第11课时课题-基本不等式及应用

1、课题基本不等式及其应用【应知应会】(1) 要求学生掌握2个基本不等式，算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式” 及其推导过程。(2) 运用“平均不等式”解决实际问题。【教学内容】(一) 复习回顾1. 分式不等式的解法。2. 一元二次不等式的解法。3. 绝对值不等式的解法。(二) 引入1. 给一根长度给定的铁丝，围成的各种封闭图形中，何时面积最大？2. 如果长度为16,围成的的矩形中，何吋面积最大？二、知识点归纳讲析(一)基本不等式基本不等式1对任意实数a和b,有a2+b2>2ab,当且仅当a = b时等号成立。证明：a2 +/?2 -2ab=(a-h)2当 a = b 吋,(a

2、 b)2=0° c,>2ab当 a h b 时,(a-b广 > oj基本不等式2对任意正数d和b,有纭,当且仅当a = b时等号成立。2证明：v +(fb)2 > 2ab.9. a + b. 2cib即凹2亦当且仅当a = b时，凹=芯2 2综上，对任意正数d和b,有2注我们称纟必为正数q和方的算术平均数，称j亦为正数d和方的儿何平均数，因而,2此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 a2+b2>2ab和往2、临成立的条件是不同的：前者只要求a和b都是实数，2 而后者要求q和都是正数。 “当且仅当”的含义是充要条件。 均值定理的几何意义

3、是“半径不小于半弦以长为a + b的线段为直径作圆，在直径 ab ±取点c,使ac = 67, cb = b,过点c作垂直于直径ab的眩dd ,那么cd? =cacb ,即 =亦这个圆的半径为字，显然，它不小于cd,即字，皿，其中当且仅当点c与圆 心重合，即d = b时，等号成立。（二）例题 例1、己知矩形周长为16,求何时可取得矩形面枳的最大值，最大值为多少?注1.周长相等的矩形，其面积在正方形时面积最大；（r 22. ab< 叱 当两个正数的和为定值时，那么这两个数相等时他们的枳最大；当两个 i 2丿正数的积为定值时，那么这两个数相等时他们的和最小。3、此例题反映的是利用均

4、值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必 须都是止数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;（3）等号成立条件必须存在即 '一正二定三相等h aab#),就有 一 + 2；a b例2、已知：ab>0,求证：- + y>2,并指出等号成立的条件。 a b注己知:ab<0,可得:is-2 ； a b对任意的不为零的实数x,都有x + -e（-a）,-2u2,+a）o x例3、求证：对任意实数a,b,c,有/2 cb + bc+dc,当且仅当a-b-c时等号成立。例4、若心,且 求迟处？并指岀等号成立的条件。例5、若a,bwr+,且ab = s（s

5、>o,s为定值），求证：a + b>2ys ,并指出等号成立的条件。例6、某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地i川周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米°怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积小？绿地三、强化练习1. aer2a + ->2y/2，当且仅当时取等号.a2. (1) a2 +b2 >2ab成立的条件是 ；(2) a + b>14ab成立的条件是l(3) + £>2成立的条件是 ;(4) 67 + 1>2成立的条件是oa ba3. 设x>y>0,则下列各式中

6、正确的是()a.x> x；)> yxy > yb.y> > lxy > x小x+ y x+ v' ic.x> > y> yjxyd.y> a y/xy > x4. 下列不等式的证明过程正确的是()a.若 a.b g /?,则2 +纟注收上=2 b.若 x.yer,则a b a bc.若则兀+n_2 匚三=-4 d.若 xg/?-,则 2" + j 2 2竝 2-x = 2x v x5. 设实数a"满足0 vav人且a + b = 则下列四数中最大的是d. 1/2a . a2 +b2b- labc. a

7、6. 在下列结论屮，错用重要不等式作依据的是a. s，zw/r,则土 + 土+廿理6 兀y77t'2d «e/?(l + «)d + 丄 “4a7. 己知x.y e ,2x + y = 2,c = xy.那么c的最大值为b 1/2c. v2/2d. 1/48. 若<2 > 0,/? > 0,c> 0,求证:j/ +/异 + j/异 +c? + y/c2 +a2 > 逅(a + z? + c)。四、拓展迁移1. 若a,be r*,那么乔+、与ja + b的大小关系是1t2. 已知g 7?+,hx = 2，则2x + y的最小值是3. 设a

8、,bwr-,则在(1)*+£>2 ;(2) 1 , 12 (3)a2-b2 >2ab；ci ba b a + b这四个不等式中，不正确的有a. 0个b. 1个 c. 2个d. 3个4. 设 ci,b,cwr±,且 d + b + c = l,若 m =(丄 _1)(丄 _1)(丄 _1),则必有()a b ca. 0<m <- b. -<m <1 c. 1 < m <8 d. m >88 85. 设 a,b,c,d,m,n 都是止数,p = jma+ nc、匕 + 色贝u()v m na. p<q b. p>

9、q c. p<q d. p与q的大小关系与加丿有关，不能确定。6. 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时 间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若则甲、 乙两人到达指定地点的情况是()a.甲先到b.乙先到c.甲乙同时到 d.不能确定7. 已知x, y, z, w>0, 求证：（上+兰）（兰+三）4。 x z y w8. 己知x, yw /t,且頁+亦=kx + y恒成立，求k的最大值。9. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为2（/ < 1）,画面的上下各留8cm空白，左、右各留5

10、cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸 张面积最小？五、课堂小结1. 基本不等式，及其不同的前提条件2. 平均不等式的内涵：当两个正数的和为定值时，那么这两个数相等时他们的积最人 当两个正数的积为定值时，那么这两个数相等时他们的和最小3. 灵活运用，变形运用第二章知识总结一、基础知识梳理（一）基本内容1. 应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：（1）对称性：a> b o b <a(2)传递性：a > b,b > cn ci> c(3)加法法则:a> ha + c> h + c；a > b，c> du> a +

11、ob + d(4)乘法法则：ci> b、c>od ac> be；a> b.c <0> ac<bca> b>o,c> d >0=>aobd倒数法则：a > b. ab > 0 =>丄v丄a b(6) 乘方法则：a>b>q>an >(hg 7v*_&n>l)(7) 开方法则：a> b>o>a > /b(n e mn > 1)2. 应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法3. 应用不等式性质证明4. 一元二次不等式及其解法一元二次不等式qx2

12、+/?兀+(?>0或7” +z?x+c<o(qho)的解集：设相应的一元二次方程a”+z?x+c = o(dho)的两根为坷、无2且旺5花，a = /?2 -4acf则不等式的解的各种情况如下表:a>0a = 0a<0二次函数y = ax2 +/zr+c(a0)的图象2y - ax +bx+cy = ax2 +z?x+c v，y = ax1 +bx+c uo x1=x2x一元二次方程 ac +bx+c = o(d>()的根有两相界实根 兀,兀?(兀1 < 2)有两相等实根bxlx2 2a无实根ac + hx+ c > 0(a>0)的解集cx<

13、;x)c> xflbi2町rax1 +/?x+c<0(a>0)的解集xx < x <x2005.分式不等式和绝对值不等式的解法(1)分式不等式可以转化为整式不等式，同样接下来第一步把最高次项的系数化为正数,对于如> 0转化的方法有两种：-种是转化为不等式组/> °或严力< 00(x) > 0(px) < 0种是转化f(x)(p(x) > 0.对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如出 >0或0(劝凹 <0再按照上面的方法求解。0(兀)(2) 含有绝对值的不等式有不同解法，常见的有两种：一种是根据绝对值的意义

14、作分类讨 论；二是当不等式的两边都为非负时，两边平方，将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的 不等式(组)后再求解。6. 基本不等式后s凹2(1) 对任意实数q和b,有a2+b2 >2ab,当且仅当a = b时等号成立。(2) 对任意正数d和"，有 ->/ah,当且仅当a = b时等号成立。27. 基本不等式-几何意义是“半径不小于半弦”2(二)应注意的问题1. 应用不等式的性质时，要注意性质成立的条件。2. 解一元二次不等式，要和一元二次方程以及二次函数结合。3. 基本不等式凹'亦成立的条件是：“一正二定三相等”。2二、典型例题讲解题型一比较大小例 1、(1) (

15、 v3 + v2 ) 26 +2v6 ；(2) ( v3 v2 ) 2 ( v6 i)?；(3) v5 2 v6 y/5(4) (a + 3)(a + 5)(ci + 2)(a 4) (ci>0)；(5)(x2 +1)-v4 + x2 4-1 ( xo )题型二利用不等式的性质求取值范围 例 2、如果 30vxv42, 16<y<24,则兀+y的取值范围是, (2) x-2y的取值范围是x(3) 厂的取值范围是, (4)的取值范南是y例 3、已知函数 f(x) = ax2-c,满足-4</(!)<-!, -1</(2)<5,那么/(3)的取值范围是题型

16、三解一元二次不等式 例 4、解不等式：(1) 2x2+7x-4>0； (2) -x2+8.r-3>0例5、已知关于兀的方程伙一 1)/+伙+ 1)兀+ & + 1 = 0两个相异实根，求实数的取值范 围。题型四 利用基本不等式证明不等式例 6、求证(a2 + b1 )(c2 +d2)>(ac + bdf题型五利用基木不等式求最值2 q例7. (1)若x > 0, y>0,且一+ = 1,求xy的最小值9(2)求/(x) = 4x +(x>5)的最小值。x-5三.精选新题提升训练1.若 a<0，b>0,且a+bvo,则下列不等式中成立的是(

17、)a-b<a<b<-ab -b<a<-a<bc. a<-b<b<-ad a<-b<-a<b2.设>aqb>> o ，则正确的是()a. c> d >0b. c = d > 0c. 0 < c <dd不同于a、b. c3. 不等式|l+% + 1< 1的解集是（）a. x | -1 < x < 0b. x< x <0cx | < x < 0d . x | 2 < x < 044-在小心。的条件，下列三个结论：鴛<讐，字

18、b2影gfa- 0+ >ab,其屮正确的个数是b. 1c.d. 35.当，实数x,y满足,则x,y的大小关系是a. x> y6.下列命题小，真命题是a,b,cwr,lla>b,则 ac? >bc2b. x< yc.x< yd. x>ya.b-c.a>b,c>d>0,则a c若a >b > 0,则b与冲 的大小关系是a q + 1a.总>年b.么牢a a+1aa+8. 若a >b ><7,且。+： +c =0,则z? 4aca恒正b.恒负9. 不等式竺x id.(。,吐尺,且如0,则孚+乞22b aa,be r,且a >|z?|,则 a" >bn7.c.b_b + la d + 1c.非正< 1的解集为e兀壬塔则a值d.不能确定d.非负a a > 2b.10.若 a,b,x,yur,贝9a.c.充分不必要条件充要条件1a < 2 x+ y > a + b (x-tz)(y-/?) >0 y>bb.必要不充分条件 d非必要非充分