高阶导数和函数的微分学习教案

1、会计学1高阶导数和函数的微分高阶导数和函数的微分第一页，编辑于星期三：八点 五十五分。 前面我们学习了函数的各种求导法。显然y=x2 的导数是y=2x，而y=2x这个函数仍然可导，(2x) =2. 定义定义2.2 对于函数对于函数y=f(x)，若其导数，若其导数y = f (x)可导，则称可导，则称y = f (x)的导数的导数f (x) 为函数为函数y=f(x)的二阶导数，的二阶导数，记作：记作： y 或或f (x)或或或或y(2)。 即：即： y =(y ) ，f (x)=f (x) 。 同样地，若函数y=f(x)可导，且其导数y= f (x)仍然可导，即f (x)存在，则称f (x)为函

2、数y=f(x)的二阶导数二阶导数。2.4 2.4 高阶导数高阶导数第1页/共14页第二页，编辑于星期三：八点 五十五分。 类似地，若函数类似地，若函数y=f(x)的二阶导数的二阶导数y 仍可导，则称仍可导，则称y 的导数为的导数为y=f(x)的三阶导数，的三阶导数， 记作：记作： y(3) ，即，即y(3) =(y ) 。 依此类推，若函数依此类推，若函数y=f(x)的的n 1阶导数阶导数y( n 1) 可导，则可导，则称称y( n 1)的导数为的导数为y=f(x)的的n阶导数，阶导数， 记作：记作： y( n) ，即，即y( n) =y( n 1) 。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。二阶及

3、二阶以上的导数称为高阶导数。第2页/共14页第三页，编辑于星期三：八点 五十五分。例1 设y=ln(22x)，求y解 先求一阶导数y=ln(2 2x)22(221xxx22211x再求二阶导数y =(y)11x211x例2 设y(6)=x2sinx，求y(8)解=2sinx+2xcosx+2xcosx+x2(sinx)=2sinx+4xcosx x2sinxxxxxxxyycossin2)sin()(22)6()7()cossin2()(2)7()8(xxxxyy第3页/共14页第四页，编辑于星期三：八点 五十五分。例3 求下列函数的n阶导数：（1）y=sinx; （2）y=xn.(1) 解解

4、: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n第4页/共14页第五页，编辑于星期三：八点 五十五分。 （2）y=(xn) =nx n1y =(nxn1) =n(n1)xn2y =n(n1)xn2=n(n1)(n2)xn3于是，可知y (n)=n(n1)(n2)1 =n！第5页/共14页第六页，编辑于星期三：八点 五十五分。练习：练习：1.求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数（1）y=ex lnx （2）y=x2 e-2x （3）y =2

5、)1(1xx2.求求 y = e 2x，(n N)的的n阶导数阶导数21xeyx )482(22xxeyx 4) 1(102 xxyxnney2)(2第6页/共14页第七页，编辑于星期三：八点 五十五分。2.5 2.5 函数的微分函数的微分一、微分概念一、微分概念引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xAxx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 x

6、x边长由其第7页/共14页第八页，编辑于星期三：八点 五十五分。定义定义设函数y=f(x)在点x可导,自变量在点x的改变量为x，则乘积函数f (x) x称为函数y=f(x)在点x的微分微分，记为dy.即dy= f (x) x这时，也称函数y=f(x)在点x可微可微。对函数y=x， 由于y =(x) =1 ，因而dy=dx=1 x = x 于是，函数y=f(x)的微分，一般记为dy=f (x) dx即函数在点函数在点x的微分等于函数在点的微分等于函数在点x的导数与自变量微分的的导数与自变量微分的乘积乘积。改写为导数又称为微商。dxdyxf)(第8页/共14页第九页，编辑于星期三：八点 五十五分。

7、练习：练习：函数y=f(x)可微的充分必要条件是函数y=f(x)可导。函数y=f(x)在点x0的微分记为dy|x=x0即dy|x=x0 = f (x0) dx例1 若y =f(x) =x2，求x =1, x =0.01时函数的改变量y与微分dy .解由上述条件，x =1, x =0.01， 因此y = f(1+x)f(1)= (1+x)212= 0.0201当x =1, x = 0.01时，f (1)= (x2)|x=1=2x|x=1=2，于是dy = f (1) x = 20.01= 0.02设y =x2+x，求在x =1, x =0.1 ，x =0.01时函数改变量y与微分dy .定理定理

8、第9页/共14页第十页，编辑于星期三：八点 五十五分。二、微分计算二、微分计算dy= f (x) dx例例2 求下列函数的微分：求下列函数的微分：xxycos3) 1 (2xxytan)2(xysinln)3(解 （1）由于)cos3(2xxyxxsin6 所以dxydydxxx)sin6(（2）由于)tan(xxyxxxx2sectan21所以dxydydxxxxx)sectan21(2（3）由于)sin(lnxyxxx21cossin1xx2cot所以dxydydxxx2cot第10页/共14页第十一页，编辑于星期三：八点 五十五分。练习练习:dxxdyx)62ln2(dxxxxxdy)sincos31(33222sin)3(xeyxdxxxexedyxx)cos2sin2(2222求下列函数的微分：求下列函数的微分：4sin32) 1 (2xyxxxycos)2(3第11页/共14页第十二页，编辑于星期三：八点 五十五分。3.3.函数微分的求法函数微分的求法1.1.求导法则及其应用求导法则及其应用2.2.