式矩阵可知， c1Nr(s) = 2 c1Dr(s) = 2 c2Nr(s) = 2 c2Dr(s) = 3 注意注意：上述定理的逆命题并不成立，下面是一个说明这个问题的实例。第7页/共34页第八页，共35页。111)(,21)(2ssssDsNrr 解解 由两个多项式矩阵可知，由两个多项

10、式矩阵可知， cjNr(s) cjDr(s) ， j =1, 2但是但是(dnsh)，G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = -2s1 2s2-s+1 却是多项式矩阵，既不是真有却是多项式矩阵，既不是真有理矩阵，更不是严格真有理矩阵。理矩阵，更不是严格真有理矩阵。第8页/共34页第九页，共35页。)217(, 2 , 1)()()()(mjsDsNsDsNrcjrcjrcjrcj 定理7-3 每一个非奇异多项式方阵M(s)都可以通过单模矩阵(j zhn)Ur(s)或Ul(s)将其变换成列既约矩阵(j zhn)M(s)Ur(s)或行既约矩阵(j zhn)Ul(s)M(s)。（祥见上一章） 定

11、理7-4 (多项式矩阵除法定理)设Nr(s)和Dr(s)是两个rm和mm阶多项式矩阵，且Dr(s)非奇异，则存在唯一(wi y)的rm阶多项式矩阵Qr(s)和R(s)使得 Nr(s) = Qr(s)Dr(s) + R(s) (7-31)且 R(s)Dr-1(s) 是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下 cj R(s) cj Dr(s), j=1,2,m (7-32) 定理定理7-4的对偶定理的对偶定理 设Nl(s)和Dl(s)是两个rm和rr阶多项式矩阵，且Dl(s)非奇异，则存在唯一的 rm 阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得 Nl(s) = Dl(s)Ql(s) + L(s)

12、 (7-33)且 Dl-1(s)L(s) 是严真性有理矩阵，或者说在Dl(s)是行既约的条件下，有 ri L(s) deg dij(s)，j=1, 2, , i-1。 当dii(s) = 1，满足关系式 dij(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。)407()()()()()()()(21222111sdsdsdsdsdsdsDpppprh第11页/共34页第十二页，共35页。其中， 对角(du jio)元dii(s)为首1多项式，i = 1, 2, , q。 当dii(s)为含s多项式，满足关系式deg dii(s

13、)deg dji(s)，j=1, 2, , i-1。 当dii(s) = 1，满足关系式 dji(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。)417()()()()()()()(22211211sdsdsdsdsdsdsDqqqqlh Hermite型MFD的惟一性 对qp传递函数矩阵G(s)，其所有(suyu)不可简约右MFD均具有相同列Hermite型MFD Nrh(s)Drh-1(s)，其所有(suyu)不可简约左MFD均具有相同行Hermite型MFD Nlh(s)Dlh-1(s)。 证明证明 略。 第12页/共3

14、4页第十三页，共35页。 定义定义7-3 Popov型型MFD 对于对于qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)的的MFD，G(s) = NrE(s)DrE-1(s) = DlE-1(s)NlE(s) 。如果。如果(rgu)pp分母矩阵分母矩阵DrE(s)具有具有Popov型，则称型，则称NrE(s)DrE-1(s)为为G(s)的的Popov型右型右MFD；如果；如果(rgu)qq分母矩阵分母矩阵DlE(s)具有具有Popov型，则称型，则称NlE(s)DlE-1(s)为为G(s)的的Popov型左型左MFD 。 Popov型MFD的惟一(wiy)性 对qp传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右M

15、FD均具有相同Popov型右MFD NrE(s)DrE-1(s)，其所有不可简约左MFD均具有相同Popov型左MFD NlE(s)DlE-1(s)。 证明证明 略。 第13页/共34页第十四页，共35页。1 Smith-McMillan型的定义 定义7-4 Smith-McMillan型的定义：当且仅当秩为r的qp有理分式矩阵(j zhn)M(s)具有如下形式：其中， i(s), i(s)为互质(h zh)， i=1, 2, , r ； 满足整除性i+1(s)| i(s)和i(s)|i+1(s)为，i=1, 2, , r-1。则称该M(s)为Smith-McMillan型。)617(000)

16、()()()()()()(2211sssssssMrr第14页/共34页第十五页，共35页。 【例【例7-5】导出下列】导出下列22严格真有理分式严格真有理分式(yu l fn sh)矩阵矩阵G(s)的的Smith-McMillan型。型。 解 首先(shuxin)定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项式矩阵N(s)，有 22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG22222)1()1()1()(,)2()1()(ssssssssNsssd进而，取单模阵对U(s)、V(s)，10)1(1)(,1)1(01)(22ssVssU第15页/共34页第十六页，共

17、35页。最后，将上式两边(lingbin)乘以1/d(s)，可以导出消去上式中各对角元有理分式(yu l fn sh)的公因子，就得到G(s)的Smith-McMillan型222222)2()1()2()1(00)2()1()()()()()(1)(sssssssssVsGsUssdsM并且可以看出，本例得到(d do)的Smith-McMillan型M(s)不再保持为严格真。)2()1(0010)1(1)1()1()1(1)1(01)()()()(2222222ssssssssssssssVsNsUs200)2()1()()()()(222ssssssVsGsUsM第16页/共34页第十七

18、页，共35页。 (1) Smith-McMillan型型M(s)的惟一的惟一(wiy)性：性： 有理分式矩阵有理分式矩阵G(s)的的Smith-McMillan型型M(s)为惟一为惟一(wiy)。 (4) 非奇异非奇异G(s)的属性：的属性： 对对qq非奇异有理分式矩阵非奇异有理分式矩阵(j zhn)G(s)，下列等式成立：，下列等式成立：其中，为非零常数。)627()()()(det1sssGiiqi (3) Smith-McMillan型型M(s)的非保真性：的非保真性： 严真性有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)不保持严真性，M(s)甚至可能为非真性。 注：注：导

19、致M(s)非保真性的原因是，单模变换阵对U(s)，V(s)的引入，可能会在M(s)中附加引入乘子sk，k = 1, 2, 。如前例7-5。 (2) 将将G(s)化成化成M(s)的单模阵对的单模阵对U(s)，V(s)不惟一性：不惟一性： 化有理分式矩阵G(s)为Smith-McMillan型M(s)的单模阵对U(s)，V(s)不惟一。第17页/共34页第十八页，共35页。则可将M(s)表示(biosh)为右MFD， M(s) = Er(s)r-1(s) (7-65)如若(rru)引入)637(000)()()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrrrprrrprqr

20、rIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21第18页/共34页第十九页，共35页。则可将M(s)表示(biosh)为左MFD， M(s) = l-1(s)El(s) (7-67)rqrlrprqrlIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21 (6) G(s)基于基于(jy)Smith-McMillan型型M(s)的不可简约的不可简约MFD： 对对qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)，其，其Smith-McMillan型为型为M(s)，单模变换阵对为，单模变换阵对为U(s)，V(s)，M(s)的右的右MFD和左和左MFD

21、为为 M(s) = Er(s)r-1(s) 和和 M(s) = l-1(s)El(s)若取若取 Nr(s) = U-1(s)Er(s) ， Dr(s) = V(s)r(s) (7-68)则则Nr(s)Dr-1(s)为为G(s)的不可简约右的不可简约右MFD。若取。若取 Nl(s) = El(s)V-1(s) ， Dl(s) = l(s)U(s) (7-69)则则Dl-1(s)Nl(s)为为G(s)的不可简约左的不可简约左MFD。 证明证明 （略）（略）第19页/共34页第二十页，共35页。 基于(jy)以上描述，罗森布罗可（H. H. Rosenbrock）在20世纪70年代对传递函数矩阵的有

22、限极点和有限零点给出如下定义。 1 传递函数矩阵的有限极点和有限零点传递函数矩阵的有限极点和有限零点 (1) 有限极点零点有限极点零点Rosenbrock 定义（基本定义（基本(jbn)定义）定义） 考虑考虑qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)， r = Rank G(s) minq, p，导出其，导出其Smith-McMillan型为型为M(s)为为)707(000)()()()()()()(2211sssssssMrr第20页/共34页第二十一页，共35页。 解 例7-5中已经(y jing)定出G(s)的Smith-McMillan型M(s)为 【例7-6】定出下述22传递函数矩阵(j

23、zhn)G(s)的有限极点和有限零点，基于此，并根据Rosenbrock 定义，就可定出， G(s)有限极点：s = -1 (二重)， s = -2 (三重) G(s)有限零点： s = 0 (三重) 22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssM第21页/共34页第二十二页，共35页。 (2) 有限极点零点的推论性定义1 对qp传递函数矩阵(j zhn)G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p (7-73)表Nr(s)Dr-1(s)和Dl-1(s)Nl(s)为G(s)任一不可简约右MFD和任一不可简约左MFD，则

24、G(s)有限极点 = “detDr(s) = 0 根”或“detDl(s) = 0 根” (7-74) G(s)有限零点 = “Rank Nr(s) r 的s值”或“Rank Nl(s) r 的s值” (7-75) 第22页/共34页第二十三页，共35页。 解 首先，由右互质性判据容易判断，Dr(s), Nr(s)为右互质，即Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的一个不可简约右MFD。 进而(jn r)，运用有限极点零点的推论性定义1，就可定出 G(s)有限极点 = “detDr(s) = s3(-s+1) = 0 根” = “s = 0 (三重(sn zhn)， s = 1” G(s)有限零点

25、 = “Rank Nr(s) 2 的s值” = “s = 0，s = -1” (3) 有限极点零点的推论性定义有限极点零点的推论性定义2 对qp严格真传递函数矩阵G(s)，设其外部等价的任一状态空间描述为A nn, B nn, C nn，A，B完全可控， A，C完全可观测，则有 G(s)有限极点 = “det(sI - A) = 0 根” (7-76) G(s)有限零点 = 使 降秩的s值 (7-77) 证证 略1)12)(1(0)(,1120)1()(3sssssDssssNrr0CBAsI第23页/共34页第二十四页，共35页。 对qp严格真传递函数矩阵(j zhn)G(s)，表其所属线性

26、时不变系统的一个可控和可观测状态空间描述为A，B，C，z0为G(s)的任一零点，则对满足关系式：的所有(suyu)非零初始状态x0和所有(suyu)非零常向量u0，系统输出对形如的一类输入向量函数具有阻塞作用，即其所引起的系统强制输出y(t) 0。)787()(00000BuxAIzCx)797()(00tzeutu第24页/共34页第二十五页，共35页。 (1) 结构指数(zhsh)的定义 定义7-6 对qp传递函数矩阵G(s)， r = Rank G(s) minq, p，表 Spz = G(s)的有限极点和有限零点的集合 (7-90)那么，若对任一k Spz导出对应的rr对角阵：则称1(

27、k), , r(k)为G(s)在 s = k 的一组结构(jigu)指数。)917()()()()()(1krkkkksssM第25页/共34页第二十六页，共35页。 解 容易判断(pndun)，r = Rank G(s) = 2，并且在例7-5中已经定出G(s)的Smith-McMillan型为基于此，有 G(s)极点和零点集合(jh) Spz = -2， -1，0进而，直接由Smith-McMillan型M(s)，即可定出 G(s)在“s = -2” 结构指数 1(-2) ，2(-2) = -2，-1 G(s)在“s = -1” 结构指数 1(-1) ，2(-1) = -2， 0 G(s)

28、在“s = 0” 结构指数 1(0) ，2(0) = 1， 222222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssM第26页/共34页第二十七页，共35页。 结构指数的含义： 给定(i dn)G(s)在 s = k 的结构指数组1(k), , r(k)，对i(k)，有 i(k) = 正整数 G(s) 在 s = k 有i(k)个零点 (7-92) i(k) = 负整数 G(s) 在 s = k 有| i(k)|个极点 (7-93) i(k) = 零 G(s) 在 s = k 无极点和零点 (7-94) 采用(ciyng)结构指数确定G(s)

29、极点和零点的重数： 给定G(s)在 s = k 的结构指数组1(k), , r(k)，则有 G(s) 在“s = k ”极点重数 = 1(k), , r(k)中负指数之和的绝对值 (7-95) G(s) 在“s = k ”零点重数 = 1(k), , r(k)中正指数之和 (7-96) 非极点零点处的结构指数：非极点零点处的结构指数： 传递函数矩阵G(s)在非极点零点处的结构指数必恒为0。即，给定G(s) ，若 Spz为任意有限值，则有 i() = 0，i = 1, 2, , r (7-97)第27页/共34页第二十八页，共35页。则可表G(s)的Smith-McMillan型M(s)为 结论

30、结论(jiln)表明，一旦定出表明，一旦定出G(s)的各个极点零点及结构指数组，就可由式的各个极点零点及结构指数组，就可由式(7-101)定出定出G(s)的的Smith-McMillan型型M(s)。)1007()()()()()(1krkkkksssM)1017(000)(000)()()(1nkiisMssdiagsMk第28页/共34页第二十九页，共35页。 (1) 无穷远处的极点和零点 对qp传递函数矩阵(j zhn)G(s)，r = Rank G(s) minq, p， 则直接基于G(s)的Smith-McMillan型M(s)不能定义G(s)在无穷远处的极点和零点。这是因为， G(

31、s)导出M(s)的单模变换，可能使G(s)导致非真，或增加非真程度，即可能对G(s)引入附加无穷远处极零点。 确定G(s)在“s = ”处极点零点的思路： 对qp传递函数矩阵G(s)，确定G(s)在无穷(wqing)远处的极点和零点的思路是，对G(s)引入变换 s = -1使化为G(-1)，再进而化成以 为变量的有理分式矩阵H()，则有 G(s) 在“s = ”处极点 / 零点 = H()在“ = 0”处极点 / 零点 (7-102)第29页/共34页第三十页，共35页。 对qp传递函数矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p再基于变换s = -1，由G(s)导出H()，且有 r = Rank H() minq, p现引入qq 和 pp 单模阵 导出H()的Smith-McMillan型 ：)(V)(和U)(M)1037(000)()()()()()()()()()(2211rrVHUM则有，)1057(,.,2, 1,00)()()()1047(,.,2, 1,00)()()(riMssGriMssGii根重数的中处零点重数在根重数的中处极点重数在第30页/共34页第三十一页，共3