[数学]二阶线性微分方程理论及解法ppt课件

1、二阶线性微分方程的实际及解法二阶线性微分方程的实际及解法 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法第三节第三节二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：, )()()(xfyxqyxpy 时时, 称为二阶非齐次线性微分方程称为二阶非齐次线性微分方程. 0)(xf时时, 称为二阶齐次线性微分方程；称为二阶齐次线性微分方程；复习复习: 一阶非齐次线性微分方程：一阶非齐次线性微分方程：)()(xQyxPy通解通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解非齐次方程特解

2、齐次方程通解齐次方程通解Yy0)(xf )(11yCxP )(11yCxQ证毕证毕.一、二阶齐次线性微分方程解的构造一、二阶齐次线性微分方程解的构造)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次微分方程是二阶线性齐次微分方程0)()( yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边代入方程左边, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC 解的叠加原理解的叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.12000CC 注：注：未必是知方程的

3、通解未必是知方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 11221211( )( )(2)( )( )C y xC yxCCy xC y x并不是通解！并不是通解！但是但是)()(2211xyCxyCy那么那么为处理通解的判别问题为处理通解的判别问题, 下面引入函数的线性下面引入函数的线性相关性的概念相关性的概念. 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211那么称这那么称这

4、n 个函数在个函数在 I 上线性相关上线性相关, 否那么称为线性无否那么称为线性无关关.例如，例如， 221,cos,sinxx在在 ( ( , , ) ) 上都有上都有0sincos122xx故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都线性相关上都线性相关;又如，又如，21, ,x x假设在某区间假设在某区间 I 上上,02321xkxkk那么根据二次多项式至多只需两个零那么根据二次多项式至多只需两个零点点 ,321,kkk必需全为必需全为 0 ,可见可见2,1xx故在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.假设存在不全为假设存在不全为 0 的常的常数数 两个函数线性相关性的充要条

5、件：两个函数线性相关性的充要条件：)(),(21xyxy线性相关线性相关)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数注：注：0 与恣意函数与恣意函数 ( )y x必线性必线性相关相关)(),(21xyxy成比例！成比例！)(),(21xyxy不成比例！不成比例！即即定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 那那么么)()(2211xyCxyCy为该方程的通解为该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且故方程的通解为故方程的通解为12cossin .yCx

6、Cx推论推论*. nyyy,21若是是 n 阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 那么该方程的通解为那么该方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCy21,yy 常数二、二阶非齐次线性微分方程解的构造二、二阶非齐次线性微分方程解的构造)(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那那么么是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: : 将将)(*)(x

7、yxYy代入方程左端代入方程左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ证毕！证毕！又又Y 中含有两个独立恣意常数，中含有两个独立恣意常数，即即y 是的解是的解.例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21而对应齐次方程而对应齐次方程0 yy的通解为的通解为因此该方程的通解为因此该方程的通解为xxCxCysincos21推行推行*.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性*1122( )( )( )( )nnyC y xC

8、 yxC yxyx无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY*( )yx是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解, 那么非齐次方那么非齐次方程程的通解为的通解为齐次线性微分齐次线性微分方程通解方程通解非齐次线性微分非齐次线性微分方程特解方程特解定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. 非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理常数常

9、数, , 那么该方程的通解是那么该方程的通解是 ( ).( ).321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是恣意是恣意;)(32211yyCyCA1122123( )();BC yC yCCy1122123( )(1);CC yC yCCy.)1()(3212211yCCyCyCDD例例1.提示提示:3231,yyyy线性无关线性无关. 反证法可证反证法可证3322311)()()(yyyCyyCC89 89 考研考研3322311)()()(yyyCyyCD例例2. 知微分方程知微分方程)()(

10、)(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且xexeyyyyxx21312常数常数因此线性无关因此线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为故所求特解为有三有三 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数倍和它的导数只

11、差常数倍,代入得代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程称为微分方程的特征方程,1. 当当042qp时时, 有两个相异实根有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为所以令的解为 那么微分那么微分其根称为特征根其根称为特征根.2. 当当042qp时时, , 特征方程有两个相等特征方程有两个相等实根实根21rr 那么微分方程有一个特解那么微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一

12、特解设另一特解，u (x) 待定待定.代入方程得代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注注意意是特征方程的二重根是特征方程的二重根0 u取取 u = x , 那么那么得得,12xrexy 因此原方程的通解为因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru常数变易法常数变易法3. 当当042qp时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根irir21,此时微分方程有两个复数解此时微分方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解

13、的叠加原理，得原方程的线性无关特解利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx在第十三章在第十三章中引见中引见小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212112,r r：特特征征根根21rr 实根实根 12rrr12()rxyCC x eir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解此表必背！此表必背！ 假设含假设含 k k 反复根反复根,ir 假设含假设含 k k 重实根重实根 r ,

14、 r , 那么其通解那么其通解中必含中必含xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk那么其通解中必那么其通解中必含含)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推行推行*： n 阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程例例3.032 yyy求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征根特征根:,3,121rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为xxeCeCy321例例4. 求解初值问题求解初值问题0dd2dd22stst

15、s,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根有重根,121 rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为tets)24(22C四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法)(xfyqypy ),(为常数qp根据解的构造定理，其通解为根据解的构造定理，其通解为Yy *y非齐次线性微分非齐次线性微分方程的一个特解方程的一个特解对应齐次线性对应齐次线性微分方程通解微分方程通解曾经处理曾经处理面临处理面临处理求特解求特解 的方法的方法根据根据 f (

16、x) f (x) 的特殊方的特殊方式式 , ,*y给出特解的待定方式的待定方式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . . 待定系数法待定系数法型)()(xPexfmx1、型sin)(xxPnxxPexflxcos)()(2、*y)(xQex (2)( )p Q x2()( )pq Q x( )xmeP x1、型)()(xPexfmx设特解为设特解为, )(*xQeyx其中其中 为待定多项式为待定多项式, )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 2( )(2)( )()( )( )mQxp Q xpq Q xPx其中其

17、中 为实数，为实数，)(xPm为为 m 次多项式次多项式那么那么代入代入得得)(xfyqypy 化简得化简得(1) 假设假设 非特征方程的根，非特征方程的根，20,pq即即故特解方式为故特解方式为. )(*xQeymx那么那么Q(x) 为为 m 次多项式，次多项式，(2) 假设假设 是特征方程的单根，是特征方程的单根，, 02qp,02 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式, 故特解方式为故特解方式为(3) 假设假设 是特征方程的重是特征方程的重根根, , 02qp,02 p)(xQ 则为为 m 次多项式次多项式, 故特解方式为故特解方式为xmexQxy)(*2)(xQ )()2(xQp)(x

18、Pm)()(2xQqp即即即即*( ).xmyxQx e结论结论对方程对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk*注：此结论可推行到高阶情形！注：此结论可推行到高阶情形！当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时, 可设可设特解特解例例5.1332 xyyy求方程的一个特解的一个特解.解：此题解：此题而特征方程为而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根不是特征方程的根 .故设所求特解为故设所求特解为,*10bxby代入方程代入方程 :13233010 xbbxb比较系数比较系数, 得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为于是所求特解为.31*xy0,0例例

19、6. xexyyy265 求方程的通解的通解. 解：解： 特征方程为特征方程为,0652 rr其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数比较系数, 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解为因此特解为21*1.2xyxxe（）3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解为所求通解为xxeCeCy3221221.2xxx e（）解得解得例例7*. 求解求解 0)0()0()0( 123yyyyyy解：解：特征方程为特征方程为, 02323rrr其根为其根为设非齐次方

20、程特解为设非齐次方程特解为,*xby 代入方程得代入方程得1,2b 1230,1,2rrr 对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23故原方程通解为故原方程通解为12x1Cy xeC2xeC232、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思绪分析思绪*:第一步第一步 将将 f (x) 转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的

21、特点ximexP)()(欧拉公式欧拉公式结论结论:xxPxxPenlxsin)(cos)(对于非齐次线性微分方程对于非齐次线性微分方程yqypy ),(为常数qp*( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx 那么可设特那么可设特解解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,max*注：此结论可推行到高阶情形！注：此结论可推行到高阶情形！例例8. cos2yyxx求求方方程程的一个特解的一个特解.解：解：特征方程为特征方程为故设特解为故设特解为*()cos2()sin2yaxbxcxdx不是特征方程的根不是特征方程的根,02ii代入方程得代

22、入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(210,r 比较系数，得比较系数，得1/3,4/9,ad 故一个特解为故一个特解为13 a043cb03 c043ad0 cb由于由于14*cos2sin2 .39yxxx 例例9. xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为, 092r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数，得比较系数，得,5a,3b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入得代入得xaxb3sin63cos6通解为通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5