差分模型-文档资料

1、1 主讲教师：肖剑主讲教师：肖剑 单位：重庆大学数学与统计学院单位：重庆大学数学与统计学院联系方式：联系方式2一、差分方程简介一、差分方程简介以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期初，表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。 记记yt 为变量为变量y在时刻在时刻t 时的取值，则时的取值，则称称 为为yt 的的一阶差分一阶差分，称，称 为的为的二阶差分二阶差分。类似地，可以定义。类似地，可以定义yt的的n阶差分。阶差分。由由t、yt及及yt的差分给出的方程称的差分给出的方程称 为为yt差分方程，其中含的最

2、差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的高阶差分的阶数称为该差分方程的阶阶。差分方程也可以写成。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成也可改写成 tttyyy 1tttttttyyyyyyy 12122)(02 tttyyy012 tttyyy3个人住房抵押贷款问题个人住房抵押贷款问题 1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列: 中国人民银行再次调整存、贷款利率中国人民银行再次调整存、贷款利率贷款期限贷款期限半年半年 1 1年年 3 3年年 5 5年年 5 5年以上年以上利率利率

3、/ / 6.126.12 6.39 6.39 6.66 7.20 7.56 6.66 7.20 7.56(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.)4 上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表 上海个人住房商业性贷款利率再次降低上海个人住房商业性贷款利率再次降低 个人住房商业抵押贷款年利率表个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率（）利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660 个人住房商业

4、抵押贷款个人住房商业抵押贷款( (万元万元) )还款表还款表 贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5 月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.715 提出提出问题问题 个人住房商业抵押贷款年利个

5、人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？利率水平制定的？ 分析一下年利率和月还款额表：分析一下年利率和月还款额表：贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率（）利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5 月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 4

6、44.356 305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.716不难导出表达式不难导出表达式A Ak kA A0 0(1+ r)(1+ r)k k(1+ r)(1+ r)k k1 1 m m/r/r则由则由A Ak k到到A Ak k+1+1，应有，应有 A Ak k+1+1- -A Ak kr rA Ak k- -m m即得模型即得模

7、型 A Ak k+1+1(r(r1)1)A Ak k - -m m ( (k k=0,1,)=0,1,)其中其中r r为利息，当然应该用月利率为利息，当然应该用月利率 r r0.06255/120.06255/120.00521250.0052125设贷款后第设贷款后第k k个月时欠款余数为个月时欠款余数为Ak k , ,月还款额月还款额m元元7结果结果52.125*1.005212524/(1.0012524-1)M M A A0 0(1+ r)(1+ r)k k r/(1+ r)r/(1+ r)k k11 = 52.125(1.0052125)24 24 /(/(1.0052125 )24

8、2411考虑二年期情况：考虑二年期情况：使用使用MatlabMatlab命令命令444.3568 年利率如何得到年利率如何得到 比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款，有数字相同：6.12、6.66，但年限不同 中间年限的利率如何得出 (建议作图，从得到线性插值)任务任务1 1：制定住房商业性贷款利率表和还款表：制定住房商业性贷款利率表和还款表 还款周期越短越好吗还款周期越短越好吗 如果逐年还款，对二年期贷款，用公式 A Ak kA A0 0(1+ r)(1+ r)k k(1+ r)(1+ r)k k11m m/r/r(r应为年利率)算得年还款额为5473.867元,本息总额10947.63元

9、，比逐月还款本息总额10664.54元多任务任务2 2：讨论还款周期问题：讨论还款周期问题9任务任务1的数据和要求的数据和要求若已知如下贷款年限的贷款利率() 1年：4.248 3年：4.464 5年：4.644 8年：4.968 10年：5.13 20年：6.210试制作一张为期120年的贷款利率表和还款表10其它金融或经济问题其它金融或经济问题 养老保险养老保险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 问题问题交保险费所得利率如何？交保险费

10、所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生)(注意：显然结果依于投 保人寿命) 11 设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额F Fk k为，那么易得到数学模型为分段表示的差分方程F Fk+1=F Fk(1+ r) p, k = 0,1, NF Fk+1=F Fk(1+ r) q, k =N+1, M 其中p p、q q分别为6060岁前所交月保险费月保险费和6060岁起所领月养老金月养老金的数目(元)，r r是所交保险金获得的利率利率，N N, , M M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间时间(月).显然M依赖于投保人的寿命,取 M= 75(75(岁) （统计

11、平均值）以2525岁起投保为例,则有 P = 200, q = 2282; N = 420, M = 60012 如前可推出差分方程的解F Fk = F F0 (1+ r )k (1+ r )k1 p/r, k = 0, 1, N F Fk = F FN (1+ r )k N (1+ r )k1 q/r, k =N+1, M 在前一式取k=N，后一式取k=M，且注意 F F0 = F FM = 0，消去F FN ，(1+ r )M (1+ q/p ) (1+ r )MN + q/p 0记 x 1+ r， 代入数据 x60012.41x18011.410( Newton法,方程求根)13使用使用

12、MatlabMatlab命令命令结果结果fzero(inline(x600-12.41x180+11.41), 1.01)1.00485x1.00485, r0.00485交保险费所得月利率为 0.00485 年利率为 0.058214满足一差分方程的序满足一差分方程的序 列列yt称为此差分方程的解。类似于微分称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程数时，称此解为该差分方程 的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的则称此解为满足某些初

13、值条件的 特解特解，例如，考察两阶差，例如，考察两阶差分方程分方程 02 ttyy易见易见2sintyt 与与2costyt 均是它的特解，而均是它的特解，而 tctcyt2sin2sin21 则为它的通解，其则为它的通解，其 中中c1，c2为两个任为两个任 意常数。类似于微分方程，称差分方程意常数。类似于微分方程，称差分方程 )()()()(110tbytaytaytatnntnt 为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程， 当当 0时称其为时称其为n阶非齐次线性差阶非齐次线性差分方程，而分方程，而 )(tb150)()()(110 tnntntytaytayta则被称为方程对应的则被称为方程对

14、应的 齐次线性差分方程齐次线性差分方程 。若所有的若所有的 ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为 常系数差分常系数差分方程方程，即，即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成)(110tbyayayatntntn （4.15） 的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为0110 tntntnyayaya（4.16） )2(2)1(1tttycycy )1(ty)2(ty容易证明，若序列容易证明，若序列与与均为方程（均为方程（4.16）的解，则）的解，则也是方程（也是方程（4.16）的解，其）的解，其 中中c1、c2为任意常数，这说明，为任意常

15、数，这说明，齐次方程的解构成一个齐次方程的解构成一个 线性空间线性空间（解空间）。（解空间）。 此规律对于（此规律对于（4.15）也成立。）也成立。16 方程（方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解对应的特征方程）先求解对应的特征方程 0110 tnnnyaaa （4.17） （步二步二）根据特征根的不同情况，求齐次方）根据特征根的不同情况，求齐次方 程程(4.16)的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（4.17）有）有n个互不相同的实根个互不相同的实根1 , n ，则齐次方程（，则齐次方程（4.16）的通解为）的通解为tnnt

16、CC 11 (C1,Cn为任意常数为任意常数)，iC情况情况2 若若 是特征方程（是特征方程（4.17）的）的k重根，通解中对应重根，通解中对应 于于的项为的项为tkktCC )(11 为任意常数，为任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（4.17）有单重复根）有单重复根 ia 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 tttt sinCcosC21 22 为为的模，的模， arctan 为为的幅角。的幅角。 17情况情况4 若若ia 为特征方程（为特征方程（4.17）的）的k重复根，则通重复根，则通 解对应于它们的项为解对应于它们的项为tttttktk sin)CC(cos

17、)CC(12k1k1k1 iC为任意常数，为任意常数，i=1,2k。 ty .若若yt为方程为方程(4.16)的通解的通解,则非齐次方程则非齐次方程 (4.15)的通解为的通解为（步三步三） 求非齐次方程求非齐次方程 (4.15)的一个特解的一个特解ttyy 求非齐次方程（求非齐次方程（4.15）的特解一）的特解一般要用到般要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系数法系数法。 18例例4.13 求解两阶差分方程求解两阶差分方程tyytt 2解解 对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为012 ，其特征根为，其特征

18、根为i 2, 1 ，对应齐次方程的通解为，对应齐次方程的通解为 tCtCyt2sin2cos21 原方程有形如原方程有形如bat 的特解。代入原方程求得的特解。代入原方程求得21 a，21 b，故原方程的通解为，故原方程的通解为21212sin2cos21 ttCtC 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用在给定初值后，通常可用 计算机迭代计算机迭代求解，但我们常常需要求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对讨论解的稳定性。对 差分方程差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程若不论其对应齐次方程的通解中任意

19、常的通解中任意常 数数C1,Cn如何取值如何取值 , 在在 时总时总有有 ,则称方程则称方程 (7.14)的解是稳定的解是稳定 的的,否则称其解为不否则称其解为不稳定稳定 的的.根据通解的结构不难看出根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程非齐次方程(4.15)稳定的充稳定的充要条件为其所有特征根的模均小要条件为其所有特征根的模均小 于于1。 t0ty19例例1 商品销售量预测商品销售量预测 (实例实例)某商品前某商品前5年的销售量见表年的销售量见表 。现希望根据。现希望根据 前前5年的统年的统计数据预测计数据预测 第第6年起该商品在各季度中的销售量。年起该商品在各季度中的销售量。 从表中可以看出

20、，该商品在从表中可以看出，该商品在 前前5年相同季节里的销售量呈增年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应一种办法是应 用用最小二乘法最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量后各年同一季度的销售量。例如，如认为

21、第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量大体按线性增长，可设销售量 batyt )1(由由2515125151515151 tttttttttyttya15253217152430151320271512182614111625121234第五年第五年第四年第四年第三年第三年第二年第二年第一年第一年销售量销售量季度季度 年份年份20 515151,51 tttttyytayb 求得求得 a=1.3， b=9.5。根据根据 预测第六年起第一季度的销售量预测第六年起第一季度的销售量 为为 =17.3， =18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销如认为销售量并非逐年等量增长

22、而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第第t年第一年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：5 .93 .1)1( tyt)1(6y)1(7y110 ttyaay或或22110 tttyayaay等等。等等。上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立

23、理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立二阶差分方程二阶差分方程 22110 tttyayaay为例，为选取为例，为选取a0,a1,a2使使2211053)( ttttyyaay最小，解线性方程组：最小，解线性方程组：21 5322532115321053253125321153210531532532153103ttttttttttttttttttttttttttyyayayyayyyayyayayyayaya即求解即求解 53143448336591483538404436403210210210aaaaaaaaa得得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二阶差分方程为。即所求二阶差分方程为2138 tttyyy 22虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值的预测值 y6=21，y7=19，等。等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第时预测值与事实不