知识讲解-不等关系-基础

1、不等关系与不等式【学习目标】1. 了解不等式（组）的实际背景，会用不等式表示不等关系；2. 了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系，学会比较两实数的大小的方法；3. 掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一：符号法则与两实数大小的比较l实数的符号：任意xer,则x>0 （x为正数）、x = 0x<0 （x为负数）三种情况有且只有一种成立.2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：%1 两个同号实数相加，和的符号不变符号 i吾言：a > 0,z? >0=>« + /?>0； a<0,b<0=>

2、a + b<0%1 两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a > 0,z? > 0 =>> 0 ； a < 0,z» <0=> ab>0%1 两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a > 0,z? <0=> ab<0%1 任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：xg /? => x2 >0 , x = 0<=>x2 =0 .3. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系要确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系即可：对任意两个实数d、 b:®a-b >

3、0 <=> w > z?； a-b <0 <> a < b ；a-b = 0<=>a = b.要点诠释：等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，它是不等 式这一章的理论的基础，是不等式性质的证明，也是解不等式的重要依据.要点二：不等关系在现实世界和日常生活屮，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.在数学意义上，不等关系 可以体现.常量与常量之间的不等关系例如：“神舟五号”的质量大于“东方红一号”的质量；变量与变量之间的不等关系.例如：身高不足工2加的儿童可免费乘坐公交车；函数与函数直接的不等关系.例如：当x>

4、d时，销售收入/"）大于销售成本g（x）；一组变量之间的不等关系例如：购置软件的费用60兀与购置磁盘的费用70），之和不超过500元.常见文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至少，不多于，不超过符号语言><2w要点诠释：(1) 不等关系反映在日常生活中的方方fflffl,在数学上，常常用不等式(组)表示不等关系；(2) 不等式a>b或方：表示严格的不等式；(3) 不等式ab读作“ a大于或等于b ”，其含义是a>b和。二方中至少有一个正确,等价于“ a 不小于“ ” 例如不等式322, 222都是

5、正确的.同理"awb ”表示a<b和a二方中至少有一个正确.要点三：不等式1 定义不等式：用不等号(>,<,w, h)表示不等关系的式子.2. 同向与异向不等式同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如a>b,c> d与a<b,c<d都是同向不等式; 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式，例如a>b,c<d是同向不等式.3. 不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 刘-称性：a>b <=> b <a ；(2) 传递性：a>b, b> c => a>

6、; c ；(3) 加法法则(同向不等式可加性)：ci>b<=>a + c>b+c(cer)；*c>0=> ac> be,(4) 乘法法则：若 a > b ,贝lj - c = ()=>ac = be,c <0> ac < be.c a bc>0=> >9(5) 除法法则：若a>b.且c = 0,贝ic cc a bc<0=> <-.c c运算性质有：(1) 可加法则：a > b,c > d => ci + c > b + d ；(2) 可乘法则：a >

7、 b>o,c> d >0> a-c> bd >0 ；(3) 可乘方性：t7>z7>0(nen+)=>>>0；要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点四：比较两代数式大小的方法作差法：1.任意两个代数式0、b ,可以作差a-b后比较a-b与0的关系，进一步比较d与方的大小.®a-b>o<=>a>h ； a-h <0 <=> a <b ；®a-b = o<=>a = b.作商法：任意两个值为正的代数式g、b,可以作商g 一方后比较邑与1的关系，

8、进一步比较d与方的大小. b®><=>a>bxb®<1<=> a <b；b（§） = 1 o a = b.b要点诠释：若代数式b都为负数，也可以用作商法.中间量法：若两个代数式d、b不容易直接判断大小，可引入第三个量c分别与g、b作比较，若满足a>b且 b>c.则“>c.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择 0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，

9、常釆用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共180m2,拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面 积为18m2,可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间而积为15m2,可住游客3人，每 名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹 款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式

10、或不等式列出来(代数化)，把目标用代数式表示，再研究条件 和目标的关系.【解析】假设装修大、小客房分别为x间，y间，根据题意，应由下列不等关系：(1) 总费用不超过8000元(2) 总面积不超过180加彳；(3) 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：10(x).r4-60()y<8()0018x + 15ys18() x>0 (xgn") y>0 (ywn、5x + 3)v 4()6x + 5 v < 60 即丿-.x>0 (xw n )y>0 (ywn“)此即为所求满足题意的不等式组【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把

11、模型中的量具体化，就可以得到相 应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题吋，要注意变量的 取值范围.举一反三：【变式】某种杂志原以每本2. 5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元, 销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不 低于20万元呢？【答案】设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为(8-爲尹x0.2)兀万元，那么不等关系“销售 的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式：(8_£zl.x0.2)x>200类型二：不等式性质的应用例2.对于实数°, b,

12、c判断以下说法的对错.(1)若a> b ,贝 1ac < be(2)若ac2 > be2 ,则 a>b(3)若a<b<0,则/> ab>h2 x(4)若a<b<0,则匕>1恥(5)若a > b , 丄>1,贝ij a > 0, bvoab【思路点拨】本类题一般利用不等式的性质判断或者采用作差法判断，还可以利用特殊值法找反 例否定.【解析】(1)错误因为c的符号不定，所以无法判定a和尤的大小.(2 )正确因为cic > be2 ,所以cho,从而c2 >0,所以a>b . (3 )正确因为&qu

13、ot;丫,所以/>",a<0又d所以a",b<0综上，a2 > ab > b2.(4 )正确两个负实数，绝对值大的反而小.a-b>0所以11,> 0b b(5 )正确从而ab <0.b-a <0所以7? - a>c ab又因 a>b,所以 g>0, /? < 0 .举一反三：【高清课堂：不等关系与不等式387156题型二不等式的性质】【变式1】若ax)>b> a, cvdvo,则下列命题中能成立的个数是()(1) ad>bc ；(2) + < 0 ;(3) ac>hd

14、 ；(4) adc)>h(dc)d ca. 1b. 2c.3 d. 4【答案】c【变式2】若a<b<0,则下列结论正确的是().a. 丄丄，丄丄均不成立 a b |6b. >1,丄丄均不成立a-b a | a bc. 一 > 丄,(t7 + -)2 >(b +丄)2 均不成立a-b abad. 丄丄,(d +丄)2 > +丄)2均不成立a bba【答案】b；【解析】特殊值法：a<b<:.取a = -2, b = -l,分别代入四个选项，即得选项b.例3.船在流水中航行，在甲地与乙地间來回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为 什么

15、？【解析】设甲地与乙地的距离为s ,船在静水屮的速度为水流速度为其屮m > v > 0 .则船在流水屮在甲地和乙地间来冋行驶一次的时间t=丄+l=上与u + v u-v ft 一旷平均速度u=.t uu1 - v2u =么。u因此，船在流水中來回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中 的速度.【总结升华】恰当的设出变量，利用了作差法比较大小，注意符号的判断方法.举一反三：【变式】甲乙两车从a地沿同一路线到达b地，甲车一半时间的速度为另一半时间的速度为b； 乙车用速度为d行走一半路程，用速度d行走另一半路程，若ab，试判断哪辆车先到达b地.【答案】甲车先到

16、达b地；s ssi一 + =(_ -h2a 2b2 as<1 . n2s2w b)a+b2ab2s25【解析】设从4到b的路程为s,甲车用的时间为i乙车用的时间为o则餌餌s,42ab(a+b) < °，2ab(a+b)(a+b)s 4abs(a+b)2s (ab)2s. tx<t2.所以，甲车先到达b地.类型三：作差比较大小【高清课堂：不等关系与不等式387156题型一比较大小】例4.已知°, b, c是实数，试比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合 并同类项之

17、后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据 实数运算的符号法则來得出两个代数式的大小.比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问 题.【解析】曲+卄八仙+加+呦冷（心）2+_c）2（c_a）2“当且仅当a=b=c时取等号.；a2+b2+c2 2 ab- bc+ ca .【总结升华】用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是斤个因式z积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；第三步：得出结论.举一反三：【变式1在以下各题的横线处适当的不等号：（巧 +逅）2 6 + 26；

18、(4) 当 a >/?>()时，log, a log f h.2 2【答案】(1)v;(2) < ；(3) <；(4) <【变式2】比较下列两代数式的大小：(1) (x + 5)cx + 9)与(x + 7)2； (2) 2/+2 戾一2 肋与 2a + 2z? 3.【答案】(1) (x + 5)(x + 9)v (尢+ 7尸(2) (2a2 + 2/?2 -2ab)-(2a + 2b-3)=(亍一267 + 1) + (/-25+1) + (/一2如巧 + 1 = (a-l)2+(b-l)2+(tz-z?)2+l>l>o, 2/ + 2b，- 2ab

19、 > 2a + 2b - 3 .例5.已知(abwo)，试比较丄和丄的大小.a b【解析】丄-丄=,a b ab*.* a > b 即 b-a <0 ,当 ab > 0时-<0 , 丄<丄；aba b当ab <0时- >0 , 丄丄.aba b【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必耍时需要分类讨论举一反三：2 r 2【变式】已知g>0,b>0且比较 +伫与q + b的大小.b a【答案】(+)-(a + z>)b a61 +" _(d + b) abcr - 2ab +=(a + b)()ab(d + b)(d-疔、nab=> u 1> a + b.b a类型四：作商比较大小例6已知：a. /?gr 且qhb,比较£7/与/b"的大小.【思路点拨】本题是两指数式比较大小，