2018版高中数学第一章计数原理1.3第2课时组合的应用学案苏教版选修2-3

1、第 2 课时组合的应用【学习目标】1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题2 能解决有限制条件的组合问题.IT佝题导学-知识点组合的特点思考组合的特征有哪些?梳理(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行次不放回地取出.组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求.相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合.题型探究类型一 有限制条件的组合问题例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列情形 中各有多少种选派方法

2、？(1) 男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2) 至少有 1 名女运动员；(3) 既要有队长，又要有女运动员.- 2 -反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有 无重复或遗漏.跟踪训练 1 在一次数学竞赛中，某学校有12 人通过了初试，学校要从中选出5 人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？任意选 5 人；(2) 甲、乙、丙三人必须参加；(3) 甲、乙、丙三人不能参加；(4)

3、 甲、乙、丙三人只能有1 人参加.类型二与几何有关的组合应用题 例 2 如图， 在以AB为直径的半圆周上， 有异于A,B的六个点G,C2,，C6，线段AB上有 异于A,B的四个点D,D2,D3,D- 3 -ADt炖Pt P,H以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含C点的有多少个?(2)以图中的 12 个点(包括A,B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法.在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决.跟踪训练 2 空间中有 10 个点

4、，其中有 5 个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共 面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 _ 类型三分组、分配问题命题角度 1 不同元素分组、分配问题例 3 有 6 本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1) 分成三组，每组分别有 1 本，2 本，3 本；(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；(3) 分成三组，每组都是 2 本；(4) 分给甲、乙、丙三人，每人 2 本.- 4 -反思与感悟 分组、分配问题的求解策略(1) 分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种1完全均匀分组，每组的元素个数均相等.2部分均

5、匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！.3完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2) 分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.跟踪训练 3 某宾馆安排A B、C D E五人入住 3 个房间，每个房间至少住1 人，且A,B不能住同一房间，则不同的安排方法有 _种.命题角度 2 相同元素分配问题例 4 将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子，求下列方法的种数.(1) 每个盒子都不空；(2) 恰有一个空盒子；(3) 恰有两个空盒子.反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1) 隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可

6、看作排成一行的小球的空隙中插 入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子 的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2) 将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有C1二种方法.可描述为n 1 个空中插入 m- 1块板.跟踪训练 4 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友， 每位朋友 1本，则不同的赠送方法共有 _ 种.商当堂训练-1.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4 门课程中，甲选修 2门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有_ 种.- 5 -2. 把三张游园票分给 10 个人中

7、的 3 人，分法有 _ 种.3. 某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配 午餐：(1) 任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2) 任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有 _ 种.4._ 直角坐标平面xOy上，平行直线x=n(n= 0,1,2，5)与平行直线y=n(n= 0,1,2， 5)组成的图形中，矩形共有个.5._要从 12 人中选出 5 人参加一次活动，其中A,B,C三人至多两人入选，则有 _种 不同选法.厂规律与方法-11. 无限制条件的组合应用题的解题步骤(1)判断.(2)转化.(3)求值.作答.2. 有限制条件的组合

8、应用题的分类(1) “含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一 般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题 的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少” “全是”“都 不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准. 几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面 及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题 来解决.分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素

9、个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.- 6 -答案精析问题导学知识点思考 组合取出的元素是无序的题型探究例 1 解（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C6种选法；第二步：选 2 名女运动员，有 C2种选 法，故共有 C6C= 120（种）选法.（2） 方法一 （ 直接法 ）“至少有 1 名女运动员”包括以下几种情况， 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男.由分类计数原理知共有d C+C2C+C3C+C4= 246（种）选法.方法二 （ 间接法 ）不考虑条件，从 10 人中任选 5 人，有 6。种选法，其中全是男运动员的选法有C5种，故“至少有 1 名女运动

10、员”的选法有 Go C6= 246（种）.当有女队长时，其他人选法任意，共有C 种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C8种选法，其中不含女运动员的选法有C 种，故不选女队长时共有C8a 种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C+ CC5=191（种）.跟踪训练 1 解（1）从中任取 5 人是组合问题，共有 理=792（种）不同的选法.（2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9 人中选 2 人，是组合问题，共有 d= 36（种）不同的选法.甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9 人中选 5 人，共有 C9= 126（种）不同的选法.甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分为两步：先从甲、

11、乙、丙中选 1 人，有 C 种选法， 再从另外9 人中选 4 人，有 C9种选法，共有C3C9=378（种）不同的选法.例 2 解（1）方法一 可作出三角形 d+ d C+C6C=116（个）.方法二 可作三角形 C10 C3= 116（个），其中以C为顶点的三角形有 C2+ d c4+ &= 36（个）.可作出四边形 C4+ C3+ C= 360（个）.跟踪训练 2 205解析 方法一 可以按从共面的 5 个点中取 0 个、 1 个、 2 个、 3 个进行分类，则得到所有的 取法总个数为 C5C5C5C5C5C5 C5C5= 205.方法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去

12、掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况，得到 所有构成四面体的个数为C140C54=205.- 7 -例 3 解（1）分三步：先选一本有C6种选法，再从余下的 5 本中选两本有 C5种选法，最后余下的三本全选有C3种选法.由分步计数原理知，分配方式共有C6c 5 c 1= 60（种）.由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配问题.因此，分配方式共有C6c 5 cl= 360（种）.（3）先分三组，有 cldc；种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A B,C, D, E,F,若第一组取了A,B,第二组取了C, D,第三组取了E,F,则该种方法记为（AB CDE

13、F），但ckjc；种分法中还有（ABEF, CD, （CD ABEF）, （CDEF,A0,（EF,CD AB, （EF,ABC c4 ciCD,共 A3种情况，而这 A3种情况只能作为一种分法，故分配方式有一 A 一；= 15（种）.Cc c在 的基础上再分配即可，共有分配方式C6c cA3= 90（种）.跟踪训练 3114解析 5 个人住三个房间，每个房间至少住1 人 ,则有（3,1,1）和（2,2,1）两种.当为（3,1,1）时，有&足=60（种）,A,B住同一房间有 C3A3= 18（种）,故有 60- 18 = 42（种）.C2C2当为（2,2,1）时，有-ArA3= 90（

14、种）,A,B住同一房间有C3C3A2=18（种），故有 90 - 18= 72（种）. 根据分类计数原理共有 42+ 72= 114（种）.例 4 解（1）先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之 间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有C5= 10（种）.（2）恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5 个空隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00| ，有 C5种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意 一块并放形成空盒，如|0|000|00| ，有 C4种插法，故共有C5C；=40（种）.（3）恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5 个空隙中任选 1 个空隙各插一块隔板，有C5种插法，如|00|0000| ，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.1这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000| ，有 C3种插法.2将两块板与前面三块板之一并放，如|00 川 0000|，有C3种插法.故共有 d （C2+C3）= 30（种）.跟踪训练 410解析 第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3 本相同的集邮册和1 本画册分给 4 位朋友，只有 1 位朋友得到