任意角的三角函数新人教必修学习教案

1、会计学1任意角的三角函数新人任意角的三角函数新人(xnrn)教必修教必修第一页，共51页。新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列(xli)高中数学必修(bxi)4第1页/共50页第二页，共51页。第2页/共50页第三页，共51页。第3页/共50页第四页，共51页。第4页/共50页第五页，共51页。1.2 1.2 任意任意(rny)(rny)角的三角函数角的三角函数 1.2.1 1.2.1 任意任意(rny)(rny)角的三角函数角的三角函数第一第一(dy)(dy)课时课时第5页/共50页第六页，共51页。问题问题(wnt)提出提出1.1.角的概念是由几个要素角的概念是由几个要素(yo s)(

2、yo s)构成的，具体怎样理解？构成的，具体怎样理解？ （1 1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成转到另一个位置所组成(z chn)(z chn)的图形的图形. .（2 2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角角. .（3 3）角的大小是任意的）角的大小是任意的. .第6页/共50页第七页，共51页。2.2.什么什么(shn me)(shn me)叫做叫做1 1弧度的角？度与弧度

3、是怎样换算的？弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1 1）等于）等于(dngy)(dngy)半径长的圆弧所对的圆心角叫做半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 1弧度的弧度的角角. . 3. 3. 与角与角终边相同的角的一般终边相同的角的一般(ybn)(ybn)表达式是什么？表达式是什么？2()kkZbap=+= =k360k360（kZkZ）或）或 2()kkZbap=+（2 2）180180 rad.rad.第7页/共50页第八页，共51页。4.4.如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABCABC中，中，sinsin，coscos，tantan分别叫做角分别叫做角的正弦、余弦的正弦、余弦(yxin)

4、(yxin)和正切，它们的值分别等于什么？和正切，它们的值分别等于什么？A AB BC C5.5.当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos，tantan的值进行的值进行(jnxng)(jnxng)推广，以适应任意角的需要推广，以适应任意角的需要. . si nB CA Ba=cosA CA Ba=tanB CA Ca=第8页/共50页第九页，共51页。知识探究知识探究(tnji)（一）：任意角的三角函数（一）：任意角的三角函数 思考思考1 1：为了研究方便，我们：为了研究方便，我们(w men)(w men)把锐角把锐角放到直角坐标系中，并使角放到直角坐标

5、系中，并使角的顶点与原点的顶点与原点O O重合重合, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合. .在角在角的终边上取一点的终边上取一点P P（a a，b b）, ,设点设点P P与原点的距离为与原点的距离为r r，那么，那么，sinsin，coscos，tantan的值分别如何表示？的值分别如何表示？第9页/共50页第十页，共51页。sinbrsinbrsinbrcosarcosartanbatanba思考思考2 2：对于确定：对于确定(qudng)(qudng)的角的角，上述三个比值是否随点，上述三个比值是否随点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？的终边上的位置

6、的改变而改变呢？为什么？ x xy yo oP(P(a，b b) )r rA AB B第10页/共50页第十一页，共51页。思考思考3 3：为了使：为了使sinsin，coscos的表示式更简单，你认为点的表示式更简单，你认为点P P的位置选在何处的位置选在何处(h ch)(h ch)最好？此时，最好？此时，sinsin，coscos分别等于什么？分别等于什么？x xy yo oP(P(a，b b) )sinbcosatanba1第11页/共50页第十二页，共51页。思考思考4 4：在直角坐标系中，以原点：在直角坐标系中，以原点O O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆为圆心，以单位长度为半

7、径的圆称为单位圆. .对于角对于角的终边上一点的终边上一点P P，要使，要使|OP|=1|OP|=1，点，点P P的位置如何的位置如何(rh)(rh)确定？确定？ 的终边的终边O Ox xy yP P第12页/共50页第十三页，共51页。思考思考5 5：设：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），为了不与当），为了不与当为锐角为锐角(rujio)(rujio)时的三角函数值发生矛盾，时的三角函数值发生矛盾，你认为你认为sinsin，coscos，tantan对应的值应分别如何定义？对应的值应分别如何定义？ 的终边的终边P(xP(x，y

8、)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx第13页/共50页第十四页，共51页。思考思考6 6：对于一个任意给定的角：对于一个任意给定的角，按照上述定义，按照上述定义(dngy)(dngy)，对应的，对应的sinsin，coscos，tantan的值是否存在？是否惟一？的值是否存在？是否惟一？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx第14页/共50页第十五页，共51页。正、余弦函数的定义域为正、余弦函数的定义域为R R，正切函数的定义域是正切函数的定义域是 |,2RkkZpaap喂+思考思考7 7：对应关系：对应关系 ， ， 都是以

9、角为自变量，以单位圆都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？三角函数的定义域分别是什么？sinycosxtan(0)yxx第15页/共50页第十六页，共51页。思考思考8 8：若点：若点P P（x x，y y）为角）为角终边上任意一点，那么终边上任意一点，那么sinsin，coscos，tantan对应的函数值分别对应的函数值分别(fnbi)(fnbi)等

10、于什么？等于什么？P(xP(x，y)y)O Ox xy y22sinyxy22cosxxytanyxtanyxtanyxtanyx第16页/共50页第十七页，共51页。知识探究（二）：三角函数符号知识探究（二）：三角函数符号(fho)与公式与公式 思考思考1 1：当角：当角在某个象限时，设其终边与单位圆交于点在某个象限时，设其终边与单位圆交于点P P（x x，y y），根据三角函数定义，），根据三角函数定义，sinsin，coscos，tantan的函数值符号是否确定？为什么？的函数值符号是否确定？为什么？sinycosxtan(0)yxx的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y第

11、17页/共50页第十八页，共51页。思考思考2 2：设：设是一个任意的象限是一个任意的象限(xingxin)(xingxin)角，那么当角，那么当在第一、二、三、四象限在第一、二、三、四象限(xingxin)(xingxin)时，时，sinsin的取值符号分别如何？的取值符号分别如何？coscos，tantan的取值符号分别如何？的取值符号分别如何？sinycosxtan(0)yxx第18页/共50页第十九页，共51页。sinsincos思考思考3 3：综上分析，各三角函数在各个象限：综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：的取值符号如下表： 三角函数三角函数 第一象限第一象限 第二象

12、限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限sincoscostan+ + + + + + +你有什么办法记住这些信息？你有什么办法记住这些信息？ 第19页/共50页第二十页，共51页。思考思考4 4：如果角：如果角与与的终边相同的终边相同(xin (xin tn)tn)，那么，那么sinsin与与sinsin有什么关系？有什么关系？coscos与与coscos有什么关系？有什么关系？tantan与与tantan有什么关有什么关系？系？思考思考5 5：上述结论：上述结论(jiln)(jiln)表明，终边相同的表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用角的同名三角函数值相等，如何

13、将这个性质用一组数学公式表达？一组数学公式表达？公式公式(gngsh)(gngsh)一：一： sin(2)sinkcos(2)coskkZtan(2)tankkZ（ )第20页/共50页第二十一页，共51页。思考思考6 6：若：若sin=sinsin=sin，则角，则角与与的终边一定的终边一定(ydng)(ydng)相同吗？相同吗？ 思考思考7 7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能(gngnng)(gngnng)作用？作用？2p2p2p可将求任意角的三角函数值，转化为求可将求任意角的三角函数值，转化为求0 0 （或（或0 0360360)

14、)范围内的三角函数值范围内的三角函数值. . 2p思考思考8 8：函数的对应形式：函数的对应形式(xngsh)(xngsh)有一对一和多对有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式一两种，三角函数是哪一种对应形式(xngsh)(xngsh)？ 第21页/共50页第二十二页，共51页。O Oxy y53理论理论(lln)迁迁移移例例1 1 求求 的正弦的正弦(zhngxin)(zhngxin)、余弦和正切值、余弦和正切值. .53例例2 2 已知角的终边过点已知角的终边过点P P（3 3，4 4），求角的正弦），求角的正弦(zhngxin)(zhngxin)、余弦和正切值、余弦和正切值. .

15、 O Ox xy yP P（3 3，4 4）13( ,)22P-第22页/共50页第二十三页，共51页。 例例3 3 求证：当且仅当不等式组求证：当且仅当不等式组 成立时，角成立时，角为第三象限角为第三象限角. . sin0tan0 例例4 4 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号. .（1 1） ; ;（2 2） ; ;（3 3） ; ;（4 4） ; ; （5 5） ; ;（6 6） . .cos250sin()4tan( 672 )tan39cos411tan()6第23页/共50页第二十四页，共51页。小结小结(xioji)作业作业1.1.三角函数都是以角为自变量，在弧度三

16、角函数都是以角为自变量，在弧度(hd)(hd)制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值. .2.2.三角函数的定义三角函数的定义(dngy)(dngy)是三角函数的理论基础，三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义(dngy)(dngy)域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的. . 第24页/共50页第二十五页，共51页。4.4.一个任意角的三角函数一个任意角的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)只与这个角的终边位置有关，与点只与这个角的终边位置有关，

17、与点P P（x x，y y）在终边上的位置无关）在终边上的位置无关. .公式一揭示了三角函数公式一揭示了三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现. .3.3.若已知角若已知角的一个三角函数符号，则角的一个三角函数符号，则角所在的象限所在的象限(xingxin)(xingxin)有两种可能；若已知角有两种可能；若已知角的两个三角函数符号，则角的两个三角函数符号，则角所在的象限所在的象限(xingxin)(xingxin)就惟一确定就惟一确定. .第25页/共50页第二十六页

18、，共51页。作业作业(zuy)(zuy)：P15 P15 练习：练习：1 1，2 2，5 5，7.7.3 3，4 4，6 6 做在书上做在书上第26页/共50页第二十七页，共51页。1.2 1.2 任意任意(rny)(rny)角的三角函数角的三角函数 1.2.1 1.2.1 任意任意(rny)(rny)角的三角函数角的三角函数第二第二(d r)(d r)课时课时第27页/共50页第二十八页，共51页。问题问题(wnt)提提出出1.1.设设是一个任意是一个任意(rny)(rny)角，它的终边与单位圆交于点角，它的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），角），角的三角函数是怎样定义的？的三角函

19、数是怎样定义的？sinycosxcosxcosxtan(0)yxx2.2.三角函数三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)在各象限的函数值符号分别如何？在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .第28页/共50页第二十九页，共51页。3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其数学意义如其数学意义如何？何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tanktan(2)tankkZ4.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. .我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图

20、形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美(wnmi)(wnmi)统一统一. . 终边相同终边相同(xin tn)(xin tn)的角的同名三角函数值相等的角的同名三角函数值相等. .第29页/共50页第三十页，共51页。知识探究（一）：正弦知识探究（一）：正弦(zhngxin)线和余弦线线和余弦线 思考思考1 1：如图，设角：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，你能分别用一条线段表示角都是正数，你能分别用

21、一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx第30页/共50页第三十一页，共51页。思考思考2 2：若角：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，此时角都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？sinycosx|sinMPy|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M第31页/共50页第三十二页，共51页。思考思考3 3：为了简化上述表

22、示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号(fho).(fho).根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？规定：线段从始点到终点规定：线段从始点到终点(zhngdin)(zhngdin)与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. . 第32页/共50页第三十三页，共51页。思考思考4 4：规定了始点和终点，带有方向的线段，：规定了始点和终点，带有方向的

23、线段，叫做有向线段叫做有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、为第一、三象限角时，三象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么当，那么当角角为第二、四象限角时，你能检验这个为第二、四象限角时，你能检验这个(zh (zh ge)ge)表示正确吗？表示正确吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M第33页/共50页第三十四页，共51页。思考思考5 5：设角：设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点

24、为P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称有向线段，称有向线段(xindun)MP(xindun)MP，OMOM分别为角分别为角的正弦线和余弦线的正弦线和余弦线. .当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P第34页/共50页第三十五页，共51页。思考思考6 6：设：设为锐角，你能根据正弦为锐角，你能根据正弦(zhngxin)(zhngxin)线和余弦线说明线和余弦线说明sinsincos1cos1吗？吗？P PO Ox xy yMM

25、PMPOMOMOP=1OP=1MPMPOMOMOP=1OP=1第35页/共50页第三十六页，共51页。知识探究知识探究(tnji)（二）：正切线（二）：正切线 A AT T思考思考1 1：如图，设角：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用哪条有向线段表示角是正数，用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATx第36页/共50页第三十七页，共51页。AT T思考思考2 2：若角：若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为为第四象限角，其终边与单位圆的

26、交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATx第37页/共50页第三十八页，共51页。A AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角：若角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxtanyATx第38页/共50页第三十九页，共51页。tanyx思考思考4

27、 4：若角：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx第39页/共50页第四十页，共51页。思考思考5 5：根据上述分析：根据上述分析(fnx)(fnx)，你能描述正切线的几何特征吗？，你能描述正切线的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线）作单位圆的切线(qixin)(qixin)，与角，与角的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相

28、交于点T T，则，则AT=tan.AT=tan.A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P第40页/共50页第四十一页，共51页。思考思考6 6：当角：当角的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时(shn sh)(shn sh)，角，角的正切线的含义如何？的正切线的含义如何？si ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppO Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线的正切线(qixin)(qixin)是一个点；当角是一个点；当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线的正切线(qixin)(qixin)不存在不存在. .第41页/共50页第四十二页，共51页。思考思考7 7：观察下列不等式：观察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？ sintan666pppsi ntan444pppsintan333ppp第42页/共50页第四十三页，共51页。思考思考8 8：对于：对于(duy)(duy)不等式不等式（其中（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？为锐角），你能用数形结合思想证明吗？si ntanaaaO Ox xy