高三数学尖子生针培优对性训练(7)及答案

1、1.已知0,0ab，则112abab的最小值是（）a2 b2 2c4 d5 答案c 解析因为11112222()4abababababab当且仅当11ab，且 ，即ab时，取“ =”号。2. 若 a 0，b 0，则不等式b1xa 等价于（）a1bx 0 或 0 x1a b.1ax1b c.x-1a或 x1b d.x1b或 x1a答案d解析故选 d 3.）数列na的前n项和为ns，若1(1)nan n，则5s等于（）a1 b56c16d130答案b 4. 若直线02cyx按向量) 1, 1(a平移后与圆522yx相切，则c 的值为（）a8 或 2 b6或 4 c4 或 6 d2 或 8 答案a5

2、.已知 d 是由不等式组2030 xyxy，所确定的平面区域，则圆224xy在区域 d 内的弧长为 b a .4b.2c.34d.3211bxb001xxba11axxa00 xx1x0 xxbx1011bxxx1ax01baxx0a或（ ）或（ ）或答案b解析解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1,213，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以11|() |23tan1111|23（），所以4，而圆的半径是2，所以弧长是2，故选 b 现。6. 函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点a， 若点a在直线mx+ny+1=0上， 其中mn0

3、,则nm21的最小值为 . 答案8 7. 直三棱柱111abcabc的各顶点都在同一球面上，若12abacaa,120bac，则此球的表面积等于。解 :在abc中2abac,120bac,可得2 3bc,由正弦定理 ,可得abc外接圆半径r=2,设此圆圆心为o，球心为o，在rt obo中，易得球半径5r，故此球的表面积为2420r.8. 某地有居民100 000 户，其中普通家庭99 000 户, 高收入家庭1 000 户从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990 户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00 户进行调查，发现共有120 户家庭拥有3 套或 3 套以上住房， 其中普通家庭50

4、户，高收人家庭70 户依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 . 【答案】5.7%【 解 析 】 该 地 拥 有3套 或3套 以 上 住 房 的 家 庭 可 以 估 计 有 ：50709900010005700990100户， 所以所占比例的合理估计是57001000005.7%. . 9.设abc的内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，3cos()cos2acb，2bac，求b分析 ：由3cos()cos2acb，易想到先将()bac代入3cos()cos2acb得3cos()cos()2acac。然后利用两角和与差的余弦公式展

5、开得3sinsin4ac；又由2bac，利用正弦定理进行边角互化，得2sinsinsinbac，进而得3sin2b.故233b或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23b时，由1coscos()2bac，进而得3cos()cos()212acac，矛盾，应舍去。也可利用若2bac则babc或从而舍去23b。不过这种方法学生不易想到。10. 如图所示，在长方体1111abcdabc d中， ab=ad=1 ， aa1=2，m是棱 cc1的中点（）求异面直线a1m和 c1d1所成的角的正切值；（）证明：平面abm 平面 a1b1m1 11. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的

6、一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45 元 /m, 新墙的造价为180 元 /m, 设利用的旧墙的长度为x( 单位：元 ) 。（）将y 表示为 x 的函数：（）试确定x, 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解： （1）如图，设矩形的另一边长为a m 则2y-45x-180(x-2)+180 2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=x360, 所以 y=225x+)0(3603602xx(ii)108003602252360225,022xxx10440360

7、3602252xxy.当且仅当 225x=x2360时，等号成立. 即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元.12 已知点列 b1(1,y1)、b2(2,y2)、bn(n,yn)（nn）顺次为一次函数12141xy图像上的点，点列a1(x1,0)、a2(x2,0)、an(xn,0)（nn）顺次为x 轴正半轴上的点，其中x1=a（0a1） ，对于任意n n，点 an、bn、 an+1构成一个顶角的顶点为bn的等腰三角形。求数列 yn的通项公式，并证明yn是等差数列；证明 xn+2-xn为常数，并求出数列xn的通项公式；在上述等腰三角形anbnan+1中，是否存在直角

8、三角形？若有，求出此时a 值；若不存在，请说明理由。解： （1）12141nny(nn), yn+1-yn=41,yn为等差数列4分（2）因为1nnnaba与211nnnaba为等腰三角形. 所以112212nnnnxxnxxn，两式相减得22nnxx。7分注：判断22nnxx得 2 分，证明得1 分x1,x3,x5, ,x2n-1及 x2,x4,x6 ，x2n都是公差为2 的等差数列， 6 分(nxna1 ( 当n为奇数 )n- a 当n为偶数 )10 分（3）要使 anbnan+1为直角三形，则|anan+1|=2nby=2(1214n)xn+1-xn=2(1214n) 当 n 为奇数时， xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2(1214n) a=41211n(n 为奇数， 0a1) (*) 取 n=1，得 a=32，取 n=3，得 a=61，若 n5 ，则 (*) 无解； 14 分当偶