高三高考平面向量题型总结,经典（精编版）

1、平面向量一、平面向量的基本概念：1. 向量：既有大小又有方向的量叫做_. 我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。向量可以用 _来表示 . 向量的符号表示_.2. 向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_） ，记作 _.3. 零向量：长度为0 的向量叫做零向量，记作_.4. 单位向量： _.5. 平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作 _规定： _.注意：理解好共线（平行）向量。6. 相等向量： _.例：下列说法正确的是_有向线段就是向量，向量就是有向线段；,cbba则ca；,/,/cbbaca/若cdab，则 a，

2、b，c， d四点是平行四边形的四个顶点；所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：（一）向量的加法：1. 向量的加法的运算法则：_、_和_.（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_ ； “首是首，尾是尾，首尾相连”例 1. 已知 ab=8 ，ac=5 ，则 bc的取值范围 _例 2. 化简下列向量（1）pmqpmnnq（2）)()()(mbpmabcqbcbp（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；ba是以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例 1. （09 山东）设p是三角形 ab

3、c所在平面内一点，bpbabc2，则a.0pbpa b.0pcpa c.0pbpc d.0pcpbpa例 2.（13 四川） 在平行四边形abcd 中，对角线 ac与 bd交于点 o，aoadab，则._（3）多边形法则2. 向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，a.pbpaoboaba（终点向量减始点向量）在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中，baba,分别为平行四边形的两条对角线，当baba时，此时平行四边形是矩形。例 1. 已知8,6 ba，且baba，则baba=_例 2. 设点 m是 bc的中点，点a在线段 bc外， bc=16 ，acab

4、acab，则_am向量的加减运算：例 1. （08 辽宁）已知、oa、b是平面内的三个点，直线ab上有一点c，满足 cb+2ac=0，则 oc=_oaob b.oa+2ob c. 32oa31ob d. 31oa+32ob例 2.(15课标全国i）设 d是三角形abc所在平面内一点，cdbc3，则 _a.acabad3431 b.acabad3431c.acabad3134 d.acabad3134例 3. （12 全国）在abc中，ab边上的高为cd, cb=a,ca=b,a?b=0,2, 1 ba, 则ad=_例 4. （10 全国）在abc中，点d在边ab上，cd平分acb，若 cb=a

5、,ca=b,2, 1 ba，则 cd=_例 5. 在abc中，设d为边bc的中点 , e为边ad的中点 , 若be=mab+nac，则m+n=_例6. （ 15 北京理）在abc中，点nm ,满足ncbnmcam,2，若acyabxmn，则_ yx例 7. （13 江苏）设d、e分别是abc的边ab、bc上的点，若bcbeabad32,21，若 de=1ab+2ac(1,2为实数 ) ，则1+2=_例 8.（12 东北四市一摸）在abc中，设p为边bc的中点，内角cba,的对边cba,，若cac+apa+bpb=0，则abc的形状为 _( 三）实数与向量的积：1. 定 义 ： 实 数与 非 零

6、 向 量a的 乘 积a是 一 个 向 量 ， 它 的 长 度 是 _. 它 的 方 向 是_. 当0时， _2. 数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。3. 运算律：设a、b是任意向量，,是实数，则实数与向量的积适合以下运算：4. 向量共线的判断： （平行向量的基本定理）如果ba，则ba /；若ba /，0b，则存在唯一的实数，使得ba.若a、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数,， 使_.若22122111,eebeea，21,ee不共线，ba /，则在有意义的前提下，2121例 1. （15 课标全国ii ）设向量若a、b是两个不平行的向量，

7、向量ba与ba2平行，则_例 2. （09 湖南）对于非零向量, ,a b“0ab”是“/ /ab”的 _a充分不必要条件 b. 必要不充分条件c充分必要条件 d. 既不充分也不必要条件例 3. （12 四川）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使|abab成立的充分条件是aab bab ca 2b dab且|a| |b|5. 单位向量给定一个向量a，与a同方向且长度为1 的向量叫做a的单位向量，即_重要结论：已知abc，o为定点，p为平面内任意一点.pa+pb+pc=0_.若 op=31oa+ob+oc，则p为abc_若 op=oa+（ab+ac） ，), 0(，则p点的轨迹 _.若 op

8、=oa+_,),0(, 则p点的轨迹通过abc的内心若 _, 则p点的轨迹是abc的外心若 _, 则p点的轨迹是abc的垂心例 1. （10 湖北）在abc中，点m满足 ma+mb+mc=0，若存在实数m，使得 ab+ac=mam，则m=_.例 2. 在abc中，重心为g ，若0sin3sin3sin2gccgbbgaa，则_cosb例 3. 在abc中，重心为g ，若033gcgbbgaa，则_a三、平面向量的基本定理( 一）平面向量基本定理内容：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a， 有且只有一对实数21,，使_, 其中1e、2e是一组基底， 记作叫做

9、向量a关于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。例 1. （14 福建）在下列向量组中，可以把向量)2, 3(a表示出来的是_a.)2, 1 (),0, 0(21ee b.)2, 5(),2, 1(21eec.)10,6(),5 , 3(21ee d.)3 ,2(),3, 2(21ee例 2. （09 安徽）在平行四边形abcd 中， e， f分别是 cd ， bc的中点，若afaeac， 则_（二

10、）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用设ba,是 直 线l上 两 点 ，o是 直 线 外 一 点 ， 对 于 直 线 上 任 意 一 点p， 存 在rt， 使_成立 . 反之，满足上式的点p在直线l上.特别地，当p为ba,的中点时，则_.例 1. 已知、oa、b是平面内的三个点，线段ba的延长线上有一点c，满足 3ac+cb=0则oc=_oaob b.2oa+3ob c. 23oa21ob d. 21oa+23ob例 2. 数列na是等差数列， 其前n项和为ns，若平面上的三个不共线的向量oa、ob、 oc满足 ob=1aoa+2006aoc，且cba,三点共线，则_2006s例 3. 已

11、知向量ji ,不共线，且 ab=jmi， adjin，若dba,三点共线，则实数nm,应满足的条件_a. 1nm b. 1nm c. 1mn d. 1mn例 4. （ 07 江西）如图，在abc中， 设o为边bc的中点，过点o的直线交直线ab、ac于不同两点nm ,.若ab=mam，ac=nan，则m+n=_mn的最大值为 _例 5. 在abc中，设m为边bc的任意点，n为am中点， an=ab+ac，则+=_.例 6. 在abc中，设m为边bc的中点，n为am中点， an=ab+ac，则+=_.例 7. 如图， 在abc中，设d为边bc的中点，g为ad中点，过g任作一条直线mn分别交ab、a

12、cnocbamgnca于nm ,两点，若 am=xab， an=yac，试问yx11是否为定值四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（一）向量的正交分解与向量的直角坐标1. 向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直；2. 向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。3. 在平面直角坐标系下，分别取与x 轴， y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量a，有且只有一对实数x,y ，使得21eyexa. 有序数对),(yx叫做a的坐标，记作),(yxa注意： （1）每一个向量都可以用一对有序实数

13、对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。（2）符号),(yx有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。（二）向量的坐标运算1. 若),(),(2211yxbyxa，则_ba.2. 若),(),(2211yxbyxa，则 ab=_| ab|=_3. 若ryxa),(，则_a4. 若),(),(2211yxbyxa，ba /, 则有 _.5. 三角形 abc的重心坐标公式为_五、平面向量的数量积：1. 平面向量数量积的定义向量ba,的夹角已知两个非零向量ba,，过点o作bobaoa,，则(aob_),

14、 叫作向量ba,的夹角 .当_时，a与b垂直，记作 _.当_时，a与b平行或共线 . 注意：理解什么是两向量的夹角以及两向量夹角的范围。向量ba,的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则把 _叫做向量ba,的数量积（内积） ，记作_.规定a?0=0向量数量积的几何意义_.2. 向量数量积的性质设ba,是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则cos?aeaaeba_当ba,同向时，_?ba.当ba,反向时，_?ba特别地，_? aa_cosbaba?3. 向量的数量积的运算律：注意：向量的数量积无_律，无 _律.4. 数量积的坐标运算若),(),(2211yxbyxa，

15、则_?ba若),(yxa，则_22?aaaa_a若),(),(2211yxbyxa，则ba/的充要条件为_),(),(2211yxbyxa，则ba的充要条件为_求角问题：若非零向量),(),(2211yxbyxa，是ba,的夹角，则_cos注意：向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也有两种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法 .典型例题（一）向量数量积的几何运算，注意两个向量的夹角，利用平面向量的基本定理选好基底例 1. 对任意向量ba,，下列关系式中不恒成立的是_a.baba b.baba c.22baba d.22bababa例 2. 已知向量cba,，满足2, 1 ba，a

16、cbac，且，则向量ba与的夹角为 _例 3. （11 江西）已知2)()2(,2?bababa，则ba,的夹角为 _例 4. （13 全国）已知两个单位向量a，b的夹角为60，btatc)1(，若0?cb则_t例 5. （13 江西）设1e、2e为单位向量，1e与2e的夹角为3，若1212,3ebeea，则向量a在b方向的射影为 _例 6. 已知向量cba,，满足0cba，bacba,)(，, 1a若则_222cba例 7.(14课标全国）已知a，b ， c为圆 o上的三点，若)(21acabao，则ab与ac的夹角为 _例 8. （10 湖南）在直角三角形abc中，,4,90acc则ab?

17、ac=_例 9. （15 湖北）已知向量3, oaaboa，则_oboa例 10. 如图，在平行四边形abcd 中，ap bd ，垂足为p，且 ap 3，则ap ac例 11. 在三角形abc中，1,2,60acaba，fe,为边bc的三等分点，则ae?af=_例 12. （12 天津）已知三角形abc为等边三角形，2ab，点qp,满足 ap=ab，aq=（1-）ac，r，若 bq?cp=23，则_例 13. （13 山东）已知向量ab与ac夹角120，2,3 acab，ap=ab+ac，且 ap?bc=0则实数的值 _例 14.（13 天津）在平行四边形abcd中，60, 1badad，e为

18、边cd的中点， 若ac?be=1， 则ab的长为 _例 15. 已知ba,夹角为6，2,3 ba，在三角形abc中， abnm22，acnm62，d为边bc的中点，则_ad例 16. ad 与 be分别是abc的中线，若ad=be=1 ，be与ad的夹角为120，则 ab?ac=_例 17.(15四川）设四边形abcd为平行四边形，ab=6 ，ad=4 ，若 m ，n 满足ncdnmcbm2,3，则_nmam例 18. （12 浙江）在三角形abc中，点m为bc的中点，,10,3 bcam则ab?ac=_例 19. （09 陕西）设m为abc边bc的中点，1am， 点p在am上， 满足 ap=

19、2pm, 则pa（ pb+pc） =_例 20. 设o是三角形abc的外心，1,3,acabbcod，则 ad?（ab- ac）=_例 21. 在三角形oab中，已知2,4 oboa，点p是ab的垂直平分线l上任一点，则ab?op=_例 22. 已知o是三角形abc的外心，若5, 3 acab，则 ao?bc=_例 23. 若三角形abc内接于o以为圆心， 1 为半径的圆， 3oa+4ob+5oc=0,则oc?ab=_例 24. 已知非零向量ba,，1231)(,323? xbaxaxxfba在r上有极值， 则ba,的取值范围为 _例 25. （10 全国）已知圆o的半径为1，pbpa,为该圆

20、的两条切线，ba,为切点，则pa?pb的最小值为 _典型例题（二） ：对于有明显的直角关系的向量问题-建立平面直角坐标系( 与线性规划问题联系), 向量的几何法与代数法的转化例 1.（13 湖北） 已知点 a （ 1，1） ，b （ 1,2 ）c （ 2，1） ，d （ 3,4 ） ，则向量 ab在cd方向上的投影为_例 2. （12 重庆）设ryx,，向量cbbacybxa/,),4,2(), 1(),1 ,(，则_ba例 3. 已知点3, 3a，o是坐标原点，点),(yxp的坐标满足002303yyxyx，设z为oa在op上的投影，则z的取值范围 _例 4. （13 福建）在四边形abcd

21、中， ac=（1,2 ） ， bd=（-4,2 ） ，则四边形的面积为_例 5. （09 湖南）如图，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若ad=xab+yac，则x=_,y=_内， oc?例 6. 已知1oa，32,aobkob， 点c在aoboa=0, 若oc=m2oa+mob，32oc，则_k例 7. （09 天津）若等边三角形的边长为32，平面上一点m，满足 cm=61cb+32ca,则ma?mb=_.例 8. （11 天津）已知直角梯形abcd中，1,2,90,/bcadadcbcad，p是腰dc上的动点，则 | pa+3pb| 的最小值为 _例 9.(12江苏 ) 如图， 在矩形ab

22、cd中，2,2 bcab，点e为bc的中点， 点f在边cd上，若ab?af,2，则 ae?bf=_例10. 在 直 角 三 角 形abc中 ， 点d是 斜 边ab的 中 点 ， 点p是 线 段cd的 中 点 ， 则_222pcpbpa例 11. （13 全国）已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则 ae?bd=_例 12. （ 13 重庆）在平面上，212121, 1,ababapobobabab，若21op，则oa的取值范围是 _例 13. （12 北京）已知正方形abcd的边长为1，点e为ab边上的动点，则de?cb=_de?dc的最大值为 _例 14. 平面上三个向量oa、ob

23、、oc，满足, 1,3, 1ocoboaoa?ob=0则 ca?cb的最大值为 _例 15. 已知三角形abc中，1,2,60bcacc， 点m是abc内部或边界上一动点，n是边bc的中点，则 an?am的最大值为 _例16. （ 15 福建）已知tactabacab1,，若点p 是三角形abc所在平面内一点，且acacababap4，则pcpb的最大值为 _例 17. （09 全国）设是a,b,c单位向量，a?b=0,则(a-c) ?(b-c)的最小值为 _例 18. （13 湖南）已知a,b是单位向量，a?b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围 _例 19. （11 辽宁）若a,b,c单位向量，a?b=0, (a-c) ?(b-c)0，则|a+b-c|的最大值为 _例 20. （11 全国） 设向量a,b,c ，满足|a|=|b|=1,a?b=21,60,cbca, 则|c|的最大值为 _例 21.（ 14 安徽） 在平面直角坐标系xoy 中，已知a,b是单位向量，a?b=0，若 q点满足)(2ba