2018版高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数课时跟踪检测72理新人教A版

1、 课时跟踪检测(七十二) 高考基础题型得分练 1. 用数学归纳法证明“2 n2n+ 1 对于nno的正整数n都成立”时，第一步证明中的起 始值no应取( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案：B 解析：当 n= 1 时，21 = 2,2 X 1+ 1 = 3,2n2n+ 1 不成立； 当 n = 2 时，22= 4,2 X 2+ 1 = 5,2 n 2n+ 1 不成立； 当 n = 3 时，23= 8,2 X 3+ 1 = 7,2 n2n+ 1 成立， n的第一个取值 no= 3. 1 1 1 1 nt 2. 已知 f(n) = + + +，则( ) n n+1 n+2 n 1 1

2、 A. f (n)中共有 n 项，当 n= 2 时，f(2) = + 1 1 1 B. f (n)中共有 n+ 1 项，当 n= 2 时，f(2) = + 3+ 4 2 1 1 C. f (n)中共有 nn 项，当 n= 2 时，f(2) = q+- 2 1 1 1 D. f (n)中共有 n n+ 1 项，当 n= 2 时，f(2) = - + 3+ 4 答案：D 2 1 1 1 解析：由f (n)可知，共有nn+ 1 项，且n = 2 时，f(2) = + 3 + -. 3某个命题与正整数有关，如果当 n= k(k N)时该命题成立，那么可以推出 n= k + 1 时该命题也成立现已知 n

3、 = 5 时该命题成立，那么( ) A. n = 4 时该命题成立 B. n = 4 时该命题不成立 C. n5, n N 时该命题都成立 D. 可能 n取某个大于 5 的整数时该命题不成立 答案：C 解析：显然 A, B 错误，由数学归纳法原理知 C 正确. 1 1 1 127 * 4.用数学归纳法证明不等式 1 + +4+ 2一 1_64( n N)成立，其初始值至少应取 2 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 答案： B 1 1 1 1 1 2 1 解析： 左边一 1+ 2 + 4 + 2“-1 = 1 = 2 2“-1，代入验证可知 n的取小值疋 8. 1 2 5用数学归纳法证明

4、“ n3+ (n+ 1)3+ (n+ 2)3( n N)能被 9 整除”，利用归纳假设证明 n= k + 1 时，只需展开( ) A. (k+ 3) 3 D. (k+ 1) + (k+ 2) 答案：A 解析：假设n= k时，原式k3+ (k+ 1)3+ (k + 2)3能被 9 整除，当n= k+1 时，(k +1)3 3 3 3 3 + (k + 2) + (k+ 3)为了能用上面的归纳假设，只需将 (k + 3)展开，让其出现 k. 6. 对于不等式pn2+ nn+1(n N)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1) 当n= 1 时，12+ 11+ 1，不等式成立. (2) 假设当 n

5、= k(k N)时，不等式 k2+ kk+ 1 成立，当 n= k+ 1 时， 2+ k +1 = k2+ 3k + 2 1)，第一步要证的不等式是 答案： 1 1 1+2+3v2 解析： n 1 且 n N, 当 n= 2 时，1 + 2+ 3 2（门 1， n N）的过程中，用 n= k + 1 时左边的代数式减去 4 1 1 1 1 + + + + - k+ 2 k+ 3 k + k 2k + 1 2k + 2 n=k时左边的代数式的结果为 答案: 1_ 2k+ 1 1 2k+ 2 5 解析：当n= k时，左边=k-L- + 丄 + 占， k+ 1 k + 2 k + k 11.用数学归

6、纳法证明 4 2 2 n + n 1 + 2+ 3+ n= 2 ，则当n = k+ 1 时左端应在 n= k的基础 上加上的项为 _ (k2+ 1) + (k2+ 2) + (k+ 1)当n = k+ 1 时，左边= 一，得 1 1 2k + 1+ 2k + 2 1 2k + 2. 答案: 6 2 解析：当 n= k 时，左端为 1 + 2+ 3+-+ k+ (k+ 1) + (k + 2) + k , 则当 n= k+ 1 时，左端为 1 + 2 + 3+-+ k2+ (k2+ 1) + (k2+ 2) + ( k+ 1)2, 故增加的项为(k2 +1) + (k2+ 2) + (k + 1

7、)2. 冲刺名校能力提升练 1 - an+2 1. 用数学归纳法证明：1 + a+ a2+ an+1= (a* 1, 1 - a 等式左边是( ) B. 1 + a 2 D. 1 + a+ a + 答案：C 解析：由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当 n= 1 时，等式的左边应为 1 + a+ a2,故 选 C. 2 2. 2017 天津模拟设f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当f(k) k 成立时，总可推出f(k+1) ( k + 1)2成立”.那么，下列命题总成立的是 ( ) A. 若f(1)1 成立，则f(10)100 成立 B. 若f(2)1成立 C. 若f (3)

8、 9成立，则当k1时，均有f (k) k2成立 D. 若f(4) 16 成立，则当k4时，均有f (k) k2成立 答案：D 解析：选项 A, B 的答案与题设中不等号方向不同，故 A B 错；选项 C 中，应该是k3 时，均有f(k) k2成立；对于选项 D,满足题设原理，该命题成立. 1 1 1 13 3. 用数学归纳法证明不等式 e + e + n57 的过程中，由n= k推导n= k + 1 n + 1 n + 2 n + n24 时，不等式的左边增加的式子是 _ . 答案：2k+l 1卵+ 1 1 1 1 解析：不等式的左边增加的式子是 冇+科-百二 乐可，故填 1 2k+2k. 4

9、. 设数列an的前n项和为$,且方程x2-anx an= 0 有一根为 S 1( n N*). (1) 求 a1, a2; n N)，在验证n= 1 时, A. 1 C. 1 + a + a 7 (2) 猜想数列S的通项公式，并给出证明. 解：(1)当 n= 1 时，方程 x2 ax a1= 0 有一根为 S 1 =曰1,二(a 1)2 a(a1 1) a1= 0，解得 a1 =8 2 1 当 n = 2 时，方程 x a2x a2= 0 有一根为 S2- 1= a+ 比一 1 = a2, a2 2 2 a2 a2a2= 0，解得 比= 、, 2 (2)由题意知(sn 1) an( Sn 1)

10、 an = 0, 当n2时，an= sn S 1，代入上式整理得 SS1 2$+ 1 = 0,解得 1 1 1 2 由(1)得 S = a1 = , S2 = a1 + a2=空+g = 3， 猜想 S=丄;(n N). n+ 1 下面用数学归纳法证明这个结论： 当n= 1 时，结论成立. k 假设n= k(k N , k 1)时结论成立，即 $= - K十 1 由知沪話对任意的正整数n都成立. ”丄 1 1 1 1 3 1 * 5. 已知 f( n) = 1 + 2+ g+ 尸+ F，g( n) = 2 石，门 N. (1)当n= 1,2,3 时，试比较f ( n)与g( n)的大小； 猜想f ( n)与g( n)的大小关系，并给出证明. 解：(1)当 n= 1 时，f (1) = 1, g(1) = 1, 所以 f(1) = g(1)； t 9 11 当 n = 2 时，f(2) = 8，g(2)=-， 所以 f(2) g(2); r z 251 312 当 n=3 时，f =216，g(3) = 216， 所以 f(3)3， k N)时不等式成立，即 1 1 1 1 3 1 1 + 尹尹 F+ K32 2k2当n = k+ 1 时, 1 2S 2 KTI k+ 1 即当 n= k+