傅里叶变换原理-文档资料

1、1傅立叶积分变换傅立叶积分变换 （傅氏变换）（傅氏变换）拉普拉斯积分变换拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）（拉氏变换）21、何为积分变换？、何为积分变换？).()(),(Fdttftkba记记为为 所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一个函数变成另一个函数的一种变换个函数变成另一个函数的一种变换. .：变量，具体形式可写为变量，具体形式可写为这类积分一般要含有参这类积分一般要含有参原原像像函函数数；是是要要变变换换的的函函数数，这这里里 )(tf像像函函数数；是是变变换换后后的的函函数数， )(F.),(积积分分变变换换核核是是一一个个二二元元函函数数，

2、tK32、积分变换的产生、积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解到原问题的解. .原原 问问 题题原问题的解原问题的解直接求解困难直接求解困难变换变换较简单问题较简单问题变换后问题的解变换后问题的解求求 解解逆变换逆变换4 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标

3、变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况思路都属于这种情况. . 基于这种思想，便产生了积分变换基于这种思想，便产生了积分变换. .其主要体现在：其主要体现在： 数学上：数学上：求解方程的重要工具；求解方程的重要工具； 能实现卷积与能实现卷积与普通乘积之间的互相转化普通乘积之间的互相转化. . 工程上：工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具的重要工具. .5主要内容：主要内容：1、 傅立叶积分公式傅立叶积分公式2、傅立叶变换及其性质、傅立叶变换及其性质 3、卷积、卷积61 1 傅立叶级

4、数与积分傅立叶级数与积分1 1、傅立叶级数的指数形式、傅立叶级数的指数形式在在高等数学高等数学中有下列定理：中有下列定理：定理定理1 1一一个个周周期期上上满满足足：上上满满足足狄狄氏氏条条件件，即即在在为为周周期期的的实实函函数数，且且在在是是以以设设2,2)(TTTtfT （1 1）连续或只有有限个第一类间断点；）连续或只有有限个第一类间断点；（2 2）只有有限个极值点）只有有限个极值点. . 则在则在连续点连续点处，有处，有7)1(. )sincos(2)(10 nnnTtnbtnaatf).,2,1(sin)(2),2,1(cos)(2,2,d)(22222220 ndttntfTbn

5、dttntfTaTttfTaTTTTTTTnTnT其其中中).0()0(21)1(000 tftftTT式式右右端端级级数数收收敛敛于于处处，在在间间断断点点8注意：注意：.2sin,2cosiiiieeiee )(”写写为为“也也有有的的课课本本上上把把“ji于是于是.222222)(1010 ntninntninnntnitnintnitninTeibaeibaaeeibeeaatf9,3,2,1,2,2,200 nbiacbiacacnnnnnn令令则则)2(.)( ntinnTectf（2 2）式称为傅立叶级数的）式称为傅立叶级数的复指数形式，复指数形式，具有明显具有明显的物理意义的物

6、理意义. .)3().,2,1,0()(122 ndtetfTccTTtinTnn可可以以合合写写成成一一个个式式子子容容易易证证明明102 2、傅立叶积分、傅立叶积分 任何一个非周期函数任何一个非周期函数 f (t), 都可看成是由某个周都可看成是由某个周期函数期函数 fT (t) 当当T T+时转化而来的时转化而来的. .).()(limtftfTT .)(1lim)(,)(1)()3()2(2222 ntinniTTntininTTedefTtfedefTtfTTTT可可知知，得得、由由公公式式11.,2,1nnnnnTTn 或或则则令令 nntiiTntiiTTnTTnnnTTneef

7、edefTtf2222d)(21lim)(1lim)(0T2O 1 2 3 n-1nT2T2T2于是于是12.)(21)(22tiiTnTnTTnedef 令令)4(.)(lim)(0 nnnTntf故故.)(21)()(,0tiinnTnnnedefT 时时即即注注意意到到当当从而按照积分的定义，（从而按照积分的定义，（4 4）可以写为：）可以写为：,)()( dtf或者或者13)5(.)(21)( dedeftftii公式（公式（5 5）称为函数）称为函数 f(t) 的的傅氏积分公式傅氏积分公式. .定理定理2 2 若若 f(t) 在在(-(- , +, + ) )上满足条件上满足条件:

8、: (1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件在任一有限区间上满足狄氏条件; ; (2) f(t)在无限区间在无限区间(-(- , +, + ) )上绝对可积上绝对可积, ,即即.|)(|收收敛敛 dttf则（则（5 5）在）在 f(t) 的的连续点连续点成立成立. .2)0()0(,)(000来来代代替替应应以以处处的的间间断断点点而而在在 tftfttf上述定理称为上述定理称为傅氏积分定理傅氏积分定理. .14可可以以写写为为三三角角形形式式，即即公公式式时时，满满足足傅傅氏氏积积分分定定理理条条件件可可以以证证明明，当当)5()(tf)6(.2)0()0()(),()(cos)(10

9、其其它它，连连续续点点处处，在在tftftftfddtf事实上事实上, ,根据欧拉公式根据欧拉公式, ,有有.)(sin)()7()(cos)(21)(21)()(ddtfidtfddeftfti 15.)(sin)()(cos)(的的偶偶函函数数和和奇奇函函数数分分别别是是和和因因为为 dtfdtf所以由所以由(7),(7),得到得到 0.)(cos)(1)(ddtftf于是于是(6)成立成立.162 2 傅立叶变换傅立叶变换1、傅立叶变换的概念、傅立叶变换的概念 上一节介绍了：当上一节介绍了：当 f(t) 满足一定条件（？）时，满足一定条件（？）时，在在 f(t) 的连续点处有：的连续点处

10、有：.)(21)( dedeftftii)2(.)(21)()1(,)()( deFtfdtetfFtiti则则从从上上式式出出发发，设设17的的傅傅立立叶叶变变换换为为式式，即即称称)()()()1(tfdtetfFti 简称简称傅氏变换傅氏变换, ,记为记为F F )(F);(tf为为傅傅立立叶叶逆逆变变换换式式，即即称称 deFtfti)(21)()2(简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换, ,记为记为F F )(tf).(1tf ).()()2()1(tfF和和式式，定定义义了了一一个个变变换换对对式式和和.)()()()(的的原原像像函函数数为为的的像像函函数数；为为也也称称FtftfF还可

11、以将还可以将 f(t) 和和 F( )用箭头连接用箭头连接: : f(t) F( ) .18.0,0,0,0)(1 其其中中其其积积分分表表达达式式的的傅傅氏氏变变换换及及求求函函数数例例tettft.,)(是是工工程程中中常常碰碰到到叫叫做做指指数数衰衰减减函函数数这这个个tftf (t)o19解解: :根据定义根据定义, , 有有 0)()(tdeetdetfFtitti这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的傅氏变换傅氏变换. 0)(tdeti.122 ii20 deideFtftiti2221)(21)(根据积分表达式的定义根据积分表达式的定义,有有注意到注意到.sincostitet

12、i 02222.sincos1)sin(cos21)(dttdtititf化简化简整理整理21 .0,0,2/,0,0sincos022tettdttt因因此此.0,e)(22 AAtft其其中中的的傅傅氏氏变变换换求求例例-钟形脉冲函数钟形脉冲函数. tdeAetdetfFtitti2)()(解解: :根据定义根据定义, , 有有22.)(4242222 AetdeAetdeAeFittit化简化简整理整理如何计算？如何计算？这里利用了以下这里利用了以下 结果：结果：).0(2 dxex232 2、傅立叶变换的物理意义、傅立叶变换的物理意义 如果仔细分析如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏

13、积分周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式表达式,)( ntinnTectf,)(21)( deFtftin的的表表达达式式和和以以及及)(Fcn,)(122 TTtdetfTctinTn.)()( tdetfFti24由此引出以下术语：由此引出以下术语： 在频谱分析中在频谱分析中, , 傅氏变换傅氏变换F( )又称为又称为 f(t) 的的频频谱谱函数函数, , 而它的模而它的模|F( )|称为称为f(t)的的振幅频谱振幅频谱( (亦简亦简称为频谱称为频谱).). 由于由于 是连续变化的是连续变化的, , 我们称之为连我们称之为连续频谱续频谱, , 对一个时间函数作傅氏变换对一个时间函数作傅氏变

14、换, , 就是求这就是求这个时间函数的频谱个时间函数的频谱. .显然，振幅函数显然，振幅函数|F(w)|是角频率是角频率w的的偶函数偶函数, 即即. | )(| )(| FF,sin)(cos)(e)()( ttdtfittdtftdtfFti这这是是因因为为25. | )(| )(|,sin)(cos)(| )(|22 FFtdttftdttfF显显然然有有所所以以.)()(arg)(相相角角频频谱谱称称为为的的辐辐角角tfFF显然显然,dcos)(dsin)(arct)(arg tttftttfanF 相角频谱相角频谱argF( )是是 的的奇函数奇函数.26 ,2| , 0,2| ,)(

15、atatEtf例例3 3 求单个矩形脉冲函数求单个矩形脉冲函数的频谱图的频谱图. .2sin2)()(2222aEeiEdtEedtetfFaatititiaa 解：解：27请画出其频谱图请画出其频谱图.频谱为频谱为. |2sin|2| )(|aEF 以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！细介绍！28本讲小结：本讲小结：1. 掌握傅氏积分定理的条件和结论；掌握傅氏积分定理的条件和结论；2. 掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念；掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念；3. 了解傅

16、氏变换的物理意义了解傅氏变换的物理意义.29单位脉冲函数单位脉冲函数2 2、 单位脉冲函数单位脉冲函数1 1、 单位脉动函数单位脉动函数 .,0,0,1)(其其它它tt(t)1/Ot 在物理和工程技术中在物理和工程技术中, , 有许多物理现象具有脉冲性质有许多物理现象具有脉冲性质. . 例如断电以后的突然来电等例如断电以后的突然来电等; ; 在力学中在力学中, , 机械系统受冲击机械系统受冲击力作用后的运动情况等力作用后的运动情况等. . 研究此类问题就会产生我们要介研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数绍的单位脉冲函数. .物理学家狄拉克首先引入，此后在物理物理学家狄拉克首先引入，此后

17、在物理及工程技术中被广泛地采用及工程技术中被广泛地采用.30 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, , 某一瞬时某一瞬时( (设为设为t=0) )进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲, , 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, , 则则 .0,1,0,0)(tttq.)()(lim)()(0ttqttqdttdqtit 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即即 所以所以, 当当t 0时时, i(t)=0, 由于由于q(t)不连续不连续, 从而在普从而在普通导数

18、意义下通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.31如果我们如果我们形式形式地计算这个导数地计算这个导数, , 得得.1lim)0()0(lim)0(00 ttqtqitt 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度数能够表示这样的电流强度. . 为此为此, , 引进一称为狄拉引进一称为狄拉克克(Dirac)(Dirac)的函数的函数. . 有了这种函数有了这种函数, , 对于许多集中于对于许多集中于一点或一瞬时的量一点或一瞬时的量, , 例如点电荷，点源例如点电荷，点源, , 集中于一点集中于一点的质量

19、及脉冲技术中的非常窄的脉冲等的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, , 就能够象处就能够象处理连续分布的量那样理连续分布的量那样, , 以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决. . .0,0,0)(ttti广义函数，广义函数，没有普通意义没有普通意义下的函数值下的函数值. .322.1 单位脉冲函数的定义单位脉冲函数的定义定义定义对于任何一个对于任何一个无穷次可微无穷次可微的函数的函数 f(t), 称满足称满足)1()()(lim)()(0tdtfttdtft .)(.)(是是单单位位脉脉动动函函数数这这里里函函数数为为的的tt 2.2 单位脉冲函数的性质单位脉冲函数的性质(1) 积分性质积分

20、性质)2(.1)( tdt.11)(lim)(00 tdtdttdt证明：证明：33 一些工程书中，一些工程书中，-函数常用一个长度等于函数常用一个长度等于1 1的有向线段来表示的有向线段来表示. .tO(t)1)3().0()()(ftdtft (2) 筛选性质筛选性质对于无穷次可微的函数对于无穷次可微的函数 f(t)，有，有一般地一般地)4(. )()()(00 tftdtftt34 这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用的应用. 求求单位脉冲函数的傅氏变换单位脉冲函数的傅氏变换. .解：解：.1)()(0 ttitietdetF 可见可见,

21、 单位脉冲函数单位脉冲函数 (t)与常数与常数1 1构成了一构成了一傅傅氏变换对氏变换对； 同理同理, , (tt0)和和 亦构成了一个亦构成了一个傅氏变傅氏变换对换对. .0tie 35.)( dttf 需要指出的是，此处的广义积分是按需要指出的是，此处的广义积分是按(1)(1)式计式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换氏变换为广义的傅氏变换. . 根据傅氏积分公式，函数根据傅氏积分公式，函数f f( (t t) )能取傅立叶积能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即 实际

22、上这个条件非常强，它要求实际上这个条件非常强，它要求f f( (t t) )条件较条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点高，因而一些常见的函数都不满足这一点. .如如.,;cos,sin2可可积积的的条条件件等等多多项项式式都都不不满满足足绝绝对对ttettt36 如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我实际运算时，我们通常

23、用傅氏逆变换来推证们通常用傅氏逆变换来推证.比较典型的有：比较典型的有： u(t)（单位阶跃函数单位阶跃函数）, sin t, cost. 同样可以说同样可以说, , 象函数象函数F(w)和象原函数和象原函数 f(t)亦构成亦构成一个傅氏变换对一个傅氏变换对. .37 0, 0, 0, 1)(tttu称为单位跃阶函数称为单位跃阶函数.首先注意，这里的变换显然指的是广义变换首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.我们用考察我们用考察逆变换逆变换的方法证明的方法证明. .则则事事实实上上，设设),(1)( iFdeitfti )(121)().(1)( itu的的傅傅氏氏变变换换为为证证明明38d

24、edeititi )(21121(*).21sin1d)(21sin210 dtedtti由于由于,2sin0 dxxx所以所以当当 t0 时，有时，有.2sinsin000 duuudtutt时时综上所述，根据综上所述，根据(*), 有有)(1)(1 iFtf 0, 021210, 12121tt).(tu 证毕证毕. .40解：由定义，有解：由定义，有 )(01Fdeti )(210)()(0和和 例例3 求求的傅氏逆变换的傅氏逆变换. .210tie 特别地特别地 )(1F.21得到得到).(200 tieF41.)(200构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换对对和和即即 tie(*).

25、(20)(0 tdeti.00时时也也常常用用注注意意 例例4 4 求正弦函数求正弦函数 f(t)=sin 0 t 的傅氏变换的傅氏变换. .解：解： tdeieettdeFtitititi2sin)(00042同理，可得同理，可得 .)()()(2)(221210000*)()(00 iitdeeititi即即 .)()()(sin000 itF .)()()(cos000 tF注：我们介绍注：我们介绍-函数，主要是提供一个应函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性用工具，而不去追求数学上的严谨性. .43 为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类为了能更好的用傅立叶变换这一工

26、具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握. 为了叙述方便起见为了叙述方便起见, , 假定在这些性质中假定在这些性质中, , 凡凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件的条件, , 在证明这些性质时在证明这些性质时, , 不再重述这些条件不再重述这些条件. .1、 线性性质线性性质F F )(1F设设),(1tf )(2F),(2tfF F则则F F).()()()(22112211FkFktfktfk .21为为常常数数，其其中中kk逆变换逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质也具有类似的性质，

27、请写出相应的性质. .442、位移性质、位移性质.)()(0的的位位移移函函数数为为称称tfttf .)()(00Fettfti F有有，则则对对于于实实常常数数设设,)()(00tFtf F F duuftdettfttftuiuttti)(0000e)()()(F证明：根据定义，得证明：根据定义，得).()(00Fedueufetiuiti 45 显而易见，显而易见，位移公式的作用位移公式的作用是：知道了一个函数是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！的变换，便可由此求出其位移函数的变换！.)()(001tietfF F F同理可得同理可得有有，则则对对于于实实常常数数设设

28、,)()(0Ftf F F推论推论),()(21cos)(000 FFttfF F).()(2sin)(000 FFittfF F提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明. .463 3、微分性质、微分性质证明证明：根据定义，得：根据定义，得 )()()(tfdedtetftftitiF Ftdeitfetftiti )()( 如果如果 f(t) 在在(- , + )上连续或只有有限个可去间上连续或只有有限个可去间断断点点, , 且当且当|t|+ 时时, f(t)0, 则则).()( tfitfF FF F ).(tfiF F 47).()()()(tfitfnnF FF F 类似地可推得象函数的导数公式：类似地可推得象函数的导数公式： 一般地，如果一般地，如果 在在(- , + )上连续或只有上连续或只有有限个可去间断点有限个可去间断点, , 且当且当| |t t| |+ + 时时, , 有有)()(tfn).1, 1 , 0(0)()( nktfk则则).()()(ddtftiFnnnnF F .)( 的的傅傅氏氏变变换换经经常常使使用用上上述述公公式式求求tftn48例如，设例如，设 . 0, 0);0, 0(0,)(tAtAetft.)()(iAFtf 的的傅傅氏氏变变换换则则.)()()()(