《高等数学》电子课件（自编教材）：第二章 第4节 隐函数及参数方程求导

1、1一、隐函数的导数二、对数求导法三、参数方程求导四、相关变化率五、小结第四节 隐函数及参数方程求导2定义定义: :.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.xxyeysin2如如?dxdy如如何何求求一、隐函数的导数3例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0

2、 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 4例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.53例例221dxydxeyy

3、求求已知已知,解：解：求导求导两边对两边对xyxeeyyyyyxeey1yey2222)()()(yyeyyeyyy 22222)()()(yyeeyyeeyyyyy 3223)()(yyey6例例4 4.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy7观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexx

4、xy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu二、对数求导法8例例5 5解解 142) 1( 3111)4(1) 1(23xxxexxxyx所以等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对x142)1(3111 xxxyy.,)()(yexxxyx求求设设234119例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对

5、数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy所以)sinln(cossinxxxxxx 107例例.,)12(2dxdyxxxyxxx求求解：解：,)12(21xxxy令令对数求导得：对数求导得：) 1)(2(412ln)12(232221xxxxxxxxxdxdyx,2xxxy 令令对数求导得：对数求导得：xxyxlnln2xexxlnlnln) 1(ln12xxxxxxxxdxdyxdxdydxdydxdy21所以一般地一般地可用对数求导法。可用对数求导法。)()()(xvxuxf11.,)

6、()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty42xxy21所以消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t三、由参数方程所确定的函数的导数如如)cos(5)( 32ttyetxt?dxdy如何求12),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy所以, 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxd

7、tdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx13,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd )()(ttdxd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dxdtttdtd)()( dtdxttdtd1)()( 14例例8 8解解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy所以. 1.方程处的切线在求摆线2)cos1 ()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线

8、方程为所求切线方程为) 12(axay)22(axy即15例例9 9解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 )tan(tdxddxdttdtd)tan(dtdxtdtd1)tan(1610例例),(01sin3232xfyytettxy确定确定设设点的切线方程。点的切线方程。求曲线的对应求曲线的对应0t解解求导求导第二个方程对第二个方程对

9、t,sin1costetedtdyyydxdtdtdydxdydtdxdtdy 1261sin1costteteyy, 1, 30yxt因为,20edxdyt所以切线方程切线方程)3(21xey17.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?四、相关变化

10、率18例例1111解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh求导得上式两边对tdtdhdtd5001sec2,/140秒米因为dtdh2sec,5002米时当h)/(14. 0分弧度所以dtd仰角增加率仰角增加率 米米500米米50019例例1212解解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上

11、升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对 tdtdhhdtdV 38000,/288003小时米因为dtdV小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时所以当 h20五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链式求导法求解式求导法求解. .练习与思考题练习与思考题解答解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 22222、求下列函数的导数)01,0,0(xba