2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第11讲函数(三角函数、数列函数)模型及其应用

1、 第 11 讲 函数(三角函数、数列函数)模型及其应用 【知识要点】 、在现实生活中有许多问题， 往往隐含着量与量之间的关系， 可通过建立变量之间的函数 关系和对所得函数的研究，使问题得到解决. 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括， 建立相应的数学模型， 利用这些模型来研究 实际问题的一般数学方法； 数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括, 反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型来源于实际， 它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物, 际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提. 来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综

2、合、输出的过程，熟悉 些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力. 三、三角函数的应用一般是先根据题意建立三角函数模型 意结合三角函数的图像和性质分析解答 一般根据函数的最值确定 和:，根据函数的最小 正周期确定*，根据函数的最值点确定 四、 数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、 等比的数列问题解答， 如果不是等差 等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决 注意数列的项数 五、 解决实际问题的解题过程 (1) 对实际问题进行抽象概括： 研究实际问题中量与量之间的关系， 确定变量之间的主、 被动关系，兴用 p p、/y y 分别表示问题中的变量； (2) 建立函数模型：将变量

3、表示为；的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一 般都是函数的解析式； (3(3)求解函数模型： 根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数 知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解 再从数学角度来 它又要回到实 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型, 不同的变化现象需要用不同的函数模型 - ：. ，再根据题 2 这些步骤用框图表示:3 六、解应用题的一般程序 (1) 读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础； (2) 建： 将文字语言转化为数学语言， 利用数学知识， 建立相应的数学模型.熟悉基 本数学模型， 正确进行建“模”是关键的一

4、关； (3) 解：求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义， 更 要注意巧思妙作，优化过程； (4) 答：将数学结论还原给实际问题的结果. 【方法讲评】 函数的模型一 三角函数模型 解题步骤 先建立对应的三角函数模型，再解答 . . 【例已知某海滨浴场的海浪高度(单位：米)与时间皿斗(单位：时) 的函数关系记作 下表是某日各时的浪高数据： E （时） 0 0 3 3 P P 6 6 9 9 1212 1515 1818 2121 2424 7(7(米) ) 1.51.5 1.0 0.50.5 1.01.0 1.51.5 1.01.0 0.50.5 1.01.0 1.51

5、.5 经长期观测，“ :;|的曲线可近似地看成是函数 :二:;. . (1) 根据以上数据，求函数 :、：s 的最小正周期/ ,振幅及函数表达式； (2 2 )依据规定，当海浪高度高于 1 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1 1)的结论，判 断一天内的上午 8 8 : 0000 时至晚上 20 20 : 0000 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【解析】(1)由表中数据知周期丁 = 12,二=干=三， 由= 0 y = 1.5 f 得 T + 由=3=L0 ：得占=1 平飙麟问题 问题解决 期问题结论k回到跚问题 数学问题 1 数学皤 1 数学问题结论 4 /, J = 0.5.i

6、 = lj v = cosr + 1 , 2 6 1 亓 y 一 cosf+1 1 (2) 由题知，当I I 时才可对冲浪者开放，【： , cos - 0 7 2ATT r 2t/V +， Ar z 6 2 6 2 0112-3r 12+3, Jeez V0r24,故可令中力分别为 02得 03 或 9ul5或 21Y24. 二在规定:时间上午&00至晚上 20:00 之间，有 6 个小时时间可供冲浪者运动，即上午 9:00 至下午 3:00 . 【点评】（1 1）首先要利用三角函数的图像和性质求出三角函数的表达式， 是函数的 振幅，w w是相位，】；是初相. .一般通过函数的最值求

7、，通过周期 1.1.求 b b，通过 最值点求/ . .（ 2 2）解简单的三角函数不等式主要是利用三角函数的图像和数形结合的思想 解答. .三角不等式的解集中一般含有“ 上 Z Z ”，最后给 E E 赋值和实际范围求交集 【反馈检测 1 1】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地，早潮 叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回 海洋.下面是某港口在某季节每天 从 0 0 时至 2424 时的时间：（单位：时）与水深（单位：米）的关系表： X 6 00 00 创 00 9: 00 12:00 15:00 18:00 21:00 2d:00

8、 y 12. 0 15.0 12.0 9.0 12.0 15. Q 12.0 9,0 12.0 （1 1 ）请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系； （2 2） 一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为 1212 米，安全条例规定船体最 低点与洋底间隙至少要有 1.51.5 米，请问该船何时能进出港口？在港口最多能停留多长时间？ 5 【例2】某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点，J及 CD 的中点_处，已 知厶 .：， 厂二，为了处理三家工厂的污水， 现要在矩形 厶|一二的区域上(含 边界)，且，J与等距离的一点_处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 -2，设排

9、污管道的总长为兴直. (I)按下列要求写出函数关系式： o 设-?J?-:,将表示成：；的函数关系式； 设一：. ，将；表示成丄的函数关系式. (n)请你选用(I)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道 总长度最短. jjsls. *jjsls. * 【解析】 I由条件知尸。垂直平分AB , 若 ZA08rad ,则 OA=- = - f 故 0B = - f 又 OP = lO-lOtan0 , cos 6 cos cos 3 = + + = J+J- + 10-10tan6. cos cos 所求的数关系式为 y=2Q1Qd- +10 cosy ； 4 r 若OF二如，贝

10、ijC0 = lO-x? 所以血= 0R = J(10_h+10： HJO0X+2Q0. 所求函数关系式为 F =工+ 2 20 卄 200 (0 x10). (n)选择函数模型,6 t -10 cos 5 cos (20 -1 Gsinff i (- sin 10( 2sin 9-11 y = - 齐 - - - = 巳 则 二 二 1 A 刁打 开 令.得因为 I,所以-二 I 6I 6 丿时丿U U，是 0 0 的减函数；当 5 TT G4G4 丿时, 71 八是 0 0 的增函数，所以当 0 0 =6时，忌二 1 1 + + 1010 这 - A - 冲严 - 时点位于线段的中垂线上，

11、且距离二一边匚 处. 【点评】(1 1)本题主要考查根据实际意义建立函数模型、 三角函数性质和解决最值问题 的基本知识，考查了数形结合思想和分析问题、转化求解的能力. (2 2)对于较复杂的三角函 数的最值，一般利用导数来研究函数的单调性从而得到函数的最值 . .(3 3) 一般以平面几何为 背景的应用题，多以角为自变量建立三角函数模型，比以边为自变量建立函数模型简单 【反馈检测 2 2】如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为 的半圆形空地， 外 的地方 种草，二的内接 正方形丄；匚为一水池，其余 地方种花. .若 J_ J_ - -ifif 一二 设二二 T T 的面积为二，正方形-的面积为

12、 =. . 当週定， 疫化时， 求号取得最小値时啲值 (2)(2) J J 函数的模型八 数列模型 解题步骤 先建立数列模型，再解答 7 对于任意正整数 恒成立，解这个关于 x x 的一元一次不等式 ， (18 扁 + 1.8 1 - : ri ia ， 上式恒成立的条件为： An) = +1.8 丨-.J- 单调递 减，所以， :1:1. .：. . 1-0.94 【点评】(1 1)建立数列模型的关键是从已知中找到数列的递推关系, 如 1 = 01 = 0 哋+ x 18 +L8 得 一 :丁 由于关于、的函数 如二 3030， ，再根据递推关系求出数列的通项， 再研究 ( 2 2)解答的关

13、键是化归为含 【例 3 3】 某城市 20012001 年末汽车保有量为 3030 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保 有量的 6%6%并且每年新增汽车数量相同. .为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 6060 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 ？ 【解析】2001 年末汽车保有量为毎万辆，叹后各年末汽车保有量依次为如万辆 鸟万辆，,毎年新增汽车兀万辆则 = 30 , = 0.94d, + x所儿 当 Q2 时, 两式相减得：一如 9斗(虬一帚 J 、 I (1) 显然，若 E 一=，则 I,I,即二; ;11 - -， 此时-. .1 1 . .- -II (2) 若g-b

14、工 0,贝懒列 0 初一虬为以-知=x-0.Q=x-Mr 次 24 为公比的等比数列，所儿 - = 0.94 (x-l.B). 则对于任竜正整数 s 均有入-久“，所儿 方林 如屹 =30, 此时* x当“励吋,b2-b. 0,则对于任意正整数心 均有帚 i一乞 所乩 4 =30.由-V-;=0,941;-(x-1.8),得 s =(i. 5)+為)+.+伍 出一心 9严 L30 = S 二叱 L 30 , 、 要使对于任意正整数 0 0 .Z F - J 参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题 1-0.94 O.IM 8 【例 4 4】 广州市某通讯设备厂为适应市场需求，

15、提高效益，特投入 9898 万元引进世界先 进设备奔腾 6 6 号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是 1212 万元，从第二年开始，所 需费用会比上一年增加 4 4 万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为 5050 万元. . （1 1）引进该设备多少年后，开始盈利？ （2 2）引进该设备若干年后，有两种处理方案： 第一种：年平均盈利达到最大值时，以 2626 万元的价格卖出； 第二种：盈利总额达到最大值时， 以 8 8 万元的价格卖出 问哪种方案较为合算？并说明理 由 【解析】（1 1） h h1 1 + + - - _ _，b b 1 11 1 -/- - - - ；-丨；所以 3

16、 3 年后开始盈利. . （2）方案一：5W9E（12+16+- ） =40-2（+）12 当且仅当*7时取等所以方案一最后 n n 的利润为 7x12+26=110,方案二:v = -2?r+40-98; = 10 时利润最大，所以方案二的剎润为 102-=110,所臥方案一合算. 【点评】（1 1）建立数列模型的关键是理解数列函数的意义，再根据其意义求出表达式 . . 屛的总盈利 （2 2）注意理解“年平均盈利”和“年盈利”的含义，年平均盈利 = = 二 年盈利 【反馈检测 3 3】某企业 20062006 年的纯利润为 500500 万元，因设备老化等原因，企业的生产 能力将逐年下降 若

17、不能进行技术改造，预测从20072007 年起每年比上一年纯利润减少 2020 万元, 今年初该企业一次性投入资金 600600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况 500（l+i 下，第、年（今年为第一年）的利润为 - 万元（1为正整数） （I）设从今年起 的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 二万元，进行技术改造后的累计纯利 润为+万元（须扣除技术改造资金），求-；：、*的表达式；（n）依上述预测，从今年起9 该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润? 10 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 1111 讲: 函数（三角函数、数

18、列函数）模型及其应用参考答案 = 12-l-3sin x 【反馈训练 1 1 答案】（1 1） ；（ 2 2）货船在 1 1 点至 5 5 点可以进出港；或 1313 点至 1717 点可以进出港每次可以在港口最多能停留 4 4 小时. . 【反攪捡测 1 详细解析】（1）a 时间为横坐标，水深为纵坐标考虑用函数朝刻画水 尿与时间之间的对应关系. 从数据可叹得出：4 = 3 = 12.7 = 12=0.由丁工二 1 = 12,得. K 6 所以这个港口的水深与时间的关系可牺 y = 12+3 血;I xe0;人近似描述. 6 货船需要的安全水深为 12+1-5=13.5,所以半，王 13 上时

19、就可以进港. .sin-xi. ：.2k7T-x2k+ 6 2 6 6 6 即 127c+l x 12A: + 5= A: ez * / 0,24, /. 1 x513 x17 . 因此，货船在 1点至 5 点可以进出港；或 13 点至打点可叹进出港.每次可以在淆口最多能停留 4 小时. = -a1 sin2& S2 =SK1 羽 Q &二兰 (1(1) ，一二二：二 1 1;(2 2) - 【反馈检测 2 2 详细解析】(1 1) 一丄 _：=, 1 1 a . S1 = -a-a cos &Sinff = a sin 29 7 2 4 设正方形的边长为入则BQ = xcot0,RC二x tail已 【反馈检测 2 2 答案】 11 x+xcot + xtan =陽解得孟二 tisincos l + sin5cosS