知识讲解-圆的方程-提高

1、圆的方程【学习目标】1掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运 用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2. 学握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用 待定系数法，由已知条件导出圆的方程.【要点梳理】要点一：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2t其中(d,方)为圆心,r为半径.要点诠释：(1) 如果圆心在坐标原点，这时6z = 0, b = 0f圆的方程就是x2 + / =r2.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b二0；圆与y轴相切时：山|=

2、厂；圆与x轴相切吋：厂；与坐标轴相切吋: | a |=| b= r ；过原点：a2 +b2 = r2(2) 圆的标准方程u-)2+(y-/?)2 =r2 «圆心为仏b),半径为厂，它显现了圆的几何特点.(3) 标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、 b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(兀a)2+(y b)2 =尸，圆心为c(a, b),半径为八 则有若点m (%)在圆上o|cm =r o (x0 -a)+(y0 -/?)2=r2(2)若点m (x0,%)在圆外o

3、|cm |>厂 o (%0 - a)2+(y()>r若点m (x0,%)在圆内 o|cm |v厂 o (x0 -6z)2+(北-b)2<r2要点三：圆的一般方程为圆心,当£)2 + © _4f>0时，方程x2 + b + dx+ ey+f = 0叫做圆的一般方程.-jd2 + e2-4f 为半径.2要点诠释：由方程 += 0 得(d、2x + +y + 2丿< 2丿2d? +e? -4尸4nrn p当d4"0时，方程只有实数解一亍亍它表示-个点(-亍巧).(2)当z)2 + e2-4f< 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图

4、形.当d2 + e2-4f > 0时，可以看111方程表示以d2f 1 i一为圆心,-y/d2 + e2-4f为半径的圆.2丿2要点四：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点x2 + y2 = r2 (厂ho)x2 + y2 -r2 =0(厂工0)过原点(x-a)2 +(y- b)2 =a2 +h2x2 + y2 + dx- ey = 0圆心在x轴上(x-a)2 + y2 = x (心 0)x2 + dx 4- f = 0圆心在y轴上x2 +(y b)2 =r2(r0)x2 + 于 + £> + f = 0圆心在x轴上且过原点(x-a)2 + y2

5、=/(qho)兀2 + 尸 += 0圆心在y轴上且过原点x2+(y-z?)2 =z?2(z?0)x2 + b += 0与x轴相切(x 一 a)2 + (y b)2 = b2x2 + y + d+ey+f = o(d2-4f = 0)与y轴相切(x-a)2 +(y-b)2 =a2x2 + 才 + dy+ ey + f = 0 (e2 _4f = 0)要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1) 根据题意，选择标准方程或一般方程.(2) 根据己知条件，建立关于a、b、厂或zx e、f的方程组.(3) 解方程组，求出°、b

6、、广或d、e、f的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为 关于变量之间的方程.1. 当动点满足的儿何条件易于“坐标化”时，常釆用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的 定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相 关点法).2. 求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.3. 求轨迹方程的步骤：(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点m的坐标；(2) 列

7、出关于的方程；(3) 把方程化为最简形式；(4) 除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5) 作答.【典型例题】类型一：圆的标准方程例1.求满足下列条件的各圆的方程：(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 已知圆c经过a(5,1), b(l,3)两点,圆心在x轴上；(3) 经过点p(5,l),圆心在点c(&3).【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法, 求出圆心坐标和半径.【答案】(1) f+2=9(2) (x-2)2 + y2=10 (3)(兀一8尸+(y+ 3尸=25【解析】(1)兀2+丿2 =9(2) 线段ab的屮垂线方程为2x-

8、y-4 = 0,与无轴的交点(2,0)即为圆心c的坐标，所以半径为 |c5|=v10，所以圆c的方程为(x-2)2 + y2=10.解法一：圆的半径r =| cp |= /(5-8)2+(1 + 3)2 = 5 ,圆心在点c(8,3)圆的方程是(x - 8)- + (y + 3) = 25解法二：圆心在点c(8,-3),故设圆的方程为(兀一肝+(y + 3)2二/又点p(5,l)在圆上，(5-8)2+(1 + 3)2.厂2 =25所求圆的方程是(兀8)2 + (y + 3)2 = 25 【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、的方程组，求a> b. r或 直接求

9、出圆心(a, b)和半径门一般步骤为：(1) 根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2；(2) 根据己知条件，建立关于a、b、1的方程组；(3) 解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程屮去，就得到所求圆的方程.举一反三：【变式1】圆心是(4, 一1),且过点(5, 2)的圆的标准方程是()a. (x-4)2+(y+l)2=10 b. (x+4)2+(y-l)2=10c. (x-4)2+(y+l)2=100 d.(兀-4)2+(y + l)2 =価【答案】a例2.求圆心在直线2x-y3二0上，且过点(5, 2)和(3, -2)的圆的方程.【答案】(x2+(y

10、-1)2=10 加-方-3 = 0【解析】 解法一：设所求圆的圆心为(“，b),半径为r,由题意得“5-0)2+(2-仍2 =厂2 , (3-6z)2 + (-2-/?)2 = r2解方程组得沪2, b=l, r = vl()所求圆的方程为(x2)2+(y-l)2=10.解法二：因点(5, 2)和(3, -2)在圆上，故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，可求得垂直平分线的方程为x+2y4=0.又圆心在直线2xy 3=0上，故圆心为两直线的交点.f2x-y-3 = 0由彳求得两直线交点为(2, 1),x + 2y-4 = 0由两点i'可距离公式可求得半径为故所求圆的方程为(x-2)2+

11、(y-l)2=10.【总结升华】求圆的标准方程的关键是求圆的坐标和圆的半径，这就需要充分挖掘题目屮所给的儿何 条件，并充分利用平面儿何中的有关知识求解，如“若圆经过某两点，则圆心必在这两点连线的小垂线上” 等.举一反三：【高清课堂：圆的方程370891典型例题1】【变式1】(1)过点人(2,-3),b(-2,-5)且圆心在直线兀一2)，-3二0上；(2)与兀轴相切，圆心在直线3x-y = 0上，且被直线x-y = 0截得的弦长为27 .【答案】(1)(兀+ 1尸+0 + 2)2=10 (2)(兀_l)2 + (y_3)2=9或(兀+l)2+(y + 3)2=9【解析】(1)设圆的方程为：(x

12、a+(y 疔=宀 贝0(2-a)2+(-3-/?)2 = r2<(-2-f/)2+(-5-z?)2=r2,解得：a = _l,b = _2“2=0a-2b-3 = 0所求圆的方程为：(x+ir+(y + 2)2=10(2)设圆的方程为：(x-tz)2+(y-z?)2=r2,则a = 1解得：b = 3厂2 =9a = -l或 v b = -3厂2 =9r2=b2< 3a-b = 0（6z-z?）2 + 14 = 2r2所求圆的方程为：(x-1 )2 + (y-3)2 = 9 wc(x +1)2 4-(y + 3)2 = 9 .类型二：圆的一般方程例 3.已知直线 x2+y22(t+

13、3)x+2( 1 4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆.(1) 求t的取值范围；(2) 求这个圆的圆心和半径；(3) 求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程.【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件d2+e2-4f>0,解题时，应充分利用 这一隐含条件.(24、2(13y+y + 17)<49丿【答案】(l)*vl (2)(+3,4l) j+ "(3)平167【解析】(1)已知方程表示一个圆<=> d2+e2-4f>0,即40+3)2+4(14)24(16十+9)>0,整理得7t2- 6t 1 <0o <t<l 7

14、(2)圆的方程化为x-(t+3)2+y+(1 -4t2)j2= 1 +6t-7t2.它的圆心坐标为(t+3, 4r-l),半径为jl + 6/-7八.(3) 由 r = |vo2 + e2-4f = v-7r2+6/4-1 = j-7的最大值为字，此吋圆的标准方程为(24、2f 13 丫x+17)l 49丿167【总结升华】在本例中，当t在-丄,i中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列 i 7丿的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由x=t+3.1.得 y=4(x-3)2-1,再由 一一vy1,y = 4广 一 172020(20、知<x<4,因此它是一个圆

15、心在抛物线y = 4(x-3)2-l <x<4的圆系方程.7i 7丿举一反三:【高清课堂：圆的方程370891典型例题2】【变式1】(1)求过a(2,2),b(5,3),c(3，-1)的圆的方程，及圆心坐标和半径;(2)求经过点a(2,-4)且与直线x + 3y 26 = 0相切于点(8, 6)的圆的方程.【答案】(1)(兀一+(y l)2 =5 (4, 1) v5 (2) x2 + /-llx + 3y-30 = 0【解析】8 + 2d + 2e+f = 0d = -8(1)法一：设圆的方程为：x2 + y2 + dx + ej+f = 0,贝ij彳34 + 5d十3e+f =

16、0,解得：<e = -210 + 3d-e + f = 0所以所求圆的方程为：亍+才_8兀_2，+ 2 = 0,即(兀一4+(y 1)2=5,所以圆心为(4, 1),半径为厉.法二线段ab的中点为为(制,线段ab的中垂线为y-| = -37)x2丿,即3x-y-13 = 0同理得线段bc中垂线为兀+ 2y 6 = 0联立x+2y-6=03x+y-13 = o所以所求圆的方程为(4, 1),半径厂=j(4_2)?+(l_2)2 =逅 所以(x-4)2+(y-l)2=5.(2)法一：设圆的方程为：f + b + qx + ey + f-o,则20 2d 4e+f = 08+7d = -ll&

17、lt; e = 3f = -30100 + 8d + 6e4-f = 0所以圆的方程为f + y2_ih + 3y 30 = 0.法二：过点b与直线兀+ 3y 26 = 0垂直的直线是3x-y-18 = 0,线段ab的小垂线为x+y 4 = 0,3x 18 0x+ y-4 = 0得：圆心坐标为i u 2；175,由两点间距离公式得半径厂2=222125所以圆的方程为#丿+|/+1【变式2】判断方程ax2+ay2-4(a-l)x+4y=0 (ao)是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长.【答案】表示圆，圆心他标,半径j如-2g + 2【变式3】方程x2 + y2 +ax + 2ay + 2a2

18、+a-l = 0表示圆，则a的収值范围是2 22a. a v 2 或 a > b. vavo c. 2vav0d. 2vav 3 33【答案】d(过q【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-l=0转化为x + -4-(j + tz)2 =一一a2-a + l ,所以若方程表示圆,、2丿43 ?则有。+ 1>0,3d+4d 4v0,-2<tz< 4 3例4. (1) aabc的三个顶点分别为a (-1, 5), b (-2, -2), c (5, 5),求其外接圆的方程； (2)圆c过点p (1, 2)和q (2, 3),且圆c在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆c

19、的方程.【思路点拨】在(1)中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数d、e、f即 可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆 的方程.在(2)中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直 观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件.【答案】(1) x2+y2-4x-2y-20=0 (2) (x+l)2+(y-1)2=5 gc(x+2)2+(y+2)2=25【解析】(1)解法一：设所求的圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=o,由题意有d = -4解得e = -2f = -20d + 5e+f

20、 + 26 = 0 2e+f + 8 = 05d + 5e+f + 50 = 0故所求的圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.解法二：由题意可求得ac的屮垂线的方程为x=2, bc的屮垂线方程为x+y 3=0.圆心是两屮垂线的交点(2, 1),半径厂二 j(2 + l)2+(l_5)2 二5,/.所求的圆的方程为(x2)2+(y 1 )2=25,即 x2+y24x2y20=0.(2)解法一：如右图所示，由于圆c在两坐标轴上的弦长相等，即|ad|=|eg|,所以它们的一半也相等，即|ab|=|gf|,又|ac|=|gc|, /.rtaabcrtagfc, a|bc|=|fc|. 设 c (

21、a, b),贝!l|a|=|b|.即 y=3x+4, b=3a+4.又圆c过点p (1, 2)和q (2, 3), 圆心在pq的垂直平分线上，由知尸土b,代入得r=_1或：=一2b = l b =-2y j(q-l)? +(b-2) vs 或 5.故所求的圆的方程为(x+l)2+(y-l)2=5 或(x+2)2+(y+2)2=25. 即 x2+y2+2x-2y-3=0 或 x2+y2+4x+4y-17=0. 解法二设所求的圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0.解得e = 3dsf = ll-7d圆c过点p (1, 2)和q (-2, 3),l2 + 22 + d + 2e4-f = 04

22、+ 9 2d + 3e + f = 0:.圆 c 的方程为 x2+y2+dx+(3d-8)y+ll -7d=0,将 y=0 代入得 x2+dx+l 1-7d=0.圆c在x轴上截得的弦长为|xj-x2|= jz)2-4(11-7d)将x=0代入得y2+(3d8)y+l 1 -7d=0,圆c在y轴上截得的弦长为| y y21二j(3d 8)24(11 70).由题意有 j。？ 一4(11 7d) = j(3d 8)2 -4(11 7d),即 d2-4(ll-7d)=(3d-8)2-4(ll-7d), 解得d=4或d=2.故所求的圆的方程为 x2+y2+4x+4y7=0 或 x2+y2+2x2y 3

23、=0.【总结升华】(1)本例(1)的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此, 当所有己知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待 定系数法来确定系数即可.(2) 本例(2)中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平而儿 何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算.(3) 一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标 之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方 程，此时要注意从儿

24、何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.举一反三：【变式1】如图，等边aabc的边长为2,求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长./类型三：点与圆的位置关系例 5.判断点 m (6, 9), n (3, 3), q (5, 3)与圆(x-5)2+(y-6)2=10 的位置关系.【答案】m在圆上n在圆外q在圆内【解析】圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10,分别将 m (6, 9), n (3, 3), q (5, 3)代入得(6-5)2+(9-6)2=10,m 在圆上;(3-5)2+(3-6)2=13>10,n 在圆外；(5-5)2+(3-6)2=9<

25、;10,q 在圆内.【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为o,半径为r,则点p在圆内o|pq|< r；点p在圆上« |pq|=r；点p在圆外<=>|po|>r.从数的角度来看，设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心为 a (a, b),半径为 r,则点 m (x(), y()在圆上 <=> (x0a)2+(yob)2=r2；点 m (x(), y0)在圆外 o (x0 a)2+(yob)2>r2；点 m (x0» yo)在圆内 o (x0a)2+(y0b)2<r2.举一反三:【变式1】已知两点

26、pi (3, 8)和p2(5, 4),求以线段p1p2为直径的圆的方程，并判断点m (5, 3)、 n (3, 4)、p (3, 5)是在此圆上、在圆内、还是在圆外？【答案】点m在此圆外，点n在此圆上，点p在此圆内类型四：轨迹问题例6.等腰aabc的底边一个端点b(l, -3),顶点a(0, 6),求另一个端点c的轨迹方程，并说明轨迹 的形状.【思路点拨】可以判断出c的轨迹以a为圆心，半径为|ab|的圆.利用直接法求出方程.【答案】兀2+(y-6)2 =82 除去点(_i,和点(1, -3)【解析】由题意得|ca| = |ab|,则点c到定点a的距离等于定长|ab 所以c的轨迹是圆.又 | ab |二 j(l-0)2+(_3-6)2 =辰,c的轨迹方程为兀? +()一6尸=82 除去点(-1, 15)和点(1, -3)l即c的轨迹形状是以点a(0, 6)为圆心，半径为辰的圆，其中去除点(-1, 15)和点(1, -3).【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法.用直接法求曲线方程的步骤如下：(1) 建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为m (x, y)；(2) 几何点集：写出满足题设的点m的集合p=m|p (m)；(3) 翻译列式：将几何条件p (m)用坐标x、y表示，写岀方程