武汉大学高等数学b重点知识归纳

1、高数上册复习考试2009 年 12 月 15 h第一章函数与极限一、函数认识一些常用函数和初等函2求函数的自然定义域。1.极限的计算二、极限(1) 善丁恒等化简和极限的四则运算法则(2) 常用的计算方法(a) 常用极限lim-ht80, lim qn =0(q v 1), lim y/n = 1, lim 换=1(° > 0), lim 1/(")"t8>8f(n)(/(n) t x ), liml + g(n)g(n)= e ( g(n) t 0 ),lim7?t8sin /(/?)/()(b) 一些常用的处理方法(i) 分子分母都除以n的最高次幕。

2、例如:2z?+4/?+7a?n6 +6/15 -n32 +心+ 7厶 n n a a r1 + 6-n n2n4 +4/?3 +ln2n6 +6n5 一 ft'+ 4丄+ 7乙1 + 6n nvh2 +3/? + vh + 2 vn4 +5«3hn)(小一冷g(n)(ii) 根号差的消除。例如：j/o) 一 jg()+(j/02)yygs) +(j/0)hmgoi)3 +j/s)(mgs) )4(iii) 指数函数的极限。linu心)怛(mu(n) >0,limv(/2)都存在)。 n>8brt8/；>00/?>00(iv) 利用指数函数的极限。当 l

3、im /(«) =1 时,【/(n)tg(")+ /(h)-17(«h 川>8= liml 4- f(n) -1">8ht8lim /(/?)-lg(n)ge(v) 转化为函数的极限可以用洛必达法则。lim/(7i)二 lim f(x)"t8xt+8(vi)利用两边夹原理。把/(n)分别缩小、扩大一点点得简单的g(n) > h(n), g(n) < f(n) < h(n),使容易求得 lim g(n) = limh(n) = a ,则 lim f(n) = a。n>8h>«>/?>

4、«>(c) 当x”用递归式给出时(i)用数学归纳法证明占是单调有界的，从而lim乙二a存在;ht8(ii)对乙的递归式两边取极限得关于a的方程，再解出a。(d) 记得一些等价关系当 limf(ri) = 0 时,ht8 sin /(/?)f(n)，tan f(n)/(n)，arcsin f(n)/(n)，arctan f(n)f(n)1 cos f(n)舟/()，1 + /(n)p af(n), efn -1 f(n), lnl + /(;?) /(n)(3) 函数极限的计算(a) (2)中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。(b) 如果已知/(兀)在x。点连续，贝i l

5、im f(x) = f(xq) oxt%(c) 记得一些等价关系。(lim表示六种极限之一)当 lim f(x) = 0 时，sin /(x)/(%), tan f(x)/(x), arcsin /(x)/(x), arctan /(x)/(%)1 cos f(x)/(x)2, 1 + /(x)p af(x), ef(x) -1 fx), lnl + /(x) /(x)(d) (lim表示六种极限之一)当 lim/(x) = l 时,i .(1/()-iku)lim/(x)gu) = liml + f (兀)一 17乔1八心皿)=1冰1 + /(兀)-1吋丨(e)利用两边夹原理。把/分别缩小、

6、扩大一点点得简单的g、加兀)，g(x) < /*(兀)5 力(兀)，使容易求得 limg(x) = lim/z(x) = a ,贝!j lim f(x) = a o(f)不定式的极限(lim表示六种极限之一)当极限是°或二型的不定式吋，可用洛必达法则: 0oo(洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。) (ii)对于os型的不定式，先变形，再用洛必达法则。 lim/(x)g(x)= lim罕=血止l - - /u)fmlim g(x)(iii)对于o°、r> &型的不定式。goolim/(x)g(r) = hmesmlnm = ,img(x),

7、n/(x) = e = e(iv)对于8 8型的不定式，先计算成一个式子再计算。(g)女口果= c h 0 ,贝lj limg(x) = 0 « lim f(x) = 0 gmg(x)2极限的证明(1)证明lim f(n) = a的格式幵一>8证.vr>0,(打草稿从不等式|/(/7)一 a| v £解出心n® (必要吋将|/() - a|放大一点点得一个简单的 g(/i) > |/(n)- a|,再从g(n) v £解岀斤 > n(£)(*)取 n = n(e) o 当 n> n 吋，(由n> n正确推lb

8、 |/(n) - a| <(一般是(*)的倒推)故 lim/(n) = aot8证明lim /(x) = a的格式xt%证.v£>o,(打草稿从不等式|/(x)-a| v £解lb|x-x0|<(£)(必要时将f(x)-a放大一点、 点得一个简单的 g(x) > |/(x)-a|,再从 g(x) < e 解出 |x-x0|< /(£)(*)取力二<?(£)o当卜一兀()| v 5时，(由 |x-x0| < 8正确推lb |/(x)- a| < £ (一般是(*)的倒推)故 lim

9、/(x) = aoxt切(其它类型极限的证明格式完全类似。)(2)证明lim/(/7)存在但不管它是什么。ht8用数学归纳法证明/()单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。三、连续性和间断点1 . /(x)在 x0 点连续 o lim f(x) = /(心)o lim /(x) = lim /(x0) = f(xq)xt.切xt坊xt亦要证明/(尢)在无o点连续就是要证明lim /(x) = /(兀0);如果兀0是分段点，则ho要证明 lim /(%) = lim /(x0) = /(x0)。x>.r02 间断点。(1) 找间断点如果/(%)在x0的两边都有定义但/(x°)

10、没有定义，贝!j x0是/(x)的间断点; 分段函数的分段点可能是它的间断点。(2) 间断点分类(a) 如果x。是于(兀)的间断点并且lim /(兀)和lim /(x)都存在，则兀。是第一类间xt坊xt心断点。(b) 如果lim f(x)或至少有一个不存在，则是第二类间断点。(c) 如果lim /(x)存在(即lim /(x)=lim /(x0)都存在),但/(兀°)没有定义或x *x t.y,x aqlim /(x)h /(x0),则兀()是可除间断点。重新定义/(兀o)=lim /(兀)可使兀()变 a>x0xtx。成连续点。3闭区间上连续函数的性质(1)零点存在定理。(2

11、)介值定理。(3)最值定理。第二章导数与微分一、导数的计算1. 用定义计算导当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表 示式时，直接用定义计算它在兀。点的导数。/u)lim 用。+心)/cu = lim /(u)mto ax 心toarx xq2用求导公式计算导数当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记 熟用熟相关公式。3复合函数求导(1)一次复合如果 y = f(uu =(p(x), y =,则v =牛=/(0(兀)=-7- /(0(q) = fx(p(x)(px)axaxdy _ dy dudx du dx(2) 多次复合女i口果 y =

12、f(uu =(p(x)9 x = y/(t y = f (t),则字=/(似(/) = -j- /(俠歹)=f'ww )(p' w )屮 atdxdy du dxdu dx dt更多层次的复合函数的求导方法类推。4隐函数求导(1) 一阶导数的求导步骤：(a) 把y看成兀的函数吋，f(%,y) = 0是一个恒等式;(b) 用复合函数求导方法对恒等式f(x,y) = o两边对兀求导(求导时记得y中有x )得新的怛等式g(x,y,)/)二0；(c) 从g(兀,y,y') = 0解ihyf = d(x,刃。(2)要求二阶导数时，有两种方法：(a) 用复合函数求导方法恒等式g(x

13、, y, y) = 0两边对x求导(求导时记得y和)/ 屮都有x)得新的恒等式h(x, y, y： y") = 0 ,再从h (x, y, y； /) = 0解出 y" = e(x, y, y),最后代入 y = d(x, y)得 y"=e(x, y, d(x, y)。(b) 用复合函数求导方法恒等式/ = d(x,y)两边对兀求导(求导吋记得)冲有x )得 y" = f(兀,y,)，),最后代入 y = d(x. y)得 y" = f(x, y, d(x, y)。更高阶导数的求导方法类推。5参数表示的函数求导处)表示的函数y = y(x)在/

14、点的一阶导数dy/ dy dt 以dx dx 0（f）dt(2)要求二阶导数时，可对 _表示的函数p = p(x)再次求导:p - > _ .、0(/)更高阶导数的求导方法类推。6对数求导法u（xy（x）=严）|吨）(复合函数求导法)二、高阶导数1. 常用函数的高阶导数其中pn（x）= a0 +%兀+ %0。(sin x)(w,> = sin(x + )2(cosx)(w) =cos(x +巴勺(-l)wm!xw+,ln(l + x)(w) =(_l)z(加一1)!(1 + b2莱布尼茨公式(“)(”)=£c仙严)k=0与二项式公式完全类彳以。嗚别专意：当比是低次多项式吋

15、，公式中的项数很少，非常简单。三、微分的计算1. 函数y二/(兀)在点的微分dy = fx)dx2. 当y = f(x),x =(p(t)复合函数时，微分公式也是dy = fx)dx3. ay = dy + o(ar) = fx)dx4- o(6te),否则不可微。四、可导、可微、连续的关系可导o可微=> 连续 但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|, x=0点。第三章微分中值定理与导数的应用一、导数的意义厂（劝是曲线y = /（x）在兀点切线的斜率；如果的）是路程函数，则/是在 时间r时的速度；如果卩是速度函数，贝2（f）是在时间f时的加速度。二、中值定理1费马定理如果兀0是/

16、（兀）的极值点，并且厂（兀0）存在，则/z（xo） = o,即兀0是驻点。费马定理是中值定理的基础。2罗尔定理了 （兀）在闭区间a, b止连续;条件：< /（兀）在开区间（a,b）内可导；/=/）结论：至少存在一点§ w （a,b）使得广©=0。罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：x.0 < x < 1iiii/（x）=x,（o<x<i）oi u, x l3拉格朗日中值定理争件.在闭区间b，引上连续；八/（x）在开区间（o,b）rt可导结论：至少存在一点矗上）使得厂©"）73）。b-a拉格朗口屮值定理的

17、两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：x. 0<x<iiiifm = <； /（x）=|4（|l）oi u,= 1如果/（x）在（a,b）内可导，兀0，兀0+aa芝（d,b）,则存在oe（0,1）使得/'（x（）+ 心）=/（x0） + fx（ + 如）心其中& =上勺是§的分比。这就是有限增量公式。4柯西中值定理/（兀）和f（x）在闭区间肚引上连续； 条件：< /（兀）和f（x）在开区间（°,方）可导;在开区间上冲尸'（兀）北0结论：至少存在一点 dm使得理 =/（?_/。f）f（b）-f（a）5中值定理的证明题。

18、方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到：卜/巩尤=e/（a）g/（x） + e/（a）f/（x）g（x）=/玄+加叫/gcx）7 二"以（兀）+ 加八3（兀）屮有一项多一部分f（x）o三、泰勒公式1泰勒公式fm = f（兀0 ） + ' ："）（兀一兀0）+ （兀一兀0 ）2 + + _7 （兀一兀0）" + rq） 1!2!tv.其中余项r”（兀）的主要形式有（1）拉格朗口余项f 5+1）（®心（x）=（兀一兀。）曲，（纟在兀0与兀之间）（n +1）!（2）皮亚若余项心（兀）=。（兀-勺）"）。如果|/（w+,）（x）|<m

19、 ,贝山用斤次泰勒多项式1!2!rv.近似代替/（x）产生的误差估计为"+l2 为备用,熟记一些常用函数的麦克劳琳公式(心=0的泰勒公式)1!2!n!+严(7? + 1)!ln(l + x)= x 兀 2 + 兀 3 + 23(一 1)”严(" + 1)(1 +禺)曲丄 315sinx = x” + x3!5!i (j)心严 (2m-1)!sin 0x +(2m+ 1)2(2m+ 1)!cosx = l-丄 f+丄*2!4!.+(t)"' 乂2加 + cos0 + o + l);r兀 (2m)!(2 加+ 2)!2m2m+23用间接法写函数的泰勒公式(1)

20、作变换 t = x-xq： /(x) = f(xq + 0 ；(2)写岀/(x°+0关于的麦克劳琳公式:(a) 适当恒等化简，把某组东西看成一个整体，使函数变成麦克劳琳公式 已知的函数；(b) 利用已知写岀麦克劳琳公式；(c) 整理。(3)代回变量t = x-x.o4. 用函数的泰勒公式求极限.四、求极值、最值1极值问题(1) 极值点的范围根据费马定理，口 x)极值点的范围：全部导数不存在的点和f(x) = 0的全 部解。(2) 求极值的步骤(a)求出广(兀)不存在的全部点：兀，兀2,，兀刃；求出fx) = 0的全部解：，匚。(b) 超處用厂或厂区)判断旺是否极值点，是极大值点还是极

21、小值点； 点用广(劝或定义判断心是否极值点，是极大值点还是极小值点。一定要 有明确的结论。用fx)判断:'设/(朗在兀点连续,在旺的某去心领域内可导。v若在石的左边附近厂(兀)>0,在兀的右边附近厂(x)vo,则xf(x)的极大值点。< (ii)若在兀的左边附近厂(兀)<0,在兀的右边附近厂>0,贝忱是门兀)的极小值点。 (iii)若厂(兀)在旺的左右附近同号，贝比不是/(无)的极值点。设厂(兀)存在且广a )=0。用广匕)判断:如果厂a)vo,则xf(x)的极大值点。(ii)如果厂(毎)> 0,贝収是/(兀)的极小值点。(c) 必要时求出极值。2求最值(

22、1)一般情况(a) 最值点的范围/(x)最值点的范围：全部导数不存在的点和f(x) = 0的全部解以及端点。(b) 在a,b上求最值的步骤(1) 求出广(兀)不存在的全部点:兀1，兀2,，兀加；求出fx) = 0的全部解：，匚。(ii)znax = max f(。)j(b) /min 二 minf(a f(b/(%,),/(兀”)j(fif(tn)相应的点为相应的最值点。(如果求最值的区间是s,b)、(a,切或(o,b),贝ij没有 的端点就不在考虑之内。)(2) 特殊情况如果(i) 根据问题的实际能判断得知/(x)的最大(小)值肯定在(a,b)内取得；(ii) 在(a,b)内八兀)不存在或f

23、x) = 0只有一个点兀°。则兀。就是/(兀)的最大(小)值点。五、单调区间，凸性、拐点，渐近线1单调区间求单调区间的步骤：（1）求出广不存在和fx） = 0的全部点:兀1，兀2,，兀加。以兀、兀2、兀”为 分点分成加+ 1个小区间；（2）/在fx） > （>）0的小区间屮（严格）单调上升；在fx） < （<）0的小区 间中（严格）单调下降。2凸性、拐点求凸性区间、拐点的步骤：（1）求出厂不存在和/"二0的全部点：兀，兀2,竝。以兀|、兀2、心为 分点分成加+ 1个小区间；（2）用（兀）判断每个小区间的凸性： j在厂（乂）>0的小区间，/（兀）

24、（的图形）是下凸的。< 0的小区间，/（x）（的图形）是上凸的。（3）如果兀左右两边的凸性相反，则（乞,/（兀）是拐点；如果曲左右两边的凸性相同，则（x,.,/（x,）不是拐点。3 渐近线（1）垂直渐近线如果lim /（x） = oo ,贝lj x = x（）是y =/（x）的垂直渐近线。（可能不只一条。） xt对（2）斜渐近线（包括水平渐近线）如果a = lim, b = lim /（x） - cixxt±oo 兀xt±«>则y = axrby = /（x）的渐近线。4曲率和曲率半径第四章不定积分1. 原函数如果fx) = f(x),贝!j f(兀)

25、称为/(x)的一个原函数。2不定积分的概念固定/(x)的随便一个原函数f(x), f(x)的全部原函数f(x) + c称为f(x)的 不定积分j f(x)cbc = f(x) + c其中c是任意常数，称为积分常数。因此気 fgdx = f(x),町 f(x)dx = f(x)dxj fx)dx = j df(x) = f(x) + c3不定积分的计算(1)概说计算“必就是要找到/的哩便一个原函数f，然后就得初等函数不定积分的计算首先要记熟用熟基木积分表和常用的积分表。 千方百计地把要做的积分化为积分表中的积分。j fx)dx = f(x) + c(2)(a)(b)(i) 利用线性性计算不定积分

26、jkfx)dx = kjfx)dx + c, j/(x) 土= j/x)dx ± j gx)dx + c(ii) 第一换元法j f(p(x)(px)dx = j f(u)du)+ c快速的第一换元法就是凑微分法：j f(p(x)(pxx)dx =j f(p(x)d(p(x)(iii)第二换元法找一个适当的变换x =(p,则f(x)dx=妙(圖杯)+ c换元法的意义在于右边的积分比左边的积分简单。第二换元法主耍用来解决一些积分困难。比如根号等。木难b d + +大 数 指 母 分2x-2vcz2d27x2 +2变换/- b d + +6 ff-x11 -=x什么难住你，就用换元法除掉它

27、!(iv)分步积分法j vudx (j udv = uv-j vdu)原则:鏈不变复杂 >八 反、对、幕、，二、指u v如果经儿次分步积分乂出现左边的积分，就用代数方法解出。(v) 当有or'+bx + c时©如果俶$ +bx + c = d(x-a)(x-0)有实根，则拆开成两项严)心 ax +/zx + c1cicx #)如果cix2+bx + c没有实根，则先配方(b、b 'x +<2d丿2a、2l 2a)b2cix +bx + ccl x-i 2ci)+ c-4a(vi) 有理函数的积分假分式(加n斤) 先用多项式除法0(x)其中hnl_n (x)

28、是多项式，u v /:。真分式(m < /i) 分解因式(设q”的最高次系数是1)q (x)=(兀一q )1 <x-q(x+p/+q» (x+pd+q步 待定系数分解室亠丄+亠+亠+=+qq）（兀一纠）（尢一 q|）|（兀一色）（尢一色）vxv（“-®）"（x-©）"mb + n：m'&x+n.mx + nm；f + n；(无+“丿 + 彳)(兀+pa + qj 1(x+p + qj(x+p丿+ 幺)vv-（x+"x+4 ）幻（x+pfx+q（ ）kl 把上式右边形式地加起来，比较两边系数得一个方程组，解此

29、方程组得待定系 数的值，代回上式即分解成功。叭鉀变成几个简单积分af adx = id(x-a) = anx-a + c x-ax-aar a17 dx = - d(x-a) = (-la) +c (1>1)x-a)x-a)xa)jv +121pq-、2+ 1、2 兀+p 2丿a，arctanmx+n t m：dx =x + px + 62c2n2x+ /? +p,m 心勺q + px + q2宀： + /x+w）+勺2np一dx+ px + qmx + n , m r : =兀 2 + px + q)2c2n2兀+ +p*j m 心 (%2 4- px + q)22npldxf px

30、+ qjp2 i；-du =丄 u2+a2"1a2ir +q-(-1)丿论+冷"x .2uu = tan ， sin x =2l + u2sin x, cos x)dx = j /?2w 1 i/2t9 1 . . 211 +弘1 + /广丿1 + % 其中r是有理式。由于麻烦，万能变换应用作最后一招。2 tdu(viii)sin" xcosm xdx 的计算a)当加是奇数时，sin'1 xcosw, xdx = jsinn x(l - sin2 x) 2 dsin兀；当 n 是奇数时,sin71 xcos,w xdx = - cosm x(l - cos

31、2 x) 2 dcosx ；b)当m都是偶数时，jsin"兀cos'" xdx =1 - cos 2兀)2“ + cos 2兀'4 2 )< 2 )nm2dx。1 >2/ (1)(/ + / 厂 2/(p _ 1)j 2+q2=p2/(1)(/+/厂 然后递推。有理函数的积分总可以积出来。但比较麻烦，应用作最后一招。(vii) 万能变换1% 2j27cosx =7， dx =-du1 + u 1 + w不定积分技巧性强，方法灵活。耍一切方法综合运用，一切通过试!第五章定积分、定积分的概念1.定积分定义的四步(1)分害0: a = x( <

32、x2 << 兀i < 兀=b。= xi -。a = maxa. |。(2)'近似”：v & 心,，f (乙)心。(3)求和：xm)- o/=1(4)取极限：血£能)心“极限存在，打心a,积分存在可积 兄t0台极限不存在，积分不存在不可积补充定义 f(x)dx = 0,£ fx)dx = -£ fx)dx2定积分的几何意义(1) 当 f(x)>o,a<b时，f f(x)dx =由“ y = o,y = f(x),x = a,x = b ” 围成曲ja边梯形的面积。(2) 当 f(x)<o,a<b 吋，f/?

33、f(x)dx = tl u y = 0,y = f(x).x = a.x = b ” 围成曲ja边梯形的面积的负值。(3) 当/(兀)可正可负,a<h 时，fx)dx -由 u y = 0, y = /(x),x = a,x = hv 围成曲边梯形面积的代数和。(4) 当/是速度函数时，力二物体从时间d到时间b的运动路程。1 .线性性2可加性二、定积分的性质j：妙(x) ± i g(x)m =fx)dx±l g(qdxbrcchi f(x)dx = i fx)dx + f(x)dxajajcg,b,c不管哪个大哪个小，积分能做就行。3 单调性yn < f(x)

34、< m1a<ba m(b 一 a) s j fx)dx <m (b 一 a)>a<bbni f(x)dx 0, <q<>/(兀中a<bbn fbfx)clx g(x)dxx<ya4积分估计5积分中值定理fx)dx = f)(b-a)(其中§w a,b) j"其中/(x)在s,b上连续。三、上限的函数上限的函数f(x)= xf(t)dt是/(x)的一个原函数ja尸=?/(')力二/dxjad fb j= -f(x)dxjx广/力=/(0(兀)0(兀)dxjad rb _f dt = -f(0(无)(兀)dxf

35、r)/(/)=/(0(兀)炉(兀)-/(妙(x)(/(x)dx j*(x)四、定积分的计算1牛顿莱布尼茨公式£ fmdx = fml = f(b) f 其中f(_r)是/(力的随便一个原函数。因此，先用不定积分算出/(对的原函数f(x),再用牛顿莱布尼茨公式计算定积分f(x)dxc2换元法f fx)dx =/炉忆力jaja其中x =(p是适当选好的变换，上下限跟踪b = 0(0)4 =俠。)。左右相等，哪个容易计算就计算哪个。定积分换元法也可解决一些积分困难。3分步积分法j ux)vx)dx = w(x)v(x) 一( vx)ux)dx原则:u(x)dv(x) = w(x)v(x)

36、v(x)du(x)不变复杂、./ v o反、对、幕、三、指如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。4.当/（兀）是奇函数时rj_qfx)dx = 0五、反常积分1. 无穷限积分r+oort| fx)dx = lim | fx)dxja/>+oo jai f(x)dx = lim | f(x)dxj8t>oo jrf f(x)dx = lim f fx)dx- lim f f(x)dxjco/卜8 jcr>oo jr *极限(都)存在时积分收敛；否则积分发散。/和厂完全没有关系。c可以是0。2无界函数积分无界函数按通常意义积分都是发散的。如果/（兀）在心附近无界，

37、则心称为/（兀）的一个瑕玷。rcrc-trarai f(x)dx= lim i f(x)dx, f(x)dx = lim | f(x)dxjajt()4 jajcr->()+ jc+r其中c是/（x）在积分区间上唯一的瑕玷，上限大于下限。 fb_tf(x)dx+ lim fx)dxa+tqto* jc其中q和b是/（x）在积分区间上仅有的瑕玷，a<c<b.极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。/和万完全没有关系。a<c<b.当积分区间中有几个瑕玷时，以这些瑕玷为分点，分成几个小区间的积分。3反常积分也可换元或分部积分。r+84- i严，p> f'

38、1 7n 1,| dx = 1jo 丫"+ 8 p < 11i:，p v11-p+ oo p > 1(1)则r° fdx必收敛，称为绝对收敛。5 反常积分审敛。以下设/cug(x)为非负函数。(2) fx)dx收敛的充要条件是f(x) = pf(t)dt在g,+oo)有界。jaju(3)如果在a+oo)恒有/(x)<g(x),则(i) £ g(x)cbc收敛则fx)dx也收敛；jh-ooa4-oo(ii) fx)dx发散则g(x)dx也发散。(4)设= 则xt+8 &(尤)(i)如果ovkv+oo,则£°°f

39、x)dx和g(无皿同敛散；roop+oogmdx收敛，则fx)dx也收敛；(iii)如果£ = +00且g(x)dx发散，则/张也发散 jaja(5) 在(3)、(4)中使用g(兀)=2并注意到4。x(6)无界函数的审敛与(1)-类似。在(5)中用占代替占。第六章定积分的应用1微元法定积分的应用就是用定积分计算某个量uebt/ = £ f(x)dx其中s,b是u的分布区间。微元法的步骤是：(1) 找出的分布区间xg a9b o在切上任给兀和它的增量力。(/在a,兀分布的部分量是x的函数(7(兀)o(2) 计算岀在x.x + dx上的分布量u (x) = f(x)dx +。(

40、如所以微元du(x)= fx)dx与”(%)相差。(力)o(3)对dux) = f(x)dx两边积分u =u(b)-ua) = fx)dx2面积的计算(1)两曲线间曲边梯形的面积如下图，/,(%)</2(x)o面积a = fl(x)-f2(x)dx(2)极坐标情形女li下图，"& = a,& = 0,p = /?(&) ” 围得图形的面积如 果 图 形 由 “&二 a, & 二 0, /?二 5 /?二 a ” 围成，则a = a2-a1其中每是"& = q, & = 0, p = 02（&）o的面积；a

41、】是“ & = a，& = 0,/? = /?(&) ” 的面积。如右图。由直角坐标方程写极坐标方程的方法：把$ * cos ?代入曲线的直角坐标方程住y)二0得f(p cos仇° sin &) = 0 , y = psmo再从后式解出p二p即是曲线的极坐标方程。个内径为x外径为兀 + czr高为.f(x)的空心圆柱壳。所以3体积的计算vy = 2龙j xfx)dx(2)截面面积可计算的几何体的体积设几何体分布在无轴的a,b之间，x点处垂直于x轴的截面面积a(x)都可计算，则几何体的体积v = j ax)clx其中a(x)要首先计算出來。4曲线弧长的计

42、算(1)设曲线(右图)方程为参数方程l：x = x(t) y = y(0a = x(a),b =兀(0) oac < ad<ac + cd 0 < 弧ad -ac<cd =。(如=o(jr)因此，弧长元素或说弧长微分ds = ac = yjdx2 -dy2 =dt弧长s=+ya)fdt( *)x = x1仃、(a<x<b)因此弧长2 j: jl+ /©)认(2)设曲线方程为y = /(x) (a<x<b)9则它的参数方程(兀为参数)为(3)设曲线方程为极坐标方程p = p则它的参数方程为x = p(0) cosff y = p(0)si

43、n&代入(*)得弧长5定积分的物理应用s =jp 2 + 0(0)2 dx(1)设曲线l：x = x(t)在(x(/),y(/)点的线密度为p，贝lj曲 y =)心)线的质量加二p（/）j“a）2+ya）fdt。（2）设物体从d运动到b,受到外力f（x）,则外力做的功w = f f（x）dx oja（3）当长度为切（液而为0）的而垂直放在液体屮时，液体对而的压力f = pgxlx）clx ,其中/（兀）为面在兀点的宽度，。为液体的密度。 jd（4）质量m的线段be对放在原点质量加的引力为y算加（5）设曲线l：x = x（t）a<t <（3）在（x（/）,y（/）点的线密度为

44、/?（/）,则曲（y = y（f）线的静力矩jx 二卩曲）+ /（/） dt, j $ = £p（r）x（r）7v（）2 + /（）2dt质心坐标兀=厶,y =厶om m（6）设曲线l：x = x（t）（a<t</3）在（咖丿）点的线密度为p，则曲（y = y（f）线的转动惯量jx =$（/）jh（/）+ y（/）出,j、=“（/）兀 $（/）+ y（/）2 山(7)bf(x)fdx o交流电im sin wt的有效值务。函数/（x）在a,h的平均值1 chy= f f(x)dx,均方根值/二b-aja第七章微分方程一、微分方程及有关概念1 微分方程含有未知函数一阶或高阶

45、导数的等式称为微分方程。其屮未知函数导数的最高阶数称为 微分方程的阶。/?阶微分方程的一般形式为2微分方程的解一个函数y二/，如果代入（*）成为恒等式f（x,f（xfx ，严）（%）= 0则y = /&）称为（*）的解。如果（*）的解y = /（x）不含有任意常数，则称它为（*）的 一个特解。如果阶（*）的解y =）含有/个不可减少的任意常数，贝ij称y = /&，g，,cj为（*）的通解。通解一定是微分方程的解,但不丁毎是舍部解。3.微分方程的核心问题：（1）求微分方程的通解，称为通解问题；（2）求微分方程满足一定条件（称为初值条件） 的解，称为初值问题。单独一个微分方程提出

46、通解问题；初值问题的提法是（后斤个等式是初值条件）。求微分方程的解（通解或特解）称为解微分方程。1.初值问题的解法（1） 求出微分方程的通解y = /（x，g，,c”）； （2）用个初值条件确定几个任意常数的值，即解关于g，«”的方程组< 厂 &oc，,c”）=x 把这些g,c”的值代回y二/（x,即得满足初值条件的解（这步是代数问题）。可见，不管是解通解问题还是解特解问题，都要求微分方程的通解。记住：一般地说，解微分方程是世界难题。只有儿种特殊类型的微分方程已有简单可行 的解法。并且，不同类型的微分方程有白己独有的解法。我们的任务是：（1）辨认各种方程 的类型；（2）

47、熟练各种类型方程独有的解法。二、辨认类型，熟练解法1 已分离变量的微分方程y(,)二 /(兀)称为已分离变量的微分方程。解法：（注意：不定积分的结果有任意常数）yd =打（兀冷yj ydx2. 可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程fp, y,字=0i dx)(*1)能通过恒等变形化为g(y)dy = f(x)dx(*2)du=ur x dx则称为xi分离变量的微分方程。解法：（1）分离变量（从（*1）到（*2）称为分离变量）；（2）隐式通解其中积分的任意常数已单独写出。记住：分离变量解微分方程的方法是微分方程解法的总根。2. 齐次方程如果方程能恒等地变为dydx则称为齐次方程。解法：作函数变

48、换氏=丄，则x代入（*3）得方程dux dx分离变量再两边积分得0（w） = in 同 + c其中（心胳,常数统一写在右边。代回得隐式通解丄=ln| + ci兀丿字+畑=qx）ax3. 一阶线性微分方程 称为一阶线性微分方程。解法：通解公式十+c其中的不定积分不再写任意常数。注意：有的方程把y看成兀的函数时不是线性方程，但把看成y的函数时就成了线性 方程。6. 贝努利方程字+呛）尸皿）八（心0,1）ax称为贝努利方程。解法：（1）变形厂哼+ p严=qax（2）作变换u = y1-",色二（1-司厂©,变为线性方程dxdx+ （1 - n）px）u = （1 - n）q（x）

49、dx则u =日讪皿（1-说（“"_）啲+ c即严=”-）畑j（1 _ ”）q（x） j 卜"叫认 + c7. 不含y的二阶方程/=/（y）解法：（1）作变换p = y / =羊申二字，变为一阶方程dxdx） dx字=代x, p)dx（2）用一阶方稈的解法解得尸(兀,c j = 0（3）再用一阶方程的解法解f(2,cj=o不含兀的二阶方程解法：（1）作变换p = y用y作新的自变量，=虫（血=业=如型=p业, dxdx） dx dy dx dy变为一阶方程卩字= /（y，p）dy（2）用一阶方程的解法解得f（y，p，cj = o（3）再用一阶方程的解法解f（y, y； c,） = 010.二阶常系数线性方程y" + py + gy = 0解法：（i）求出特征方程r2 + pr 4- = 0的两个根r,r2； （2）根据下表确定通解的情况通解r h r2都是实根