例题势阱学习教案

1、会计学1例题例题(lt)势阱势阱第一页，共17页。 利用利用(lyng)(lyng)边界边界条件：条件： 因为因为(yn (yn wi) wi) (0)0B所以所以(suy) (suy) sinAkx 因为因为 ( )sin0aAka所以所以 sin0ka kannka(1,2,3,)n 能量本征值能量本征值 22222222knEa 本征函数本征函数 2( )sinsinnnxAxxaaa归一化 本征解本征解 22222( )sin(0)(1,2,3,)2nnnxxxaaannEa第1页/共16页第二页，共17页。 2. 2.半壁无限高势阱半壁无限高势阱(sh jn)(sh jn)的位势为的

2、位势为 axaxxUxU000)(0求粒子能量在求粒子能量在 范围内的解。范围内的解。 00UE 解：解： axxExUdxdaxxExdxdxxExdxd)()(20)()(020)()(233022222222112220)(1x22222230322( )20( )0( )2 ()( )0dxExaxdxdxEUxaxdx第2页/共16页第三页，共17页。 令令 22Ek20)(2EU 则则 axaxk000323222123( )00( )sin()0( )xxxxxAkxxaxaxBeCe 下面由波函数的标准下面由波函数的标准(biozhn)(biozhn)条件定解。条件定解。 有限

3、性：有限性： 0BxCex)(3 连续性：连续性： )0()0(210sinA0kxAxsin)(2)()(32aa)()(32aaaCekaAsincosaAkkaC e tan/kak 第3页/共16页第四页，共17页。EUEaE022tan此即能量本征值满足此即能量本征值满足(mnz)(mnz)的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求解。求解。 讨论讨论(toln)(toln)： （1 1） 若若 ，则，则 0UnaE2, 3 , 2 , 1n22222 anEn这正是这正是(zhn sh)(zhn sh)一维无限深势阱的结一维无限深势阱的结果。

4、果。 （2 2）束缚态存在的条件）束缚态存在的条件 令令 kaa 则则 222022 U acot tan/kak 第4页/共16页第五页，共17页。它们的交点它们的交点(jiodin)(jiodin)就是束缚态能级满足的解。由图知，至少存就是束缚态能级满足的解。由图知，至少存在一个束缚态的条件为在一个束缚态的条件为 222022 U acot 220222a U82220aU20aU822 称为势阱强度。上式表明，当势阱强度小于称为势阱强度。上式表明，当势阱强度小于 时，不存在束时，不存在束缚态。缚态。 第5页/共16页第六页，共17页。 解：解： 阱内：阱内： 220E20k222 Ek

5、因为因为 ，所以，所以 具有确定宇称。具有确定宇称。 ()( )UxU x因此因此(ync) (ync) cossinkxkx偶宇称偶宇称(y (y chn)chn)奇宇称奇宇称(y (y chn)chn)由于该问题归一化很麻烦，通常不归一化，而把系数取为由于该问题归一化很麻烦，通常不归一化，而把系数取为1 1。 3. 3.有限深对称方势阱有限深对称方势阱 00/2/2xaUUxa讨论束缚态能级和波函数。讨论束缚态能级和波函数。 第6页/共16页第七页，共17页。 阱外：阱外： 022()0EU20 2022 ()UE12xxc ec e阱外右边阱外右边(yu (yu bian)bian)：

6、因为因为 ， ()0 x 所以所以(suy(suy) ) 10c xe阱 外 左 边阱 外 左 边(zu bian)(zu bian)： 因为因为 ， ()0 x 所以所以 20c xe 注意：若波函数是偶宇称，则取注意：若波函数是偶宇称，则取“+”+”；若波函数是奇宇称，则取；若波函数是奇宇称，则取“- -”。且阱内外波函数应连续，如图所示。且阱内外波函数应连续，如图所示。 第7页/共16页第八页，共17页。 （1 1）对偶）对偶(du u)(du u)宇称宇称 cos/2/2/2xxkxxacexacexa /2xa时，时， 、 连续，则连续，则 22cos2sin2aakacekakce

7、 tan2kak 引入：引入： 2ka2a则则 22222202tan()42U aak/2xa 时，时， 、 连续，结果相同。连续，结果相同。 利用利用 第8页/共16页第九页，共17页。 （ 2 2 ） 对 奇 宇 称） 对 奇 宇 称 ( y ( y chn) chn) sin/2/2/2xxkxxacexacexa /2xa时，时， 、 连续，则连续，则 22sin2cos2aakacekakce cot2kak 22202cot2U a 图中两曲线交点即为方程组的解。显然图中两曲线交点即为方程组的解。显然(xinrn)(xinrn)，粒子至少有一个束缚态能，粒子至少有一个束缚态能级。

8、级。 第9页/共16页第十页，共17页。tan2kak偶宇称偶宇称cot2kak 奇宇称奇宇称 上面上面(shng min)(shng min)两式可以合并成一个：两式可以合并成一个：222222tan(/2)2/2tan()1 tan (/2)1/kakkkakakk 讨论讨论(toln)(toln)： （1 1）当当0U 时，时， 则则 tan2kak的解为的解为 22kannka(1,3,5,)n 22222 anEn这正是一维无限深势阱这正是一维无限深势阱(sh jn)(sh jn)中粒子的能级公式。中粒子的能级公式。 第10页/共16页第十一页，共17页。 （2 2）计算粒子）计算粒

9、子(lz)(lz)在阱内外出现的概率在阱内外出现的概率 偶宇称偶宇称(y (y chn)chn)： 2cos2akace2cos2akace 阱外：阱外： 22222/212cos2xaackadxcedxe阱外 阱内：阱内： /2220sin2cos12aakadxkxdxka阱内 注意注意(zh y)(zh y)：波函数未归一化。：波函数未归一化。 22222221cos21sincos122kadxdxwkaakadxdxdxka阱外阱外外阱外阱内 因为因为 22021tan12UkakE 所以所以 20cos2kaEU因此因此 0011sin12EUwEakaUka外1ww 外内第11

10、页/共16页第十二页，共17页。 解：解： 022( )0EUx 4. 4.对处于对处于 势阱势阱 中的粒子，讨论其束缚态中的粒子，讨论其束缚态能级和波函数。能级和波函数。 00( ) (0)UUxU 因为因为(yn wi) (yn wi) 00( )0 xxx所以所以(suy) (suy) 为游离态，为游离态， 为束缚态。为束缚态。 0E 0E 因为因为 为偶函数，所以为偶函数，所以 具有确定的宇称。具有确定的宇称。 ( )U x( )x具有以下重要性质：具有以下重要性质： ( ) x 1( ) ( )( ) ( )(0)(0 )(0 )2f xx dxf xx dxfff ( )0 xx说

11、明说明 时，时， 比比 趋于趋于 的速度快。的速度快。 0 x 1x( )x 对薛定格方程两边作运算对薛定格方程两边作运算 ，并考虑到，并考虑到 dx( )()(0 )(0 )dx 第12页/共16页第十三页，共17页。0E dx（因为积分区间无限小）（因为积分区间无限小） ( ) ( )(0)xx dx所以所以(suy) (suy) 022(0 )(0 )(0)0U022(0 )(0 )(0)U 在在 点左右不连续，但变化量有限（因为点左右不连续，但变化量有限（因为 有限），而有限），而 在在 点两侧连续。点两侧连续。 0 x (0)0 x 令令 2 Ek则则 处，薛定格方程化为处，薛定格方

12、程化为 0 x 20k所以所以(suy) (suy) 12kxkxc ec e 对束缚态，对束缚态， 时，时， ，所以，所以 x 00( )0kxkxcexxcex第13页/共16页第十四页，共17页。 （1 1）偶宇称）偶宇称(y chn)(y chn)态，有态，有 0( )0kxkxcexxcex所以所以(suy(suy) ) (0 )ck (0 )ck(0)c因此因此(ync) (ync) 022 Uckckc 02Uk即即 220242UE2022UE 这是偶宇称态下唯一的束缚态能级。这是偶宇称态下唯一的束缚态能级。 利用归一化条件，得利用归一化条件，得 02222220/1kxkxd

13、xc edxc edxck0Uck第14页/共16页第十五页，共17页。所以所以(suy(suy) ) 2020/0/0(/ )0( )(/ )0U xU xUexxUex2022UE 势能势能(shnng)(shnng)和动能平均值和动能平均值分别为分别为 222220000( )( )(0)/2UUxxdxUU cUE 2TEUEEE （ 2 2 ） 对 奇 宇 称） 对 奇 宇 称 ( y ( y chn)chn)，有，有 0( )0kxkxcexxcex因此，不存在奇宇称态。因此，不存在奇宇称态。 因为波函数在因为波函数在 点连续，则点连续，则 ，即，即 ，所以，所以 0 x cc 0c