中国矿业大学高数接力赛试题参考答案

1、第一阶段一号题（15 分） 设, ,a b c是实数，1,0bc,试确定, ,a b c，使得30sinlimln(1)xxbaxxctdtt解：不断利用l hospital 法则300ln(1)lim(sin )0,0lim0 xbxxtaxxcdtt3 不难得到0b4 323200003sincoscossincoslimlimlimlimln(1)3ln(1)31xxxxxbaxxaxxxaxxxaxctxxxdttx1a4 222002sin1cos12limlim.336xxxxxx16c4 第一阶段二号题（15 分） 求出使得下列不等式对所有的自然数n都成立的最大的数及最小的数：1

2、111nnenn。解：1111,nnennnn1,1l n (1)nnnn。2 因此，1inf1ln(1)n nnn，1sup1ln(1)n nnn。2 令11( ),(0,1ln(1)f xxxx，则2211( )0,(0,1)(1)ln(1)fxxxxx3 即：( )f x在(0,1中严格单调递减。所以，0(1),lim( )xff x。2 于是：1(1)1,ln 2f2 01lim( )2xfx4 第一阶段三号题在下面的题目中任选一题，若都做，按第一题记分1 （15 分） 求极限：!limnnnn解：显然：!lim (ln)!limnnnnnnnen5 而101!1limlnlimlnl

3、n1nnnnknkxdxnnn。8 于是!lim1nnnn。2 2 （20 分）证明：数列1111.ln23nxnn收敛，111lim.122nnnn并计算（）。（1）证明：数列nx单调递减111ln(1)1nnxxnn令( )ln(1)1xf xxx，则2( )0,(0,1)(1)xfxxx所以，111ln(1)011nnnxxnn。5下证：数列nx有下界。显然：11,1,2,kkkdx knx，则111111.ln2311lnln(1)0nnxnndxnxn5 于是由单调有界原理，nx收敛。2（2）由（ 1）假设limnnxc，则1111.ln23nncn，4 其中lim0nn。2111l

4、 i m (.)122l i m l n ( 2)l nl n 2nnnnnnnncnc4 第一阶段四号题（20 分） 设( )f x是0 1，上连续可微函数，且(0)0,(1)1ff。证明：存在n个不同的(0,1),(1,2, )kkn，使得11()nkknf。证明：由于( 0 )0 ,(ff及介值定理，存在1n个不同的( 0 , 1 ) , (1 , 2kxkn，使得012101,()nnkkxxxxxf xn。5 由拉格朗日中值定理：存在(0,1),(1,2, )kkn，使得111()()()kkkkkxxf xf xf，即11()()kkkn xxf。10 因此，1111()()nnk

5、kkkknxxnf5 第二阶段在下面的题目中任选一题，若都做，按第一题记分1 （20 分） 计算定积分120l n ( 1)1xid xx解：令tanxt则5 444000l n (1t a n )l n ( s i nc o s )l n c o sit d ttt d tt d t2 4400ln2 cos()ln cos4t dttdt5 4400ln 2cos()ln cos84t dttdt2 4400ln 2cosln cos8tdttdt4 ln 282 2 （ 30 分 ） 设( )f x在0,)具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 已 知0(0,)sup |( ) |xmf x和2(0,)sup |( ) |xmfx都是有限数，求证：(1)022( )2mtfxmt对任何的,(0,)t x成立。(2)若1(0,)sup |( ) |xmfx也是有限数 , 则1022mm m。证明：（1）根据 taylor 展开：2()( )( )( )2( )()( )()2tf xtfxtfxffxf xttfxft8 则022()2mtfxmt对任何的,( 0,)t x成立。2 （2）由题 1 的结论：022 ()2mtfxmt对任