内切球和外接球例题

1、人平等地提升自我高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27乃 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为. 4后.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为L2,3,则此球的表面积为 .也汗.例4、（2006年全国卷D已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为%体 积为16,则这个球的表面积为（）.C.A. 16/rB. 20乃C. 24/D. 32乃3.求多面体的外接球的有关

2、问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的9顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体积为：解 设正六棱柱的底面边长为X，高为卜,则有1、-5 = ".正六棱柱的底面圆的半径'5,球心到底而的;5/304万d =厂; /丁/球=距离 2 .外接球的半径R = V广+</- =1.3 .二、构造法（补形法）1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三极锥的三条侧棱两两垂直，且侧横长均为0则其外接球的表面积是.91解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，.把这个三棱锥可以补成 一个棱长为、8的正方体，于是正方体的外

3、接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为七则有（2*（可+（扃+（厨=9R4 .故其外接球的表而积S = 4/R? =94.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为。、从 J则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长 就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2H =1"+/+1 . 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体的cz，中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 1'君,，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。百度文库让每个解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四而

4、体外接球 的直径为烈的长即：4* =32+这2+公）2 4A2 = l2+32+X = 16 所以衣二2球的表面积为S = 4芯=16开例6.一个四面体的所有棱长都为后，四个顶点在同一球面上，则此球的表 面积为（）A. 3汽b. 44 C. 3岳D. 6万解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半 径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四而体A 8OE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE = BE =由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为6 ,从而外接球的直径也为旧，所以此球的表面积便可求得

5、，故选A.例7.在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2, ZDAB=60°, E为AB的中点，将AADE与ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.4小娓娓 娓71乃n7TA. 27b. 2c 8D. 24解析：因为 AE=EB=DC= 1, ZDAB=ZCBE=ZDEA=60° t 所以A£> = AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这3'人平等地提升向我与例6就完全相同了，故选C.例8.已知球。的面上四点A、B、C、D, DA_L平面ABC, AB

6、7;BC,DA=AB=BC=>/3 ,则球O的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体 模型很快便可找到球的直径，由于DA_L¥:向ABC, AB1BC,联想长方体 中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=J5,则此长方体为正方 体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球。的体枳等97t于2 .2、构造长方体例 9.已知点 A、B、C、D 在同一个球面上，BC1DC, 若A8 = 6, AC=2V13,AD=8 ,则球的体积是.解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，o为球心，OB=

7、OC=4为半径，要求b、C两点间的球而距离，只要求出N8OC即可，在肋A48C中，求出8c=4,所以N8=60"，故b、C两点间的球面距4n离是3 .三.多面体几何性质法百度文库-让每个）例10.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.164B.20/C.24 乃D.32 乃解 设正四棱柱的底面边长为x,外接球的半径为尺，则有4/ =16,解得x = 2 .2/? = ,2? +2? +4=2瓜二& = ".,.这个球的表面积是= 24乃.选c.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.II

8、!.寻求轴截面圆半径法4例11.正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为& ,点S、A、B、0、。都在同一球面上，则此球的体积为:解 设正四棱锥的底面中心为外接球的球心为°,如图1所示.，由球的截面的性质，可得平面A8CD又SOi _L平面A8CO,球心。必在SOi所在的直线上.，AASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径在 AASC 中，由 SA = SC = JJ, AC = 2,得 SA2 + SC2 = AC2百度文库-让每个人平等地提升自我、平等地提升白我H八、”江=1AASC是以4C为斜边的RtA2 是外接圆的半径，也是外接球的

9、半径.五.确定球心位:法例1L在矩形A8CQ中，A8 = 4,3C = 3,沿AC将矩形A8CQ折成一个直二面角8 AC 则四面体A88的外接球的体积为125125125125九乃九)A. 12b. 9c. 6d. 3解 设矩形对角线的交点为0,则由矩形对角线互相平分，可知04 = 03 = 0。=。二点。到四面体的四个顶点A、B、C、。的距离R = OA =: 相等，即点。为四面体的外接球的球心，外接球的半径2 ,故125716 ,选 C.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球。的球面上，且巴4二7 ,PB=5尸C = ® , 'C'lCI,求球。的体积。解：AB1BC | ? = 7 , PB = 5 ,?C =、瓦，C=1。 因为7 +回”=1°”所以知W =尸4