数学思想与数学活动经验分析

1、数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 姜姜文文邮箱：邮箱：问题提出：问题提出：义务教育数学课程标准义务教育数学课程标准（2011年版）所提出年版）所提出的数学课程总目标有许多新变化，由数学的数学课程总目标有许多新变化，由数学“双基双基”到数学到数学“四基四基”是最大变化之一。是最大变化之一。课标课标的基本理念强调的基本理念强调“四基四基”：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导挥主导作用，处

2、理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。获得基本的数学活动经验。课标课标总目标第一条：学生获得总目标第一条：学生获得“四基四基”通过义务教育阶段数学学习，学生能：通过义务教育阶段数学学习，学生能： 1. 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。课标

3、课标教学实施建议：教学实施建议： 感悟数学思想，积累数学活动经验感悟数学思想，积累数学活动经验“（四）感悟数学思想，积累数学活动经验（四）感悟数学思想，积累数学活动经验数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，括，学生在积极参与教学活动的过程中，通过学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。感悟数学思想。数学活动经验的积累数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生志。

4、帮助学生积累数学活动经验积累数学活动经验是数学教学的重要是数学教学的重要目标目标 ” ”对对数学基本思想、基本活动经验数学基本思想、基本活动经验应跟进研究应跟进研究1.对数学基础知识、数学基本技能广大教师比较熟对数学基础知识、数学基本技能广大教师比较熟悉，而对数学基本思想、基本活动经验较为生疏。悉，而对数学基本思想、基本活动经验较为生疏。2.为什么要提出后为什么要提出后“两基两基”？其依据是什么？它们？其依据是什么？它们的含义、特点是什么？如何在课堂教学中落实这一的含义、特点是什么？如何在课堂教学中落实这一目标？这些理论和实践问题都亟待跟进研究。目标？这些理论和实践问题都亟待跟进研究。一、数学

5、课程目标为何要从一、数学课程目标为何要从“双基双基”发展到发展到“四基四基”？注重注重 “ “双基双基”教学教学， 历来是我国数学教育目标的重历来是我国数学教育目标的重要组成部分。经过长期的教育实践和探索，要组成部分。经过长期的教育实践和探索，“双基双基”教学已成为我国数学教育极富自我特点的教学形式，教学已成为我国数学教育极富自我特点的教学形式，中国学生基础扎实也成为国际数学教育界所公认的事中国学生基础扎实也成为国际数学教育界所公认的事实。此次课改继承了这一传统，促进学生数学实。此次课改继承了这一传统，促进学生数学“双基双基”的发展成为三维目标中的重要要求。的发展成为三维目标中的重要要求。在此

6、次课标修定中，人们在认真总结课改经验之后也在此次课标修定中，人们在认真总结课改经验之后也对数学对数学“双基双基”进行了反思：进行了反思：第一，从发展来看，对数学第一，从发展来看，对数学“双基双基”的理解、认识亦的理解、认识亦需与时俱进。需与时俱进。比如，一些传统的内容需要删减（如繁比如，一些传统的内容需要删减（如繁杂的计算、证明技巧的演练、脱离实际的陈旧的习题杂的计算、证明技巧的演练、脱离实际的陈旧的习题等）等）, ,一些体现时代要求的内容需要增加（如算法、统一些体现时代要求的内容需要增加（如算法、统计、概率、数学综合与实践问题等）。此外，在实践计、概率、数学综合与实践问题等）。此外，在实践中

7、以应对考试为目的的中以应对考试为目的的“双基双基”过度训练也导致一些过度训练也导致一些数学课堂教学价值的失衡。数学课堂教学价值的失衡。为什么要从为什么要从“双基双基”到到“四基四基”？数学课程应给学生以更多数学课程应给学生以更多 数学思想、精神的浸润数学思想、精神的浸润第二，从数学自身来看，第二，从数学自身来看，“双基双基”更多的是对数学原更多的是对数学原理、定理、概念、公式等结论性知识的反映，理、定理、概念、公式等结论性知识的反映，学习它学习它们固然重要，但其背后更为深层次的东西是什么呢？们固然重要，但其背后更为深层次的东西是什么呢？数学的本质不在于它的结论，而在于它的思想。数学数学的本质不

8、在于它的结论，而在于它的思想。数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给学生以更多数学思想、精神的浸润。学生以更多数学思想、精神的浸润。如何能从课程目标上支撑如何能从课程目标上支撑 创新精神创新精神和和实践能力实践能力的培养呢？的培养呢？第三，从时代要求来看，创新精神和实践能力的培养第三，从时代要求来看，创新精神和实践能力的培养是数学课程必须加强的目标要求，是数学课程必须加强的目标要求，而这一要求的落实而这一要求的落实仅靠仅靠“双基双基”是难以支撑的。是难以支撑的。事实上，学生创新精神事实上，学生创新精神的培养除了要掌握必要的数学知识和技能

9、外，还要学的培养除了要掌握必要的数学知识和技能外，还要学会数学的思考，并在多样化的数学活动中积累经验。会数学的思考，并在多样化的数学活动中积累经验。数学课程目标应该在这些数学课程目标应该在这些“点点”上更鲜明地反映对创上更鲜明地反映对创新人才培养的要求。新人才培养的要求。知识知识 技能技能 经验经验 思想思想 素养素养 智慧智慧第四，发展学生的数学素养，形成数学智慧，并非单第四，发展学生的数学素养，形成数学智慧，并非单纯地通过接受数学事实来实现纯地通过接受数学事实来实现, ,它更多地需要通过对数它更多地需要通过对数学思想方法的领悟学思想方法的领悟, ,对数学活动经验的条理化以及对数对数学活动经

10、验的条理化以及对数学知识的自我组织等活动来实现。因此，我们应该在学知识的自我组织等活动来实现。因此，我们应该在课程中提供一个用以支撑它的更为科学的结构框架。课程中提供一个用以支撑它的更为科学的结构框架。“四基四基”与数学素养与数学素养n掌握数学基础知识掌握数学基础知识n训练数学基本技能训练数学基本技能n领悟数学基本思想领悟数学基本思想n积累数学基本活动经验积累数学基本活动经验 发展学生的数学素养，培养学生的创发展学生的数学素养，培养学生的创新精神和实践能力新精神和实践能力二、对数学基本思想的认识和分析二、对数学基本思想的认识和分析早在近代科学的黎明时期早在近代科学的黎明时期, ,德国数学家德国

11、数学家莱布尼兹莱布尼兹（Leibniz，16461716）就指出：就指出：数学的本质数学的本质不在于它的对象不在于它的对象, ,而在于它的思想方法。而在于它的思想方法。数学基本思想才数学基本思想才是数学的本质是数学的本质.从数学发展看：从数学发展看：纵观数学发展史，每一项重大的成果，无一纵观数学发展史，每一项重大的成果，无一不是首先在思想方法上得到突破和创新。例不是首先在思想方法上得到突破和创新。例如：如：笛卡尔的笛卡尔的“坐标法坐标法”思想、伽罗华的思想、伽罗华的“群论群论”思想、罗氏和黎氏的思想、罗氏和黎氏的“非欧几何非欧几何”思想思想等都很生动地证明了这一点。等都很生动地证明了这一点。

12、就数学学习而言： 无数事实说明，一个人数学学习的优劣和数学无数事实说明，一个人数学学习的优劣和数学才能的大小，才能的大小，往往不在于数学知识累积的多寡，往往不在于数学知识累积的多寡，而在于数学思想和方法的素养是否达到一定程而在于数学思想和方法的素养是否达到一定程度，度，即：是否领会贯穿于数学中的精神、思想即：是否领会贯穿于数学中的精神、思想和方法，能否运用它们解决各种实际问题和进和方法，能否运用它们解决各种实际问题和进行数学的发明创造。行数学的发明创造。思想是课堂的生命思想是课堂的生命德国诺贝尔奖获得者、德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯物理学家冯劳厄：劳厄： “教育无非是一切教育无非是一切已学过

13、的东西都忘掉已学过的东西都忘掉时所剩下的东西时所剩下的东西”数学课堂教学应数学课堂教学应该是有思想的教该是有思想的教学！有了思想才学！有了思想才有了课堂的生命有了课堂的生命!数学学习中最本质的东西是什么呢？ 波利亚（美）波利亚（美）一贯强调把一贯强调把“有益的思考方式，应有有益的思考方式，应有的思维习惯的思维习惯”放在教学的首位。放在教学的首位。 闵山国藏（日本）闵山国藏（日本）指出，学生在毕业之后不久，数指出，学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、业务工作，唯有深深地铭刻于头脑

14、中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。” 什么是数学基本思想？ 数学基本思想数学基本思想是指对数学及其对象、数学概是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识念和数学结构以及数学方法的本质性认识. . 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽象

15、与概括。如象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机类、模型、结构、数形结合、随机等。等。何为数学基本思想？ 可以讨论的观点： “数学发展所依赖的思想在本质上有三个：数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、抽象、推理、模型，推理、模型，通过抽象，在现实生活中得到数通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。 从从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维

16、度度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。数学思想的层次性、多样性 以三个重要数学思想为例，下一层次的数学思想，还以三个重要数学思想为例，下一层次的数学思想，还有很多。例如由有很多。例如由“数学抽象的思想数学抽象的思想”派生出来的：派生出来的：分分类类的思想，的思想，集合集合的思想，的思想，数形结合数形结合的思想，的思想，“变中有变中有不变不变”的思想，的思想，符号表示符号表示的思想，的思想，对称对称的思想，的思想，对应对应的思想，的思想，有限与无限有限与无限的思想，等等。的思想，等等。例如由例如由“数学推理的思想数学推理的思想”派生出来的：派生出

17、来的：归纳归纳的的思想，思想，演绎演绎的思想，的思想，公理化公理化思想，思想，转换化归转换化归的思的思想，想，联想类比联想类比的思想，的思想，逐步逼近逐步逼近的思想，的思想，代换代换的的思想，思想，特殊与一般特殊与一般的思想，等等。的思想，等等。例如由例如由“数学建模的思想数学建模的思想”派生出来的：派生出来的：简化简化的的思想，思想，量化量化的思想，的思想，函数函数的思想，的思想，方程方程的思想，的思想，优化优化的思想，的思想，随机随机的思想，的思想，抽样统计抽样统计的思想，等的思想，等等。等。如何理解？ 三个常用的概念：三个常用的概念： 数学思想数学思想 数学方法数学方法 数学思想方数学思

18、想方法法数学基本思想和数学方法 数学基本思想和数学方法既有区别也有密切的联系。数学基本思想和数学方法既有区别也有密切的联系。如前所述，如前所述，数学基本思想数学基本思想表现相对宏观，体现的是对表现相对宏观，体现的是对数学对象的一种本质性认识；而数学对象的一种本质性认识；而数学方法数学方法常常是受数常常是受数学思想制约的，表现相对具体，并具有程序性、步骤学思想制约的，表现相对具体，并具有程序性、步骤性、路径性和可操作性。例如归纳，从一般意义上讲，性、路径性和可操作性。例如归纳，从一般意义上讲，它表现为从特殊到一般的推理的思想，但若具体使用它表现为从特殊到一般的推理的思想，但若具体使用于一个关于自

19、然数命题结论的获得时，它就是所谓的于一个关于自然数命题结论的获得时，它就是所谓的归纳法了。归纳法了。关于几个数学基本思想的具体分析 数学抽象数学抽象 数学推理数学推理 数学模型数学模型 数学分类数学分类 数学化归数学化归 数形结合数形结合数学抽象思想的特点： 抽象对象的特殊性抽象对象的特殊性: :数量关系、空间形式数量关系、空间形式 数学抽象的多级性数学抽象的多级性 数学抽象的高概括性数学抽象的高概括性 数学抽象的符号化、模式化数学抽象的符号化、模式化 数学方法本身也是抽象的：如公理化方法数学方法本身也是抽象的：如公理化方法抽象思想在数学课程内容中无处不在 所有概念、原理、公式、关系、结论都是

20、数学所有概念、原理、公式、关系、结论都是数学抽象的结果。抽象的结果。 课程内容的发生、发展的主线常常靠不断的抽课程内容的发生、发展的主线常常靠不断的抽象来形成。象来形成。 “数与代数” 内容的主线 （义务教育阶段） 数与代数学习内容的主线是：数与代数学习内容的主线是：从数及数的运算到代数从数及数的运算到代数式及其运算，再到方程和解方程、函数式及其运算，再到方程和解方程、函数在数的认在数的认识识中，要理解从数量抽象出数，数的扩充；中，要理解从数量抽象出数，数的扩充；在数的运在数的运算算中，从整数、小数、分数的四则运算到有理数的运中，从整数、小数、分数的四则运算到有理数的运算，乘方和开方运算等。算

21、，乘方和开方运算等。 体现了两个抽象：体现了两个抽象：表示方法的抽象表示方法的抽象和和运算的逐步抽象运算的逐步抽象。总体上是这条主线，但在学生学习的过程中，这几个总体上是这条主线，但在学生学习的过程中，这几个部分不是线性排列的，也不是割裂的。部分不是线性排列的，也不是割裂的。关于推理思想 标准标准指出：指出：“推理是数学的基本思维方式，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。 数学推理模式主要有两类，即：数学推理模式主要有两类，即：合情推理合情推理与与演演绎推理。绎推理。课标提出合情推理 合情推理开始合情推理开始由美籍匈牙利数学

22、家由美籍匈牙利数学家波利亚波利亚（1887-1985）提出。他曾任布朗大学、斯坦福大学教授，提出。他曾任布朗大学、斯坦福大学教授，1963年获美国数学年获美国数学会功勋奖。他一生发表了会功勋奖。他一生发表了200多篇论文和许多专著，在数学的多篇论文和许多专著，在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复数函数、概率论、广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复数函数、概率论、纵使数学、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开纵使数学、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献。曾著有创性的贡献。曾著有怎样解题怎样解题、数学的发现数学的发现、数学数学与猜想与猜想等，它们被译成多种文

23、字，广为流传。等，它们被译成多种文字，广为流传。什么叫合情推理？ 合情推理合情推理主要指主要指不完全归纳推理、类比推理、联想不完全归纳推理、类比推理、联想推理推理等或然性的推理，其结论不一定成立。合等或然性的推理，其结论不一定成立。合情推理常用于获得数学猜想，在数学发展中起着重情推理常用于获得数学猜想，在数学发展中起着重要作用。要作用。 合情推理合情推理在义务教育数学课程中有广泛的运用。在义务教育数学课程中有广泛的运用。归纳推理 归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理方法。它是特殊到一出一般性知识为结论的推理方法。它是特殊到

24、一般的方法。按照它的考查的对象是否完全而又分般的方法。按照它的考查的对象是否完全而又分为：为： 完全归纳推理完全归纳推理 不完全归纳推理不完全归纳推理n根据某类中每一个个体都具有（或不具有）根据某类中每一个个体都具有（或不具有）某种性质，推出该类具有（或不具有）某种某种性质，推出该类具有（或不具有）某种性质的归纳推理称为完全归纳推理。性质的归纳推理称为完全归纳推理。n在数学中，在数学中，完全归纳推理完全归纳推理又可分为又可分为穷举归纳穷举归纳法法和和分类归纳法分类归纳法两种。两种。 设考察的对象含有有限个对象，表示为设考察的对象含有有限个对象，表示为： 考察内容是判定考察内容是判定 是否有性质

25、是否有性质 ，则，则穷举归纳穷举归纳的逻辑形式可表示如下：的逻辑形式可表示如下：1,2, iSS inSPn若考查的对象有无限多个，显然就无法穷举，这时若考查的对象有无限多个，显然就无法穷举，这时，可将无限多个对象分成有限多个类来研究，这就，可将无限多个对象分成有限多个类来研究，这就是是类分归纳推理类分归纳推理。n令令1212(,)nSPSPS SSSSP是 类全部个体1( ) ,1,2, ;,niiiiijiSA AS AinAS AAij n则称则称 为为 的一个分类，的一个分类， （ ） 为该分类下的一个类。为该分类下的一个类。n类分归纳推理类分归纳推理的逻辑形式为：的逻辑形式为：( )

26、SSiA1,2,in12nAPAPAPSP不完全归纳推理不完全归纳推理n根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为理方法称为不完全归纳法推理。不完全归纳法推理。n其逻辑形式：其逻辑形式：1212(,)nSPSPSSSSSP是 类的部分对象n费尔玛素数猜想：费尔玛素数猜想： （费尔玛数）当（费尔玛数）当=0=0，1 1，2 2，3 3，4 4时，分别为时，分别为3 3，5 5，1717，257257，6653766537，于是，于是，费尔玛猜想费尔玛猜想“所有的

27、所有的 都是素数。都是素数。”事隔半事隔半个世纪之后，擅长计算的欧拉成功地将其分个世纪之后，擅长计算的欧拉成功地将其分解为两个因数之积：解为两个因数之积： 这就推翻了费尔玛素数猜想。这就推翻了费尔玛素数猜想。221nnF nF54294967297641 6700417F n但不完全归纳可以促使人们通过观察分析，但不完全归纳可以促使人们通过观察分析，去发现结论，提出猜想，然后加以证明。在去发现结论，提出猜想，然后加以证明。在数学中，发现结论往往比证明结论更重要。数学中，发现结论往往比证明结论更重要。大数学家高斯曾说过，他的许多定理都是靠大数学家高斯曾说过，他的许多定理都是靠归纳发现的。归纳发现

28、的。n观察下列等式：观察下列等式： 由不完全归纳推理可能推测：任何大由不完全归纳推理可能推测：任何大于于2的偶数都可以表为两个素数之和，这正的偶数都可以表为两个素数之和，这正是著名的是著名的哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想。42263 3 835 10 3 7 12 5 7 14 11 3类比推理类比推理n类比推理类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们在另一属性也相同或相似的相同或相似，推出它们在另一属性也相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的推理。一种推理方法，它是从特殊到特殊的推理。n其逻辑形式如下：其逻辑形式如下：Aabcd对象

29、具有属性 、 、 、Babc对象具有属性 、 、Bd对象也可能具有属性。空间勾股定理空间勾股定理 三维类比二维三维类比二维?图9-4?c?b?a222cab?图9-7?D?C?B?A2222dabc其中其中d表示定点表示定点D所对的面的面积所对的面的面积,其他类似。其他类似。运用类比推理应注意以下几点：（1）类比推理的结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性及类比推理的结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性及相关程度，为提高推理结论的可靠程度相关程度，为提高推理结论的可靠程度,要注意尽可能选择两要注意尽可能选择两个相似程度及相关度高的对象来进行类比个相似程度及相关度高的对象来进行类比. .（2）

30、要善于观察事物的特点，善于从不同事物身上发现其共同要善于观察事物的特点，善于从不同事物身上发现其共同特征。特征。（3）要善于联想，善于由此及彼，不受范围限制，思维要发散。要善于联想，善于由此及彼，不受范围限制，思维要发散。（4）注意把类比与归纳、演绎等方法结合起来运用，提高类比注意把类比与归纳、演绎等方法结合起来运用，提高类比成功率。成功率。（5）避免形式上的类比。避免形式上的类比。演绎推理 演绎推理演绎推理是从一般性原理得出特殊结论的推理方，是从一般性原理得出特殊结论的推理方，即从即从一般到特殊一般到特殊的推理方法。的推理方法。 演绎推理的特点是：演绎推理的特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件

31、在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用它从真实的前提一定能推出真实的结论。下，运用它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然的推理，演绎法是一种因此，演绎推理是一种必然的推理，演绎法是一种严格的逻辑证明方法。严格的逻辑证明方法。演绎推理演绎推理的逻辑基础的逻辑基础三段论三段论n这种推理是分为大前提、小前提、结论这这种推理是分为大前提、小前提、结论这样三段来进行的，可用公式表示如下：样三段来进行的，可用公式表示如下： （大前提）（大前提） （小前提）（小前提） 所以所以 （结论）（结论） 包含包含3个判断、三个概念个判断、三个概念MPSMSP关于分类思想 分类，分类，是依据一定的标

32、准，将对象区分为不同种类是依据一定的标准，将对象区分为不同种类的逻辑方法。分类是以比较为基础的，通过比较，的逻辑方法。分类是以比较为基础的，通过比较，分清对象之间的异同点，然后根据共同点将对象归分清对象之间的异同点，然后根据共同点将对象归合为较大的类（分类的母项）；根据差异点将事物合为较大的类（分类的母项）；根据差异点将事物划分为较小的类（分类的子项），从而将事物区分划分为较小的类（分类的子项），从而将事物区分为具有一定从属关系的不同等级的系统。为具有一定从属关系的不同等级的系统。分类应该遵循正确的逻辑规则分类应该遵循正确的逻辑规则 （1）分类应当相称分类应当相称, ,即各子项之和应等于母项。

33、即各子项之和应等于母项。 （2）每一次分类必须根据同一标准每一次分类必须根据同一标准, ,否则会出现分类交否则会出现分类交叉重迭的混乱情况。叉重迭的混乱情况。 （3）分类应按一定的层次逐级进行，不要越级去分分类应按一定的层次逐级进行，不要越级去分. .在数学中，分类思想方法有着重要的作用 对某一对象，可以按不同的标准进行多次分类，也可以每对某一对象，可以按不同的标准进行多次分类，也可以每次按一个标准进行多级的分类次按一个标准进行多级的分类. . 在解决数学问题时，分类的情形是多种多样的，可能是概在解决数学问题时，分类的情形是多种多样的，可能是概念的划分，性质的归类，也可能是方法的整理及具体情况

34、念的划分，性质的归类，也可能是方法的整理及具体情况的分类讨论。的分类讨论。 有些数学概念的实质就是分类。比如集合概念，本质上可有些数学概念的实质就是分类。比如集合概念，本质上可视为描述人脑对客观事物的识别和分类的一种数学方法。视为描述人脑对客观事物的识别和分类的一种数学方法。 利用分类的思想方法，利用分类的思想方法，能使我们准确地把握思能使我们准确地把握思维对象的范围和外延。比如，当思维对象是无维对象的范围和外延。比如，当思维对象是无限集时，我们往往不好把握它的特征，对对象限集时，我们往往不好把握它的特征，对对象逐一加以讨论，若采用分类的方法，则能将它逐一加以讨论，若采用分类的方法，则能将它分

35、成具有个性特征的有限的几个部分，这样就分成具有个性特征的有限的几个部分，这样就能将我们的认识引向深入。能将我们的认识引向深入。例：例： 任给五个数，证明必能从其中选出三任给五个数，证明必能从其中选出三 个，使得它们的和能被个，使得它们的和能被3整除整除.分析：分析： 显然，我们无法穷尽所有的整数来一显然，我们无法穷尽所有的整数来一一加以验证。可根据一加以验证。可根据3除整数所得的余数对除整数所得的余数对整数作如下分类：整数作如下分类： 可继续采用分类的方式对所给五个整数可继续采用分类的方式对所给五个整数的可能情况分别加以证明：的可能情况分别加以证明： 33132KKkJK形如的整数形如的（）形

36、如的n若属情况（若属情况（1），），则必有三个数之和则必有三个数之和 能被能被3整除；整除；n若属情况（若属情况（2），），必有三个整数属于同一形必有三个整数属于同一形式，这三整数之和必能被式，这三整数之和必能被3整除；整除；n若属情况（若属情况（3），），根据抽屉原理，也必有三根据抽屉原理，也必有三个整数属同一类型，其和必能被个整数属同一类型，其和必能被3整除。整除。含有以上三种类型的（1）所给五个整数 仅有以上一种类型的（2）仅有以上二种类型的（3）3(31) (32)3(31)KKKK分类思想方法分类思想方法在整理数学知识方面的作用尤其突在整理数学知识方面的作用尤其突出，它能使大量繁杂的

37、材料条理化、系统化，从出，它能使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为进一步研究创造条件。而为进一步研究创造条件。 例如，数的概念系统如下：例如，数的概念系统如下：00ba bib实数（）复数（）虚数（）有理数无理数整数分数正整数（自然数）0负整数00aa纯虚数（）非纯虚数（）正无理数负无理数关于数学化归思想 化归，就是通过问题的转化来解决问题的一种思想，它是数化归，就是通过问题的转化来解决问题的一种思想，它是数学活动中广泛采用的最具有思维特色的思想方法，事实上，它学活动中广泛采用的最具有思维特色的思想方法，事实上，它已成为多种数学方法的指导思想和原则。已成为多种数学方法的指导思想和原则。 从一

38、个广为流传的生活幽默问题中，你可以体会到善于运从一个广为流传的生活幽默问题中，你可以体会到善于运用化归是数学家与其他人解决问题的方式上的不同特征。用化归是数学家与其他人解决问题的方式上的不同特征。 问题问题1 假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？答案是：在壶中灌上水，点燃煤气，想烧开水，应当怎样去做？答案是：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。再把壶放到煤气灶上。 问题问题2 如果其它的条件都未变，只是水壶中已有了足够如果其它的条件都未变，只是水壶中已有了足够的水，你又应当怎样去做？的水，你又应当怎样去做？化归

39、的基本特征：化归的基本特征：n （1）问题转换性：问题转换性：将待求的问题转换为相对于求将待求的问题转换为相对于求解者来说已能解决的问题，问题的转换是化归的关解者来说已能解决的问题，问题的转换是化归的关键。键。n （2）间接性：间接性：因问题已转化，常常表现为不是因问题已转化，常常表现为不是对原问题直接求解。对原问题直接求解。n （3）后瞻性：后瞻性：在一个问题系列中，往往不是由在一个问题系列中，往往不是由就问题的求解逻辑地演进到新问题的求解，而是从就问题的求解逻辑地演进到新问题的求解，而是从新问题出发，逆向转换，寻求与旧问题连结的通路新问题出发，逆向转换，寻求与旧问题连结的通路。n （4）简

40、洁性：简洁性：只要待求问题与已解决问题之间搭只要待求问题与已解决问题之间搭上桥，问题即解决，不必再重复有些过程。上桥，问题即解决，不必再重复有些过程。化归的化归的要素、模式要素、模式和和方向：方向：n化归包括三个基本要素：（化归包括三个基本要素：（1）对什么化归）对什么化归，即化归对象；（，即化归对象；（2）化归成什么，即化归）化归成什么，即化归的目标；（的目标；（3）如何化归，即化归的方法。）如何化归，即化归的方法。化归的一般模式可图示如下：化归的一般模式可图示如下：n化归的方向是：由未知到已知，由复杂到简化归的方向是：由未知到已知，由复杂到简单、由困难到容易单、由困难到容易 问 题 解 答

41、* 解 答问 题*化 归若干若干化归化归策略：策略：n特殊与一般的转化特殊与一般的转化n整体与局部的转化整体与局部的转化n具体与抽象的转化具体与抽象的转化n数与形的转化数与形的转化n已知与未知的转化已知与未知的转化n化高为低化高为低n化正为反化正为反n化无限为有限化无限为有限 一化二归一化二归从从课标课标的几个的几个核心概念核心概念 看数学基本思想如何渗透看数学基本思想如何渗透n此次此次课标课标提出了提出了10个核心概念个核心概念n数感数感 符号意识符号意识 运算能力运算能力 模型思想模型思想 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 数据分析观念数据分析观念 应用意识应用意识 创

42、新意识创新意识 从本质上看，它们都有思想的要求从本质上看，它们都有思想的要求核心概念：核心概念：符号意识符号意识 （1）何为符号意识？）何为符号意识？n所谓符号所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统、图形、关系式等等构成了数学的符号系统n符号意识符号意识（Symbol sense）是学习者在感）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。主动性反应，它也是一种积极的心理倾

43、向。符号感符号感（Symbol SenseSymbol Sense） 为何改为符号意识？为何改为符号意识？n英文单词一样，但改动后中文意义有所英文单词一样，但改动后中文意义有所不同不同n符号感主要的不是潜意识、直觉符号感主要的不是潜意识、直觉n符号感最重要的内涵是运用符号进行数符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动，这是一学思考和表达，进行数学活动，这是一个个“意识意识”问题，而不是问题，而不是“感感”的问题的问题（2）符号意识的含义）符号意识的含义n标准标准对符号意识的表述有这样几层意思值得我对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：们体会：其一，能够理解并且运用符号

44、表示数、数其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。量关系和变化规律。即对数学符号不仅要即对数学符号不仅要“懂懂”，还要会还要会“用用”。符号符号“操作操作”n其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算这一要求的核心是基于运算和推理的符号和推理的符号“操作操作”意识。这涉及到的类型较意识。这涉及到的类型较多，如对具体问题的多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等。等等。符号表达符号表达

45、与与符号思考符号思考n其三，使学生理解符号的使用是数学表达和其三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。进行数学思考的重要形式。这又引出了两个这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即符号的表除符号理解和操作之外的要求，即符号的表达与思考。达与思考。n概括起来，符号意识的要求就具体体现于：概括起来，符号意识的要求就具体体现于：符号理解、符号操作、符号表达、符号思考符号理解、符号操作、符号表达、符号思考四个维度。这四个维度无一不与数学基本思四个维度。这四个维度无一不与数学基本思想关联。想关联。发展符号意识最重要的是运用符号进行数发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们

46、不妨把这种思考称为学思考，我们不妨把这种思考称为“符号符号思考思考” 例：例：“房间里有房间里有4 4条腿的椅子和三条腿的凳子共条腿的椅子和三条腿的凳子共1616个，如果个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有椅子腿数和凳子腿数加起来共有6060个，那么有几个椅子和个，那么有几个椅子和几个凳子？几个凳子？” 如果学生没有经过专门的如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼鸡兔同笼”解题模式的思解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用解题思路。如可以用表格表格分析椅子数的变化引起凳子数和分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数

47、的变化规律，直接得到答案；也可采用腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方一元一次方程程或或二元一次方程组二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。的、关于字母的思考方式来加以解决。核心概念：核心概念：几何直观几何直观 此次新增的核心概念此次新增的核心概念（1 1）对几何直观的认识）对几何直观的认识n顾名思义，几何直观所指有两点：顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何一是几何，在这里几何是指图形；，在这里几何是指图形；一是直观一是直观，这里的，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的是一个层次），

48、更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来综合起来几何直观就是依托、利用图形进行几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象数学的思考、想象。它在本质上是一种通过。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。图形所展开的想象能力。n希尔伯特希尔伯特（Hilbert）在其名著在其名著直观几何直观几何一书中指出，一书中指出，图形图形可以帮助我们发现、描述可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观

49、在研究、学习数学中的价值由此。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。可见一般。（2 2）标准标准中中几何直观几何直观的含义的含义n标准标准指出：指出：“几何直观是指利用图形描述几何直观是指利用图形描述和分析问题。和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。重要作用。”它表明：今后数学课程中有两件事需要刻它表明：今后数

50、学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的意去做，即针对较抽象的数学对象的“图图形表示形表示”和和“图形分析图形分析”。 前者前者指教学中要培养学生通过画图来表达指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。路。 （3）几何直观的培养几何直观的培养 让学生养成画图习惯让学生养成画图习惯, ,鼓励用图形表达问题

51、鼓励用图形表达问题 可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象对抽象的思考对象“图形化图形化”，尽量把问题、计算、尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观证明等数学的过程变得直观例：例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半，次一共喝了这杯可乐的都喝剩下的一半，次一共喝了这杯可乐的多少？多少？n次喝了多少？次喝了多

52、少？ ？通常算法是：把次可乐加起来求和通常算法是：把次可乐加起来求和其实，可以：其实，可以： 由此可推广次由此可推广次喝了多少？喝了多少？注意寻求一些数学对象的注意寻求一些数学对象的几何意义几何意义学会从学会从“数数”与与“形形”两个两个角度认识数学，体会其转化角度认识数学，体会其转化数形结合首先是对知识、技能的贯通数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。态度

53、所必需要求的。 数缺形时少直观，形少数时难入数缺形时少直观，形少数时难入微。微。数形结合百般好，隔离分家万事休。数形结合百般好，隔离分家万事休。华罗庚：华罗庚：例如，例如，若每两人握一次手，则若每两人握一次手，则3个人共握几次个人共握几次手，手，4个人共握几次手个人共握几次手， n个人共握几次个人共握几次手？手？用归纳的方法探索规律，如下表用归纳的方法探索规律，如下表:?人数人数 握手次数握手次数 规律规律 2 1 1 3 3 1+2 4 6 1+2+3 n 1+2+3+(n-1)A1A2A3AN 对于七、八年级的学生来说，要发现对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+(1+2+3+(n

54、-1)”-1)”这个规律并不容易，计算这个规律并不容易，计算1+2+3+(1+2+3+(n-1)-1)得到得到 n（n -1 -1）/2/2 也有困难。也有困难。 但是，如果把但是，如果把“人人”抽象成抽象成“点点”，“两人握两人握1 1次次手手”抽象成抽象成“两点之间连接一条线段两点之间连接一条线段”，那么借助，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点点中的任何一个点，它与其它的（中的任何一个点，它与其它的（n-1-1）个点共可连）个点共可连接（接（n -1-1）条线段，因而）条线段，因而n个点共可连接个点共可连接n（n -1 -1）条线段

55、。因为两点之间有且只有一条线段（例如线条线段。因为两点之间有且只有一条线段（例如线段段AB与线段与线段BA是同一条线段），所以共可连接是同一条线段），所以共可连接 n（n -1 -1）/2/2 条线段。条线段。让图形动起来让图形动起来图形的运动变化蕴含着丰富的思想图形的运动变化蕴含着丰富的思想 几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。识数学的思想和方法。 在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、长方形等；另一方面，在学习、研形，例如圆、长方形等；另一方面，在学习、研究非对称图

56、形时，又往往是运用对称图形为工具究非对称图形时，又往往是运用对称图形为工具的。的。 对称、旋转、折叠、展开、拆分、组合、拉伸、对称、旋转、折叠、展开、拆分、组合、拉伸、压缩压缩,充分利用图形的变化来分析、解决问题。充分利用图形的变化来分析、解决问题。用用“图形法图形法” 解决问题解决问题 掌握、运用一些基本图形解决问题掌握、运用一些基本图形解决问题 把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，面指出的图形，还有数轴，方格纸，

57、 直角坐标系等等直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。，这应该成为教学中关注的目标。核心概念：核心概念：数据分析观念数据分析观念 由统计观念改为数据分析观念由统计观念改为数据分析观念 原课标中的原课标中的“统计观念统计观念”，强调的是从统计的，强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求。此次将其改为处理的结果进

58、行合理的质疑等要求。此次将其改为“数据分析观念数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含，就是希望改变过去这一概念含义较义较“泛泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析数据分析”。 数据分析数据分析观念的含义观念的含义: : 数据分析观念数据分析观念是学生在有关数据的活动过程是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某种中建立起来的对数据的某种“领悟领悟”、由数据去、由数据去作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。应用价值的体会

59、和认识。n一是一是过程性（或活动性）要求：过程性（或活动性）要求：让学生经历调让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息.n二是二是方法性要求方法性要求：了解对于同样的数据可以有：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法数据分析方法.n三是三是体验性要求体验性要求：通过数据分析体验随机性：通过数据分析体验随机性 定量与定性、部分与整体、随机等思想。定量与定性、部分与整体、随机等思想。 数据分析观念数据分

60、析观念的要求：的要求：核心概念：核心概念：运算能力运算能力 此次增加的核心概念此次增加的核心概念 运算是数学的重要内容，在义务教育阶运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力运算的知识及技能，并发展运算能力。 标准对运算能力的要求标准对运算能力的要求n标准标准指出：指出：运算能力运算能力主要是指能够根据法主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算