2020届高三理数一轮讲义：13.1.1-坐标系(含答案)

1、第 1 节坐标系与参数方程第 1 课时坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点 p(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换 ：x x( 0)，y y( 0)的作用下，点 p(x，y)对应到点 p(x ，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 .2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点o，自点 o 引一条射线 ox，

2、同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系.点 o 称为极点，射线 ox 称为极轴 .平面内任一点m 的位置可以由线段om 的长度 和从射线 ox到射线 om 的角度 来刻画 (如图所示 ).这两个数组成的有序数对 (，)称为点 m的极坐标 . 称为点 m 的极径， 称为点 m 的极角 .一般认为 0.当极角 的取值范围是0，2)时，平面上的点 (除去极点 )就与极坐标 ( ， )( 0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径 0，极角 可取任意角 .(2)极坐标与直角坐标的互化设 m 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为

3、 ( ， ).由图可知下面的关系式成立：x cos ，y sin 或2x2y2，tan yx(x0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 r(0 2)圆心为 (r，0)，半径为 r 的圆 2rcos_2 2圆心为r，2 ，半径为 r 的圆 2rsin_(0 )过极点，倾斜角为 的直线 ( r)或 ( r)过点(a，0)，与极轴垂直的直线 cos_ a2 2过点a，2 ，与极轴平行的直线 sin_ a(0 0） ，y y（ 0）的作用下的变换方程的求法是将xx，yy代入 yf(x)，得yfx，整理之后得到 y h(x)，即为所求

4、变换之后的方程易错警示应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x，y)与变换后的点坐标 (x ，y)【训练 1】 在同一坐标系中，求将曲线y12sin3x 变为曲线 ysinx 的伸缩变换公式.解将曲线 y12sin3x经过伸缩变换变为ysin x，即 y sin x ，设伸缩变换公式是x x，y y( 0， 0)，把伸缩变换关系式代入式得：ysin x与式的系数对应相等得到 2， 3，所以，变换公式为x 3x，y 2y.考点二极坐标与直角坐标的互化【例 2】 (2019 德阳诊断 )已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xoy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线c 的

5、参数方程为x12cos ，y1 2sin ( 为参数 )，直线 l 过点(1，0)，且斜率为12，射线 om 的极坐标方程为 34.(1)求曲线 c 和直线 l 的极坐标方程；(2)已知射线 om 与曲线 c 的交点为 o，p，与直线 l 的交点为 q，则线段 pq 的长.解(1)曲线 c 的参数方程为x1 2cos ，y12sin ( 为参数 )，曲线 c 的普通方程为 (x1)2(y1)22，将 x cos ，y sin 代入整理得 2cos 2sin 0，即曲线 c 的极坐标方程为 2 2sin 4 .直线 l 过点(1，0)，且斜率为12，直线 l 的方程为 y12(x1)，直线 l

6、的极坐标方程为 cos 2 sin 10.(2)当 34时，|op|2 2sin344 2 2，|oq|12222223，故线段 pq 的长为 2 2235 23.规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x cos ，y sin ，2x2y2，tan yx(x0)2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ， 的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧 .【训练 2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .已知点 a 的极坐标为2，4 ，直线的极坐标方程为 cos

7、 4 a，且点 a 在直线上，求 a 的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线 c1：x2y28x10y160 化为极坐标方程 .解(1)点 a2，4 在直线 cos 4 a 上，a 2cos44 2，所以直线的方程可化为 cos sin 2，从而直线的直角坐标方程为xy20.(2)将x cos ，y sin 代入 x2y28x10y160，得28 cos 10 sin 160，所以 c1的极坐标方程为 28 cos 10 sin 160.考点三曲线极坐标方程的应用【例 31】 (2019太原二模 )点 p 是曲线 c1：(x2)2y24 上的动点，以坐标原点 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建

8、立极坐标系，以极点o 为中点，将点 p 逆时针旋转 90 得到点 q，设点 q 的轨迹为曲线 c2.(1)求曲线 c1，c2的极坐标方程；(2)射线 3( 0)与曲线 c1，c2分别交于 a，b 两点，定点 m(2，0)，求 mab的面积 .解(1)由曲线 c1的直角坐标方程 (x2)2y24 可得曲线 c1的极坐标方程为 4cos .设 q( ， )，则 p ， 2 ，则有 4cos 2 4sin .所以曲线 c2的极坐标方程为 4sin .(2)m 到射线 3( 0)的距离 d2sin3 3，|ab|ba4sin3cos3 2( 31)，所以 smab12|ab|d122( 31)33 3

9、.【例 32】 (2017全国 卷)在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为 cos 4.(1)设点 m 为曲线 c1上的动点，点 p 在线段 om 上，且|om| |op|16，求点 p 的轨迹 c2的直角坐标方程；(2)设点 a 的极坐标为2，3 ，点 b 在曲线 c2上，求 oab 面积的最大值 .解(1)设点 p 的极坐标为 ( ， )( 0)，m 的极坐标为 (1， )(10).由题设知 |op| ，|om|14cos.由|om| |op|16 得 c2的极坐标方程为 4cos ( 0).因此 c2的直角坐标方程为 (x2)

10、2y24(x0).(2)设点 b 的极坐标为 (b， )(b0).由题设知 |oa|2，b4cos ，于是 oab 的面积s12|oa| b sinaob4cos |sin 3|2|sin2 3 32|2 3.当 12时，s取得最大值 2 3.所以 oab 面积的最大值为 2 3.规律方法求线段的长度有两种方法方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度方法二 ， 直 接 在 极 坐 标 系 下 求 解 ， 设 a(1， 1) ， b(2， 2) ， 则 |ab| 2122212cos（21）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的

11、距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|12|即为所求【训练 3】 (1)在极坐标系中，求直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长 .(2)(2019衡阳二模 )在直角坐标系xoy 中，曲线 c 的参数方程为x 2cos ，ysin (为参数 ).以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，a，b 为 c 上两点，且 oaob，设射线 oa： ，其中 0 2.()求曲线 c 的极坐标方程；()求|oa| |ob|的最小值 .解(1)由 sin 4 2，得22( sin cos )2，可化为 xy2 20.圆 4可化为 x2y216，圆心(0，0)到直线 x

12、y2 20 的距离 d|2 2|22，由圆中的弦长公式，得弦长l2 r2d22 42224 3.故所求弦长为 4 3.(2)()将曲线 c 的参数方程x 2cos ，ysin ( 为参数 )化为普通坐标方程为x22y21.因为 x cos ，y sin ，所以曲线 c 的极坐标方程为 221sin2.()根据题意：射线 ob 的极坐标方程为 2或 2，所以|oa|21sin2，|ob|21sin2 221cos2，所以|oa|ob|21sin221cos24(1sin2 )(1cos2 )21sin2 1cos2243.当且仅当 sin2 cos2 ，即 4时，|oa| |ob|取得最小值为4

13、3.思维升华 1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式 cosx， sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以 等2.直角坐标 (x，y)化为极坐标 ( ， )的步骤：(1)运用 x2y2，tan yx(x0)；(2)在0，2)内由 tan yx(x0)求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即 的终边位置 )易错防范 1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可2 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一 当规定 0，0 2 ，使得平面上的点与它的极坐标之间是一

14、一对应的，但仍然不包括极点3进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：(1)注意 ， 的取值范围及其影响(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.基础巩固题组(建议用时： 60 分钟)1.求双曲线 c：x2y2641 经过 ：x 3x，2y y变换后所得曲线 c 的焦点坐标 .解设曲线 c 上任意一点 p(x ，y)，由上述可知，得x13x ，y2y代入 x2y2641，得x294y2641，化简得x29y2161，即x29y2161 为曲线 c 的方程，可见仍是双曲线，则焦点f1(5，0)，f2(5，0)为所求 .2.(2018武汉模拟 )在极坐标系下，已知圆o： cos si

15、n 和直线 l： sin 422.(1)求圆 o 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 o 公共点的一个极坐标 .解(1)圆 o： cos sin ，即2 cos sin ，圆 o 的直角坐标方程为： x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l： sin 4 22，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为： yx1，即 xy10.(2)由x2y2xy0，xy10，得x0，y1，故直线 l 与圆 o 公共点的一个极坐标为1，2 .3.以直角坐标系中的原点o 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为 21sin .(1)将曲线的极坐

16、标方程化为直角坐标方程；(2)过极点 o 作直线 l 交曲线于点 p，q，若|op|3|oq|，求直线 l 的极坐标方程 .解(1) x2y2， sin y， 21sin 化为 sin 2，得2(2 sin )2，曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线 l 的极坐标方程为 0( r)，根据题意21sin 0321sin(0)，解得06或056，直线 l 的极坐标方程 6( r)或 56( r).4.(2019安阳二模 )在平面直角坐标系xoy 中，已知直线 l：x 3y5 3，以原点o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c 的极坐标方程为 4sin .(1)求直线 l 的极坐

17、标方程和圆c 的直角坐标方程；(2)射线 op： 6与圆 c 的交点为 o，a，与直线 l 的交点为 b，求线段 ab 的长.解(1)因为 x cos ，y sin ，直线 l：x 3y5 3，所以直线 l 的极坐标方程为 cos 3 sin 5 3，化简得 2 sin 6 5 3，即为直线 l 的极坐标方程 .由 4sin ，得24 sin ，所以 x2y24y，即 x2(y2)24，即为圆 c 的直角坐标方程 .(2)由题意得 a4sin62，b5 32sin665，所以|ab|ab|3.5.(2019福州四校期末联考)在平面直角坐标系xoy 中，曲线c1的参数方程为x2cos ，y2si

18、n ( 为参数 )，直线 c2的方程为 y 3x.以坐标原点 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 c1和曲线 c2的极坐标方程；(2)若直线 c2与曲线 c1交于 a，b 两点，求1|oa|1|ob|.解(1)由曲线 c1的参数方程为x2cos ，y2sin ( 为参数 )，得曲线 c1的普通方程为(x2)2(y2)21，则 c1的极坐标方程为 24 cos 4 sin 70，由于直线 c2过原点，且倾斜角为3，故其极坐标方程为 3( r).(2)由24 cos 4 sin 70， 3得2(232) 70，设 a，b 对应的极径分别为 1，2，则122 32，127，1

19、|oa|1|ob|oa|ob|oa| |ob|12122 327.6.在直角坐标系 xoy 中，曲线 c1的参数方程为x 2cos ，ysin (其中 为参数 )，曲线 c2：x2y22y0.以原点 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l： ( 0)与曲线 c1，c2分别交于点 a，b(均异于原点 o).(1)求曲线 c1，c2的极坐标方程；(2)当 0 2时，求 |oa|2|ob|2的取值范围 .解(1)x 2cos ，ysin ，x22y21，由x cos ，y sin ，得曲线 c1的极坐标方程为 221sin2；x2y22y0，曲线 c2的极坐标方程为 2sin .(2)

20、设 a，b 对应的极径分别为 1，2，则由 (1)得|oa|22121sin2，|ob|2224sin2 ，|oa|2|ob|221sin24sin2 21sin24(1sin2 )4，0 2，11sin2 2，621sin24(1sin2 )9，|oa|2|ob|2的取值范围为 (2，5).能力提升题组(建议用时： 20 分钟)7.在直角坐标系 xoy 中，曲线 c 的参数方程为x 32cos ，y12sin( 为参数 ).以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 c 的极坐标方程；(2)过原点 o 的直线 l1， l2分别与曲线 c 交于除原点外的a， b 两点，若aob3，求aob 的面积的最大值 .解(1)曲线 c 的普通方程为 (x 3)2(y1)24，即 x2y22 3x2y0，所以，曲线 c 的极坐标方程为 22 3 cos 2 sin 0，