关于地方日报的最优订阅价格

1、数学建模第二次大作业A:关于地方日报的最优订阅价格姓名：姚枭20137692，王虎20137708王凯20137713年级、专业：机械工程系机制一班关于地方日报的最优订阅价格一、摘要本题目是讨论关于地方日报的最优订阅价格，这里我们用了灵敏性来分析了日报的价格与日报的订阅人数的关系。问题一运用了Mathematica 建立了相应的模型，求出了订阅人数与价格之间的关系。问题二和问题三中，从灵敏性方面进行分析，得到日报的最优价格。运用表格与图像使结果更加鲜明。关键词：灵敏性、最优、关系二、问题重述一家有 80000 订户的地方日报计划提高其订阅价格。现在的价格为每周 1.5 美元。据估计如果每周提高

2、订价10 美分，就会损失5000 订户。问题： （ 1）求使利润最大的订阅价格？（ 2）对（1）中所得结论讨论损失5000 订户这一参数的灵敏性。分别假设这个参数值为：3000、 4000、 5000、 6000 及 7000，计算最优订阅价格。（3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。求最优订阅价格 p 作为 n 的函数关系。并用这个公式来求灵敏性S（p,n） 。（ 4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？用通俗易懂的语言说明你的结论1 、直到达到最优价格或损失所有订户之前，每周日报的价格均提高0.1美元，损失5000 订户。2、订户在订阅日报之后没有退订情况发生。3、日报订阅价格每

3、周七天均保持不变。4、订户每户只能订一份日报。5、生产的日报能满足所有用户的需求。四、符号说明p 利润最大时日报的订阅价格(单价)单位：美元/ 份T 提高到最优价格所用的周数r 每周提高的订价单位：美元/ 份n每周价格提高之后损失的订户数单位：户K 第T周的订户数单位：户Q第T周日报的净利润单位：美元F 起始的日报总订户数F=80000 (户)五、模型的建立与求解(含问题分析)5.1.1 问题一的分析提高到最优价格所用的周数T(P)=(P-1.5)/r=(P-1.5)/0.1第 T周的定户数 K(P尸F-n*T(P)=80000-(P-1.5)/0.1*5000贝U T 周日报的净利润 Q(p

4、尸K(P)*P=80000-(P-1.5)/0.1*5000*P5.1.2 问题一的建立Max Q(P尸80000-(P-1.5)/0.1*5000*P (P > 1.5)5.1.3 问题一的求解由Q(P)函数是一个连续可微的函数。可以利用微积分知识求解，用mathematica 求解：(1)求得驻点DK80000 - (P - 1.5)/0.1)*5000)*P ,巳80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. PSolve80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. P = 0, P驻点为：P -> 1.55有图像可知Q (p)在

5、(1.4,1.55处单调递增，在1.55,+)处单调递减,则p=1.55是Q(P)函数的极大值。依题意可知日报价格提高了 0.05美元，不符合每周提高0.1美元的要求。不提高价格：Q=120000提高0.1美元的要求：Q=120000由题意知提高价格会减少用户的数量，则会减少报社的日工作量，则选择p=1.65.2.1 问题二的分析由于模型建设中的参数（日报价格提高的幅度对应的订户数减少的数 量）是估计与测量的，所应应该研究它变化时对模型结果的影响。5.2.2 问题二的建立考虑r=0.1不变,n发生变化时，日报最优订阅价格关于价格每周提高r美元减少的用户数量的灵敏性Max P=(80000+1.

6、5*n/0.1)*(0.1/n)(n>o)3000 4000 5000 6000 7000由图可知，函数在单调递减，随着 n增加，价格p在减少。5.3.1 问题三的分析 由于模型假设中的参数是估计和预测的，所以应该研究它们所变化时对模型的结果的影响，用灵敏性来解释。5.3.2 问题三的建立设每周的日报上涨价格0.1美元不变，研究n的变化的影响，代入0.1后：P=(80000+1.5*n/0.1)*(0.1/n)可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。P对n的敏感记作S(p,n),定义为：S(p,n)=( A p/p)/( An/n)=( Ap/ An)*(n/p)=-8000/(1.5

7、*n+8000)，此即为问题三的模型。5.3.3 问题三模型的求解根据上面的模型画出图形n 4244464855254000000000000000p 1.702381.659091.619571.583331.551.519231.49074又当n =5000时可以算出S(p,n)=( A p/p)/( An/n)=( zp/n)*(n/p)=-8000/(1.5*n+8000)=-0.516就是报子价格每周增加1%B售日报就减少0.516%K五、模型评价本模型直观易懂，对实际问题的描述是合理的。相比于其他模型，此模 型变量较少，属于单变量问题，求解过程比较简单，所以它能求得最优解。 在计算中，我们采用了合理的算法及相关软件，并做出了图表和图象，使 得求解难度大大降低。对问题四的解答，即应该改变其订阅价格，要根据实际情况来说明，因 为在相同的利润条件下，就要考虑报社员工的工