毕业论文（设计）-群的扩张与群的上同调的研究

1、群的扩张与群的上同调的研究作者：秦涛指导老师：孙广人摘要：确定哪些g是给定群h通过群n扩张是群扩张问题，从19世纪来就被广泛研究.上同调 是使用一系列函子/t研究这个问题的重要方法。本文综述群的中心扩张与循环扩张的概念以及 上同调群的定义，最后列出上同调在群扩张问题上的基本应用。关键词：上同调群群扩张群上同调1引言在数学和抽象代数屮，群论研究名为群的代数结构。群的概念在数学的许多分支都有出 现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。吋至今日，群的概念已经普 遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑 学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而

2、起着重要的作用，还形成了一些新学科，如 拓扑群、李群、代数群、算术群等。群的扩张是群论屮的一个重要问题，其自诞生之后就进行着不断的发展和演变，近代研 究者们讨论了由群扩张构成的群系，给出它为饱和群系的几种情况及局部定义组。在本文 中，将主要就群扩张的基本类型进行综述，介绍相关的概念和性质。群的上同调是一套研究群及其表示的代数工具，其源于代数拓扑，并在代数数论上也有 重要的作用，它是现代类域论的基本构件z-o本文在群扩张的基础上，给出上同调群的相 关定义，最后通过一些定理和实例详述上同调在群扩张问题上的基本应用。2群的扩张 2.1正规子群和商群的合成一般的说，包含已知群u的任何群g都叫做u的扩张

3、.本文将只讨论/是g的正规子 群的情形.施赖尔最先考虑构造所有这样的群g的问题，g具有已知的正规子群n和已知的商群 h = g/n.至少总存在一个这样的群，因为n和h的直积就具有这个性质.我们先假定给了这样的群g ,设商群h三g/n.的元素记做1上°,w. h的每个元素 x对应于n在g内的一个傍系.设对应于x的傍系刃v在g内的代表是x ,而且约定用g 的单位元素1作为n的代表.于是g = n + un + vn hf wn，(2. 1. 1)而且同态gth使得u u g gy u g h(2. 1.2)于是对于所有awn，映射n1kati u au = a(2. 1.3)是n的自同构

4、，因为n是正规子群.又因为在从g到h上的同态下，历所以这里由(2.1.4)给定的所有元素仏巧的集合我们叫做因子组，于是在g的构 造中出现下列四个己知条件：1) 正规子群n.2) 商群h.3) n 的自同构：a口 aae n,ue h.4) 由(u,v)en组成的因子组，这里u.ve h必须强调的是，一般地说，由(2.1.3)和(2.1.4)定出的自同构和因子组依赖于与u对应 的傍系刃v的代表汗的选取.定理2.1.1给了具有正规子群n和商群h = g/n的群g.如杲选取傍系代表汗，这 里tin tuw h,而且取t = 1,则就决定满足下列条件的自同构和因子组：(a")' =(

5、w, v)_，(a")(仏u),v)g n;u,vw h;(wv, w)(w,v)h =(m,vw)(v, w)；(1,1) = 1.反之，如果对于每个ueh ,给定n的自同构a 口 a",而且对于这些自同构和因子 组(w,v)g /v(w,vg w),上述条件成立，则元素ua(ue h,ae n)连同乘法规则 ua-vb = uv(u,v)ayb决定具有正规子群tv和商群h = g/n的群g 如果略去(1,1) = 1的要求，则取t(1,1)“作为g的单位元素时定理仍然成立.由n,h,ad a"和因子组仏巧决定的唯一扩张g将记做町",/7卫“,仏巧如果

6、更换tv在g的傍系代表，取u = m6z(w),wgn,(2.1. 5)而且规定t = t = i,即q(i) = i,则自同构就更换成au ali' =uau = x a11 a(2.1.6)而因子组仏巧更换成因子组(w,v)j，使得u-v = w6z(w)v6t(v)= wv v)z(w)' &(巧=wv (w, v)1 = wv6t(w,v)(w, v)1 .(2. 1. 7)定义2.1仁两个扩张e =和e2=町n,h,/,仏讦是等价的，加入在自同构和因子组之间有关系al( =q(汀"q"q(u),(w, v)1 = 6f(wv) 1 (w,

7、v)cif(w)' 6lf( v),这里g(m)是元素u的在n内取值的函数，而且&(1) = 1.我们记做en,/7,(w,v)n斗皿乩/，仏川坨与耳的等价性取决于更换同一个群g内子群n的傍系代表，因而它显然是对称的、自 反的和传递的真等价关系.如果n在g内的傍系代表u能取成使uv -uv.(2. 1. 8)即(w,y)'=l,则傍系代表组成同构于h的群，可以把它与h等同起来.如果这种情形出现, 则我们说g是n的可裂扩张，或说g是n和h的半直积.定理2.1.2. g = en,h,g“,(w)是n的可裂扩张，必要而且只要存在函数 a(u)w n,uw h,使得对于所有w

8、,vg h ,都有(w, v)6r(w)1 6f(v) = 6z(wv).证明.如果所収的傍系代表历使g = en,h,q“,(c)成为n的可裂扩张，则 (w, v)1 = 1,而且当取u =ua(u)时，就有(w, v)tz(w)v a(u) = 6r(wv)(2.1. 9)反之，如果函数q(u)存在，使得(2.1.9)成立，利用条件/=。(巧°&(巧决定对应 于u = ua(u)的自同构/ .于是= g存在，而且等价于对所有w,vg h都有(比v)1 = 1的扩张，因而g是n的可裂扩张.2.2中心扩张假定在群a借助于群h的扩张中，所有因子都屈于a的中心b那么我们说 是a借

9、助于群h的中心扩张例如a如果是阿贝尔群，则b = a,因而 a的所有扩张都是屮心扩张.对于中心扩张，"=(w,v)_，(严')(仏v)简化成(町=屮，(2. 2. 1)这说明a的自同构q 口 组成一个群，它是h的同态像设力表示从h到a的自同构群 的同态.再有，如果傍系代表历由属于b的因子4(况)来更换，则自同构不变.因此，对于 h-x扩张，自同构是固定的而且组成一个群，它是h的同态像对于中心扩张，这就取消 了条件(g") =(w,v)')(w,v),而只需要考虑(wv, w')(w, v)u =仏 vvv) (v, vv).这时对于等价的扩张有(w,

10、 v)1 = 6z(wv)1 (w, v)6z(w)1 6t(v),(2. 2. 2)这里g(u)g b.如果因子组(w,v)1和(w, v)2都满足(wv, vv)(w,v)u =(u,uw)(u, w),而且组成决定a的 h-x扩张的因子组在因子组乘积的这个定义下，存在着单位元素，即所有(w,v) = 1的因 子组，还存在逆，即把仏可换成仏巧“的因子组.再有，对于等价的因子组，如果 (w,v)*u (w,v)j 和(s)；l!(w,v)2,则(u, v)* (w, v)* (w, v)j (w, v)2.因此全体 h-x 因 子组是一个阿贝尔群，即使把等价的因子组等同起来也是如此把等价的因

11、子组等同起來而 得到的群叫做扩张群.设h是有限的，我们定义/(v) = p(w,v).(2. 2. 3)u(wv, w*)(w, v)u =(w, vvv)(v, vv)对于所有的心h乘起来，我们得出/>)/2广=/仙)(讣)"，(2. 2. 4)这里比是h的阶.与(2.2.2)比较，又如果加是b的所有元素的阶的倍数，则因为(£/,v)e b,所以(v, w)" = 1.(2. 2. 6)因此得到如下定理：定理2. 2.1.扩张群的任意元素的阶整除h的阶和3的元素的阶的最小公倍数.推论2. 2.1.如果加和"是互素的，则a的所有h-x扩张都等价于a

12、和h的半直 积.定理2. 2. 2.设加斤阶有限群g包含加阶正规子群k而且具有n阶的商群h = g/k , 这里m和n是互素的.那么g是k的可裂扩张.证明.只要证明g具有阶的子群.我们对加施行归纳法，当加=1时定理是显然成立 的设加1而且p是整除加的素数.g中对应于p的所有西罗子群s”是k的子群，因为 k至少包含一个西罗子群s”，而ii是k正规的，因而s”的共辘者也属于k.因此g内的 西罗p子群»的个数与k内的个数相同.再由g = g + c? +c, ( g表示不想交的共轨 类，而且g的每一个元素恰好是一个共辘类的元素)，g：ng(sj = k：nk(s，因 而他(s：必(s卜g:

13、 k = “，ng(s和nk(s j分别是s”在g和k内的正规 化子.这时当然有nk(sp) = ng(snk ,且nks)是ng(s)的正规子群.如果 ng(s是g的真子群，则根据归纳假设，它包含斤阶的子群因此可以假定g = ng(s、,于是k = "k(s)如果s是k的真子群，则根据归纳 假设，g包含阶为g:s订而且同构于g/s”的子群，因而包含同构于g/k的阶子群， 这就证明了定理.因此问题归结为k = sp的情形这时如果s”是阿贝尔群，则g是»的屮心扩张，因 而根据定理3的推论，g是s“的可裂扩张，证明了定理如果s”不是阿贝尔群，则s”的中 心z是s的真子群，而且是

14、s”的特征子群，它必定是g的正规子群.因此，根据归纳假设, g/z包含n阶子群u/z .于是z在g的对应子群u内是正规的而且有指数n ,因而根据归 纳假设，/包含斤阶子群，这就对最后这种情形证明了定理.2. 3循环扩张假设h是由元素x生成的加阶的有限循环群；h的元素是(2. 3. 1)1, %, x?，xm 1设g/n = h ,取元作为映成兀的/v的傍系代表，还可以取元心作为分别映成，严的n的傍系代表，因而g = n + w +阪曲.(2. 3. 2)这时xm = a,(2. 3. 3)这里a是w的元素.于是对于/v的自同构a口ax,必定有n:ia =oc aa.ae n.(2. 3.4)其

15、次从恒等式元t元元=元'.(2. 3. 5)得出ya = a.(2. 3. 6)我们来证明,(2. 3.4)和(2.3.6)完全决定了 n借助于h的扩张.定理2.3.1.设h是加阶的有限循环群.那么群n借助于h的扩张g存在，必要而且 只要存在“的自同构d口 /和元素使得(2.1.1)这自同构的加次方次幕是rflq作 变形而得出的w的内自同构，而且(2.1.2) g在这自同构下不变.证明.我们已经知道，如果扩张存在，则自同构gd b和元素g满足(2.3.4)和 (2.3.6).反之，我们来证明(2.3.4)和(2.3.6)足以决定一个扩张.h的元素是 1,x,或v,o<z = m-

16、l.我们按下列方式定义自同构和因子组：(2. 3. 7)(2. 3. 8)(2. 3. 9)ax =a,a = i ax )=，加-2,(#,卫) = 1,如果 i + j < m-1, (#*) = a,如果 m < i + j.利用这些定义我们容易验证=(w,v) '(n")(u,u)和(wv, vv)(w, v)h =(w,vw)(v, w) 满足，因而根据定理2.1.1,决定了一个扩张.如果h是无限阶的循环群，我们可以令(/,./) = 1对于所有i和丿都成立，而且我们发现自同构a n不必加以限制.这说明+ =厂对于所有i都成立.3群的上同调3. 1二重模

17、设q是任意乘法群而且a是二重q模，即是满足下列条件的加法阿贝尔群：1) a以0作为左右两边算子的群，使得对于给定的6zg a和仅7和是a的 唯一决定的元素.2) 分配性因而-gd = f(-d),-砧=(-d)f,§0 = 0§ = 0.3) la = al = a ,这里1是q的单位元素.4) 结合性§(") = (切)d,=(站) = q©)这些定律对于所有a,a2,ae a和所有q都成立.实质上，二重0模就是这样的加法阿贝尔群，它以qxq的元素(§,)作为可分配的算 子.在应用中常常出现q在一边(例如左边，是恒同地作用的，这是说

18、对于所有eq和gwa都有a = a) 这种情形下，我们简单的略去左边算子，而且把它说成单边的模.举例说，设a是群g的正规的阿贝尔子群而且记作q = g/a.如果§ = aur则 心叫只取决于d和而不依赖于在傍系中的选取.因而对以记哙=0?而不致引起误会. 这就是单边模的例子，只不过a是用乘法表出的.在展开上同调的一般定理时，用加法记号 表出4是比佼方便的做法.3.2上链，上边缘和上同调群给了二重0模a ,我们定义c"二c" (a, q)为”个变量的所有函数组成的加法群，这n个变量独立地在。内取值，函数数值在a内収，而且满足条件：如果至少有一个6 = 1,则(3.

19、2. 1)cn的元素叫做n维上链.根据定义c° = a ,而零维上链根本就是a的任意元素.上边缘算子5是指从c"到c"”的下列映射：（狞）gm，）=3（6,丘）+£（-】）'f c ，&一 2,知，&，§由,，） t=l+ （一 1）"" /（6,6,，佥t）佥.（2. 3. 2）这里/w c",而且容易验证力/w巴映射f3f对于加法说是同态.在群论中特别有用的是77 = 0,1,2的情形.这时上边缘公式是因为f = ae a ,（"）（§,） = §/（）-/

20、（切） + /（§） ,（2. 3. 3）（力/）（仙，<） = §/（，4）7（切/） + /（仙了）-/（仙）了定理3. 2.1.如果/是任意上链，则j2/ = 0.证明.取几使f g cn-2.那么6f 6 cn-.因此，当我们根据定义用/的值来表示（尸/）（§,匚乙）时，我们得到正负交替的刃+ 1项：w0_wl +u2+ （-1）"叫这里每个色在用/的值表出时是正负交替的项，我们可以写成：ui=ui,o ui,+（_ i y | 乞 a+（-1）+ （1 广八 uii+j + 因此,佥）=2（-1厂 1©+三（-1厂知i<j

21、i>j这里i和j取1到n的值.然后容易验证，对于所有，和j都有陶=竹.因此上述等式的右边 等于零.如果f g cn有条件cf = o,则/叫做斤维上圈，这些上圈组成由/导出的从c"到c”利的同态的核z"=z"(a,(2)如果/ w c"而且存在元素g g cn-'使得5g = .f，则f叫做n维上边缘.这些上边缘组 成cn-x在8映射下的像.bn = bn (a, q) 我们定义b°=0.根据定理3. 2.1,每个上边缘都是上圈，因而对于所有n, bn c zw.商群叫做二 重q模人的”维上同调群.我们把它记做在上链，盒)的定义中

22、，我们用(3.2.1)限定在有一个或更多的元是单位元素 吋上链取零值.在很多情形里这种限制是能满足的，例如在应用到前血提到过的因子组吋就 是如此.我们把这种上链叫做正规化的当(3.2.1)这个限制被略去时，我们说成未正规化 的上链定理3. 2. 1当然对这两种情形都成立，因为在证明时并未用到定理6.它们的区别是 为了某种便利，因为我们可以证明，关于未正规化的上链的各维上同调群都同构于正规化的 上链的对应的上同调群.定理3. 2. 2.关于未正规化的上链的维上同调群/t(a,q)同构于关于正规化的对 应的上同调群.证明.我们把斤维正规化的上链、上边缘和上圈分别记做c",和z"

23、,而且在未正规化的情形使用记号c", 和zl对于斤=0和斤=1,容易验证b° = b'°=0,z° = z"二0和b1 =bzl=z,因而 h°(a2)和h'(aq)在这两种情形里都相等这时主要的验算是：如果/()gz'1,则 §/()= 0，因而在収§ = = 1时有/(1) = 0，因而/(§)是正规化的, 即 z'=z!.现在假定n>.显然有by bn和z" c z ”因此关于cn的上同调类,即bn在c"内 的傍系，对应于关于c"的

24、唯一地同调类，即的包含它的傍系这个对应当然是从 hn(a,q)到的同态.当两个上链的差是上边缘时，我们说这两个上链是上同调 的.因而两个上圈上同调，必要而且只要它们属于同一个上同调类.引理3. 2.1.每个未正规化的上圈总上同调于一个正规化的上圈.引理3. 2. 2.如果某个上链的上边缘是正规化的，则它是正规化的上链和上边缘.引理3. 3. 3.如果是正规化的，则乞是i正规化的.4上同调对扩张理论的应用设a是群g的正规阿贝尔子群而且q = g/a是商群.如果傍系a伦二纟是q的元素, 则对于67 g a.uau.只収决于a和§而不依赖于在傍系中的选取.因此可以记 uf'au.

25、= 而不会有误会，在这种记号下，q是作用于a的右侧的算子群，而且我们认 为q在左侧是恒同地作用的.设a是具有固定算子群q的加法群，而且对于因子组使用记 号/(w,v) = (w,v),那么(wv, w)(m,v)u =(w,vw)(v, w)变成f(wv, w) + / («, v)w = / (w, vw)4- / ( v, w) .(4. 1)移项后我们得出/(v, vv)-/(wv, w) + /(w,vvv)-/(w,v) w = 0 ,(4. 2)因而因子组是二维上圈.根据(11).两个因子组/(w,v)和/；(/")等价的条件是久仏巧=/仏巧 +/()一/(&q

26、uot;) + /(""'(4. 3)即土和/相差上边缘/(v)-/(wv)4-/(w)v.这里我们说过q在左侧是恒同地作用的.因 此扩张群是二维上同调群丹2 ( a,q).我们得出以下定理：定理4.1.阿贝尔群人借助于群q的扩张群是二维上同调群h 2(a,q),这里：1) q在左侧是恒同地作用的.2) q在右侧的作用导出a的自同构.3) 因子组/仏町是z?的上圈.4) 等价的因子组相差$的上边缘.在把g写成人的傍系的和时収单位元素作为a的代表就导出正规化性质/(1,1) = 0. 在(4. 1)中令u = v = f我们得出.f (l,w) + /(l,l)w=/

27、(l,w) + .f (l,w),(4. 4)因此/(l,w) = 0.(4. 5)同理，令v=vv=l,我们得出/(m)-/(w,l) + /(w,l)-/(w,l) = 0,(4. 6)因而还有/仏1) = 0,(4. 7)这说明我们处理的是正规化的上圈.定理 4.2.如果/gc 则(y(3f) + 3(7f) = mf .推论4. 2.1 如果/gz 则 mfebr,.事实上，fezn是说5/ = 0,因而子是/的上边缘.我们的结论是：如果q的阶 是加，则上同调群hn = zn/bn的每个元素的阶都整除加.定理3是这个结果当n = 2时的 特殊情形.关于因子组有伽许兹的进一步的结果，其实

28、关于一个群q和它的子群b的上同调的. 这时假定b在q内的指数是有限数m .q = b1 + b b ,5. = 1.（4. 8）这时如果4卫2，,0是q的元素，则我们记=®i，这里加杠表示元素所属的傍系的代 表.同理记片°2二心2,®心色二几（4.9）我们用下列公式定义/他卫2,）wc”的转移了（/（4卫2,“）：丁（/（时2,，色）=工 si f （wil，sia2si2 ''si,n-4血*（4.10）/=1注意总有sj jmjs? w b ,因而对于/wc"（a,q）, 属于子群qc"（a,b）q 定理4. 3（伽许兹定理

29、）.如果/（即吆“用乙”而且b是在q内有指数加的子群, 则7/（坷卫2,色）三吋（°|卫2,djmodb伽许兹定理的群论形式如下：定理4.4 （伽许兹定理.设f = （w,v）,w,vgh,（w,y）g a,是阿贝尔群a借助于有限群h的h-x扩张的因子组.设b是h的指数为m的子群，而且h = b 1 + b, + + b、冷=1.那么严,sfuvsjuv其中的元和svsiv 1当然是b的元素.推论4. 2. 2.如果当兀ywb时有(x,y) = l,则仏巧 1这个定理有很多推论，而其中最有用的是连系的a的h -力扩张的，这里s(“)是h的 西罗”子群设h的阶是n = pem ,而s(

30、p)的阶是/.设e = e(h)是人的h-%扩张 的群，就像在本文之前所定义的那样.e的每个元素是等价的因子组斥二仏必的类.根 据定理2.2.1, e的每个元素的阶整除.因而e是周期阿贝尔群而且是它的西罗子群 e()的直积.定理4. 5.设e = e(h)是a的h-x扩张的群.那么e的西罗p子群e(p)同构于 群ep, 是把a的h-x扩张的因子组f = (w,v)限制成取元(兀，')，兀，代*()，而 决定的s (p) -力扩张的群，这里s (p)是的西罗p子群.证明.对于a的h-x扩张的因子组f = (w,v),我们定义"等价假如在限定元x,yes(p)而导出sp)-x扩张

31、时有(兀,y) 口(x，y)i这确实是等价关系.其次，设q是e的由这种因子组f = (w,v)组成的子群，对于它在限 定x,yes(p)时，有(兀,刃口1于是e的元素对应于p等价的因子组，必要而且只要它们 属于目的同一个傍系.因此e/c同构于群坊，e”是限定因子组f = (h,v)的元x9yes(p)而得到的s(p)-力扩张的群.根据伽许兹定理的推论,取s(p)作为子群b , &的每个元素的阶都整除s()的指数加，又根据前文，e”的每个元素都整除/.因为 (/,加) = 1,所以e”和e的西罗p子群e(p)都同构于e/e,因而它们彼此同构，这就 证明了定理.定理4. 6. a的h-x扩张在力上可裂，必要而且只要对于整除h的阶的每个素数 ”，限定于h西罗p子群s(p)的扩张可裂.证明.从a借助于h的扩张可裂显然得出a借助于每个s(p)的扩张可裂我们来证 明逆命题.设f = (w,v)是由h-x扩张决定的因子组.根据假设，仏巧口仏叭，这里 当x9ye s(p)时有(兀,y) = 1 根据推论有(w,v)w (w)" 1,这里m = pem.这对于整除 几的每个p都成立使(w,vf d1的不同加的最大公约数是1,因而(w,v)dl,所以a借助 于h的扩张可裂.定理得以证明.结束语本文在群扩张的问题上给出了中心扩张和循环扩张