2018版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案新人

1、241平面向量数量积的物理背景及其含义（一）学习目标】1. 了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直西问题导学-知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义思考 1 如何计算这个力所做的功？答案W|F|s|cos0.思考 2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关梳理条件非零向量a与b,a与b的夹角为0结论数量|a|b|cos0叫做向量a与b的数量积（或内积）记法向量a与b的数量积记作ab,即ab= |a|b|cos

2、0规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二 平面向量数量积的几何意义思考 1 什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影?答案 如图所示，OA= a,SB=b,过B作BB垂直于直线OA垂足为B,贝U 0B=|b|cos0.|b|cos0叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos0叫做向量a在b方向上的投影思考 2 向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗?答案由投影的定义知，二者不一定相同.梳理（1）条件：向量a与b的夹角为0.一个物体在力F的作用下产生位移s,如图.他O A2投影:向量b在a方向上的投影|b|cos0向量a在b方向上的投影|a|cos0(3)ab

3、的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积. 知识点三平面向量数量积的性质思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量思考 2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定? 答案由两个非零向量的夹角决定.当 00v90时，非零向量的数量积为正数.当0= 90时，非零向量的数量积为零.当 90v 0 180时，非零向量的数量积为负数.梳理 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为0,(1)a丄b?ab= 0.了a|b| ,a与b同向，(2) 当a/b时，ab=-LI

4、a|b| ,a与b反向.(3)a- a= |a|2或 |a| =：Jaa.abcos0=面药(5)|ab| 三|a|b|.题型探究-类型一求两向量的数量积例 1 已知|a| = 4, |b| = 5,当a/b；a丄b； (3)a与b的夹角为 30时，分别求a与b的数量积.解(1)a/b,若a与b同向，贝U 0= 0,ab=|a|b|cos 0 =4x5=20；若a与b反向，则0= 180, ab=|a|b|cos 180 =4x5x(1)=20.当a丄b时，0= 90,.ab= |a|b|cos 90 = 0.3当a与b的夹角为 30时，ab= |a|b|cos 30 24反思与感悟 求平面向

5、量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角0,0分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即ab= |a|b|cos0，要特别注意书写时 实心圆点“”连接，而不能用“x”连接，也不能省去跟踪训练 1 已知菱形ABC啲边长为a,/ABC=60U Eb&等于( BD- 6D= (BC+ CD- 6D=BC-詁CD232=a-a -cos 60 +a= 5a.类型二求向量的模 例 2 已知|a| = |b| = 5,向量a与b的夹角为解ab=|a|b|cos0=5x5x2=25 |a+b| = 7(a+b2=寸|a|2+2ab+1b|2|a-b| = (a-b2|a|2-2ab+1b|225-2X

6、25+25=5.引申探究若本例中条件不变，求|2a+b| , |a-2b|.=4X5X4 =10.3.C.3a24D.|a2答案 D解析如图所示，由题意，得BC=a,CD= a,/BCD=120 .,180 ;a与b之间用)nt-3，求 |a+b| , |a-b|.A5解a-b=|a|b|cos0=5X5X-=岑, |2a+b| =7(2a+bj=4|a|2+ 4a-b+ |b|2|a 2b| =a 2b2=|a|2 4a-b+ 4|b|2254X25+4X25=5.跟踪训练 2 已知|a| = |b| = 5,且|3a 2b| = 5,222解 |3a 2b| = 9|a| 12a-b+ 4

7、|b|=9X25-12ab+4X25=32512ab,/ |3a 2b| = 5 , 325 12ab= 25,ab= 25.2 2-13a+b|=(3a+b)2 2=9a+6a-b+b=9X25+6X25+25=400,故 |3a+b| = 20.类型三求向量的夹角解n| = |m| = 1 且m与n夹角是 60,1 1m-n=|m|n|cos 60 =1X1X =-.| a|=|2 n|= p(2m+ n j=寸 4X1+1+4rrrn14X1+1+4X2=7,|b|=|2n3m=. 2n3m2=4X1+9X112m-n4X1+9X112X A7,2 2a-b= (2n+n) (2n 3m

8、) = m-n 6m+ 2n=26X1+2X1= 2.设a与b的夹角为0,则 cos0 =|bT=-= 1Ia|b| 寸 7X72X25+4X25+25=5“例 3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60, 求向量a= 2nun与b= 2n- 3m的夹角.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2= |a|2,即|a| =a2,勿忘记开方.求|3a+b|的值.a-b262n2nn ,0= -y,故 a 与 b 的夹角为-3-.反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意 向量夹角的范围是0，n.3已知ab=- 9,a在b方向上的投影为一 3,b在a方向上的

9、投影为一-,求a与b的夹角0.又 0w 0 w180,.0= 1201. 已知|a| = 8, |b| = 4, = 120,则向量b在a方向上的投影为()A.4 B. 4 C.2 D. 2答案 D解析 向量b在a方向上的投影为|b|cos=4xcos 120 =2.2. 设向量a,b满足|a+b| =10, |ab| = 6，则a-b等于()A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 解析a+b| = (a+b) =a+ 2a-b+b= 10,|ab|= (ab)=a 2a-b+b= 6,由一得 4ab= 4,a-b= 1.3. 若a丄b,c与a及与b的夹角均为 60, |a| = 1,|b|

10、= 2,|c| = 3，则(a+ 2bc)=_ .答案 11 跟踪训练 3Ia|cos|b|cos=-3,3-，a-b页一3,a-b3百一2,=3,3=2,Ja| = 6,|b| = 3.二 cos0a-b9 Ia|b|6x3当堂训练7解析(a+ 2bc) =a+ 4b+c+ 4a-b 2a-c 4b-c= 1 + 4X2+ 3 + 4xo2X1X3Xcos 60 4X2X3Xcos6011.84.在厶ABC中, |AB| = 13, |BC= 5, |CA= 12,则KB-希勺值是答案 -25解析易知 | 崩2=|BC2+ |6A2,C= 90.5cosB=又 cosABBo=cos(180

11、 -B), XB-BC= |AB|BCcos(180 -E)5.已知正三角形ABC勺边长为 1，求: (1)AB-AC(2) AB-SC;(3)E3C-AC解（1） ABWAO 的夹角为 60 ABWBC勺夹角为120, XE- d|AE| ECCOS120=1X1X-2 =-1/ BOWAC的夹角为 60,A AA A11BO- AO=|BO|AQcos 60 =1X1X=规律与方法1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正 0w 090时），也可以为负（当az0,bz0, 9000,即a24|a|b|cos00,又 |a| = 2|b| , =4|b|28|b|2cos

12、0 0,1cos0 w2，又I0W 0 W n ,点F,使得DE=2EF,则AF- BCC勺值为（）答案 B解析如图所示，XF=丽DFBC=XC-AB KF- BC=(2 画|AC- (AC- AB1K21KKIKB.i，nD.Q ,n7.已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D, E分别是边AB BC的中点，连接DE并延长到A8 B. 8C 4 D.11828.12=(AB：ABAO41AC111 I=产14X1X1X2+4=113故选 B.8.在四边形ABCDLAB= DC且XC-D= 0, 则四边形ABC是 ()A.矩形C.直角梯形答案 B二、填空题9._ 设ei,e2是两个单位向量，

13、它们的夹角为 60,则(28 ej ( 38 + 2e =_ 答案一 I10. 若|a| = 1, |b| = 2,c=a+b,且ca,则向量a与b的夹角为_ .答案 120111. 已知单位向量e1与e2的夹角为a,且 cosa= 3，若向量a= 3e1 2e2与b= 3&e2的夹3角为3，贝Ucos3 =_.答案竽解析 /)a|= p(3e1-2e2(=I + 4 12x1x1x g=3,|b|=讣：3&e22=9+16x1x1x3= 2l2,22 a-b=(3e12e2)-(3e1e2)=9e19&-e2+21=99x1x1x3+2=8,cos3 =212.已知向

14、量a在向量b方向上的投影是 3, Ib| = 3,则a-b的值为答案 2解析a-b= |a|b|cosa,b= |b|a|cosa,b2=3X3=2.13.已知点A,B,C满足 |AB= 3, |BC= 4, |A= 5,则XB-BC+BC-CA+CA- AB勺值是答案 -25 解析CA2= |AB2+ |BC2,B.菱形D.等腰梯形14./B=90,ABBC=0.43/ COSC=7,cosA=二，55.BC-CA=|BC|CAcos (180 -C)4=4X5X()= -16.5CA- XB=|CA|ABcos(180 -A3=5X3X(-)= -9.5 XB- BC+ BC-CACA-XB=-25.三、 解答题14. 已知|a| = 4, |b| = 8,a与b的夹角是 60,计算：(1)(2a+b) - (2a-b) ; (2)|4a-2b|.2 2解(1)(2a+b) - (2a-b) = (2a) -b2 2 2 2=4|a|-|b|=4X4 -8=0.2 2/14a-2b| = (4a-2b)2 2=16a- 16a-b+ 4b=16X4-16X4X8Xcos 60 +4X82=256. |4a- 2b| = 16.四、 探究与拓展15. 在厶ABC中，已知 |XB= 5, |BC| = 4, |AC= 3，求：(1)XB-