第三章一维定态问题-精品学习资料

1、第三章第三章 一维定态问题一维定态问题(wnt)(wnt)1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱(sh jn(sh jn) )2 2 线性谐振子线性谐振子3 3 一维势散射问题一维势散射问题第一页，共66页。n在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有一维定态问题。其好处有四：四：n（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理；n（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理；n（3 3）处理一

2、维问题，数学简单，从而能对结果进行细致）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子讨论，量子 体系的许多特征都可以在这些一维问题中展体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；现出来；n（4 4）一维问题还是）一维问题还是(hi shi)(hi shi)处理各种复杂问题的基础。处理各种复杂问题的基础。第二页，共66页。1 1 一维无限一维无限(wxin)(wxin)深深势阱势阱n（一）一维运动（一）一维运动n（二）一维无限（二）一维无限(wxin)深势阱深势阱n（三）宇称（三）宇称n（四）讨论（四）讨论第三页，共66页。（一）（一） 一维运动一维运动(yndng)所谓所谓(suw

3、i)一维运动就一维运动就是指在某一是指在某一方向上的运方向上的运动。动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)形式形式(xngsh)(xngsh)，则，则 S-S-方程可在直角坐标系中分离方程可在直角坐标系中分离变量。变量。令令(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微

4、分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger 方程为：方程为：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 第四页，共66页。),(),(),(222zyxEzyxzyxV ),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzd

5、dyddxd EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 设设：)()()(),zZyYxXzyx （等等式式两两边边除除以以 )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中(qzhng)zyxEEEE )()()(),(zZyYxXzyx 令令：第五页，共66页。（二）一维无限（二）一维无限(wxin)深势深势阱阱n求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： n（1 1）列出各势域的一维）列出各势域

6、的一维SS方程方程n（2 2）解方程）解方程n（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件(tiojin)(tiojin)定解定解n（4 4）定归一化系数）定归一化系数 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII第六页，共66页。（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程(fngchng)(fngchng)方程方程(fngchng)可可简化为：简化为： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxEx

7、dxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 势势V(x)V(x)分为三个区域分为三个区域(qy)(qy)，用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为I(x),II(x) I(x),II(x) 和和III (x)III (x)。则方程为：。则方程为： 2 2第七页，共66页。 xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd （3 3）使用）使用(shyng)(shyng)波函数波函数标准条件

8、标准条件xIeC 1 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求根据波函数的统计解释，要求(yoqi)(yoqi)在阱壁上和阱壁在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是(-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 则则解解为为：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立；2 2。有限。有限(yuxin)(yuxin)：当：当x x - - ， 有限有限(yuxin)(y

9、uxin)条件要求条件要求 C2=0C2=0。第八页，共66页。使用标准使用标准(biozhn)(biozhn)条件条件 3 3。连。连续：续： 2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续：在边界在边界 x = -ax = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若若I(-a) = II(-a)I(-a) = II(-a)， 则有，则有，0 = A cos(-a + )0 = A cos(-a + )与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0 A sin(-a + )= 0 矛盾，二者不能矛盾，

10、二者不能同时成立同时成立(chngl)(chngl)。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。, 0)sin()()( aAaaIII1 1）波函数连续）波函数连续(linx)(linx)： .0),sin(,0IIIIIIxA . 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII第九页，共66页。 0)sin(0)sin( aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina 0s

11、in0cosa 两种情况两种情况(qngkung)：1cos00sin. 则则I由（由（4 4）式）式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE 22222222222 所所以以xanAxAIIn sinsin 第十页，共66页。22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n讨论讨论(toln) 00sin00000 xAEnII ，时时：当当xakAxakAknIIk sinsin 时时：当当状态状态(zhungti)不存在不存在描写同一描写同一(tngy)状态状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即),2,1( n于是：于是： ,

12、2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或22228)2(anEn 第十一页，共66页。于是于是(ysh)波函数：波函数： xanAxanAxAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(0211sin20cos. 则则II由（由（3 3）式）式0cos a ),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所所以以类似类似 I I 中关于中关于(guny) n = (guny) n = m m 的讨论可知：的讨论可知：),2,1 ,0( n 0sin0cosa )3(0sin)cos( a第十二页，共66页

13、。 奇奇数数。的的偶偶数数mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 综合综合(zngh) I (zngh) I 、II II 结果，最后结果，最后得：得：对应对应(duyng) m (duyng) m = 2 n= 2 n对应对应(duyng) m (duyng) m = 2n+1= 2n+1第十三页，共66页。 axxaAaxaEm|sin|02, 22222 第第一一激激发发态态： axxaAaxaEm|23cos|089, 33223 第二激发态：第二激发态：能量最低的态称为能量最低的态称为(chn wi)(chn wi)基态，其上为第一激发

14、态、第二激发态依次基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。类推。 axxaAaxaEm|2cos|08,11221 基基态态： -a 0 a1 -a 0 a|1|2 -a 0 a2 -a 0 a|2|2 -a 0 a3 -a 0 a|3 |2第十四页，共66页。由此可见，对于由此可见，对于(duy)(duy)一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，在无限远处， = 0 = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。分立能级，组成分立谱。（4 4）由归一

15、化条件）由归一化条件(tiojin)(tiojin)定定系数系数 A AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos|12sin|2222 （取取实实数数）得得：aAaA11|2 第十五页，共66页。 小结小结 由无穷深方势阱由无穷深方势阱(sh jn(sh jn) )问题的求问题的求解可以看解可以看 出，解出，解SS方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：n一、列出各势域上的一、列出各势域上的SS方程；方程；n二、求解二、求解SS方程；方程；n三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续三、利用波函数的标准

16、条件（单值、有限、连续(linx)(linx)）定）定未知数和能量本征值；未知数和能量本征值；n四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系化系数）。数）。第十六页，共66页。（三）宇称（三）宇称(y chn),(),(trtrrr （1 1）空间反射：空间矢量）空间反射：空间矢量(shling)(shling)反反向的操作。向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： ),(),(trtr 称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称）；),(),(trtr 称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇称（或奇宇称或奇宇称）；),(),(tr

17、tr （3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，),(),(trtr 则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。第十七页，共66页。（四）讨论（四）讨论(toln)一维无限深一维无限深势阱势阱(sh jn)中粒子中粒子的状态的状态,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征值值为为：（2）n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，态不存在(cnzi)，无意义。，无意义。而而n = k, k=1,2,. xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin 可见，

18、可见，n n取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1 1）n = 1, n = 1, 基态，基态，与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没有意义的。有意义的。aEn 822 第十八页，共66页。（4 4）nn* *(x) = n(x) (x) = n(x) 即波函数即波函数(hnsh)(hnsh)是实函数是实函数(hnsh)(hnsh)。 .|,2cos1;|,2sin1;|0)(),(/axoddnxeanaaxevennxeanaaxextxtiEtiEtiEnnnnn

19、 （5 5）定）定 态态 波波 函函 数数 偶偶宇宇称称当当奇奇宇宇称称当当)()()()()()(oddnxxevennxxnnnn （3 3）波函数宇称）波函数宇称 , 3 , 2 , 1|)(2sin1|0/naxeaxanaaxtiEn 亦亦可可合合并并写写成成：第十九页，共66页。例题(lt)1 一粒子在一维势场axaxxxU，0 00)(中运动，求粒子(lz)的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题(wnt)。其定态S方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为 1 )()()()(2 0111222xExxUxdxdmx 2 )()(2 0

20、22222xExdxdmax 3 )()()()(2 333222xExxUxdxdmax由于(1)、(3)方程中，由于 )(xU，要等式成立，必须 0)(1x0)(2x第二十页，共66页。即粒子不能运动到势阱(sh jn)以外的地方去。方程(fngchng)(2)可变为 0)(2)(22222xmEdxxd令 222mEk，得 0)()(22222xkdxxd其解为 kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件(tiojin)确定系数A，B，由连续性条件(tiojin)，得 )0()0(12 )()(32aa0 B0sinkaA), 3 , 2 , 1( 0sin0nnkakaA x

21、anAxsin)(2第二十一页，共66页。 由归一化条件(tiojin)1)(2dxx得 1sin022axdxanAxanaxaAsin2)(22222mEk), 3 , 2 , 1( 22222nnmaEn可见(kjin)E是量子化的。 对应(duyng)于 nE的归一化的定态波函数为 axaxaxxeanatxtEinn , , 0 0 ,sin2),(第二十二页，共66页。例题(lt)2第二十三页，共66页。第二十四页，共66页。例题(lt)2第二十五页，共66页。作作 业业n周世勋：周世勋：量子力学量子力学(lin z l xu)教程教程第二章第二章n2.3、 2.4、 2.8第二十

22、六页，共66页。2 2 线性谐振子线性谐振子（一）引言（一）引言（1）何谓谐振子）何谓谐振子（2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子（二）线性谐振子（二）线性谐振子（1）方程的建立）方程的建立（2）求解）求解（3）应用标准条件）应用标准条件（4）厄密多项式）厄密多项式（5）求归一化系数）求归一化系数（6）讨论）讨论(toln)（三）实例（三）实例第二十七页，共66页。（一）引言（一）引言(ynyn)（1 1）何谓）何谓(hwi)(hwi)谐振子谐振子2221xV dxdVF 因因为为量子力学量子力学(lin z l xu)(lin z l xu)中的线性谐振子就是指在该中的线性谐振子就

23、是指在该式所描述的势场中运动的粒式所描述的势场中运动的粒子。子。 kxxkxdtxd 其其中中0222在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，的粒子，受弹性力受弹性力F = - kxF = - kx作用，由牛顿第二定律作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：可以写出运动方程为：其解为其解为 x = Asin( t + )x = Asin( t + )。这种运动称为。这种运动称为简谐振动，简谐振动， 作这种运动的粒子叫谐振子。作这种运动的粒子叫谐振子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即，即平衡位置处于势平衡位置处于势 V = 0 V = 0 点，则点，则kxdxV 所所以以0

24、221Vkx 02221Vx 2 k因因：第二十八页，共66页。（2 2）为什么研究）为什么研究(ynji)(ynji)线线性谐振子性谐振子n自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步复杂运动的初步(chb)(chb)近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上近似，所以简谐振动的研究

25、，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。还是在应用上都是很重要的。n例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者相对距离是二者相对距离x x的函数，如图所的函数，如图所示。在示。在 x = a x = a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V0 V0 。在。在 x = a x = a 附近势可以展开成附近势可以展开成泰勒级数：泰勒级数： 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V00)(0 axxVVaV2220)(!21axxVVax 20)(21axkV axxVk 22其其中中：第二十九页，共66页。取新坐标取新坐标(zu

26、bio)(zubio)原点为原点为(a, V0)(a, V0)，则势可表示为标，则势可表示为标准谐振子势的形式：准谐振子势的形式：可见，一些复杂可见，一些复杂(fz)(fz)的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。动来近似描述。221)(kxxV 第三十页，共66页。（二）线性谐振子（二）线性谐振子（1 1）方程的建立）方程的建立（2 2）求解）求解(qi ji)(qi ji)（3 3）应用标准条件）应用标准条件（4 4）厄密多项式）厄密多项式（5 5）求归一化系数）求归一化系数（6 6）讨论）讨论第三十一页，共66页。（1 1）方程）方程(fng

27、chng)(fngchng)的建立的建立0)(2120)(2122222222222 xxEdxdxxEdxd 或或：则则方方程程可可改改写写为为：，其其中中令令： x22222222212212xdxdxpH 线性谐振子的线性谐振子的 HamiltonHamilton量：量：则则 Schrodinger 方程方程(fngchng)可写为可写为 ：为简单计，为简单计，引入无量引入无量(wling)(wling)纲变量纲变量代代替替x x， Exdd20)(222 其其中中此式是一变系数此式是一变系数二阶常微分方程二阶常微分方程第三十二页，共66页。（2 2）求解）求解(qi ji)(qi ji

28、)0222 dd2/22/122 ecec 所所以以为求解方程为求解方程(fngchng)(fngchng)，我们先看一下它的渐，我们先看一下它的渐近解，即当近解，即当 时波函数时波函数的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 2 1 1第三十三页，共66页。其中其中 H() H() 必须满足波函数的单值、有限、连续的必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件标准条件(tiojin)(tiojin)。即：。即： 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。0)1(2 HHH 2/2)()( eH将将()()表达式代入方程表达式

29、代入方程(fngchng)(fngchng)得得关于关于 待求函数待求函数 H() H() 所满足的方程所满足的方程(fngchng)(fngchng)：令令：渐渐近近形形式式，我我们们自自然然会会在在无无穷穷远远处处有有的的波波函函数数为为了了使使方方程程2/22220)( exdd2. H()2. H()满足满足(mnz)(mnz)的方程的方程第三十四页，共66页。3.3.级数解级数解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkbkkbHkbHkbH 0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb kkkbH 0我们我们(w men)(w men)以级以级数形式来求解。数

30、形式来求解。 为为此令：此令：kkkkkbHkk )2)(1(220则则：令令kkkkkb )2)(1(20 用用 k k 代替代替(dit) (dit) kk变变成成：则则方方程程0)1(2 HHH 第三十五页，共66页。由上式可以看出：由上式可以看出： b0 b0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数； b1 b1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个(lin )(lin )线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b0 0, b1=0. Heven();b1 0, b0=0. Ho

31、dd().kkbkkkb)2)(1(122 即：即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0从而导出系数从而导出系数(xsh) bk (xsh) bk 的递推公式：的递推公式：0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb 该式对任意该式对任意(rny)(rny)都成立，都成立，故故同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为：H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e

32、) exp-2/2第三十六页，共66页。（3 3）应用）应用标准标准(biozhn)(biozhn)条件条件(I)=0exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限皆有限(yuxin)(II) 需要需要(xyo)考虑无穷级数考虑无穷级数H()的收敛性的收敛性为此考察相邻为此考察相邻两项之比：两项之比：22222) 2)(1(12 kkkkbbkkkkk 考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的的展开式的收敛性展开式的收敛性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 比较二级数可知：比较二级数可知：当当时时， H()H()的渐近的渐近

33、行为与行为与expexp2 2 相同。相同。单值性和连续性二条件自然满足，单值性和连续性二条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=0, x x=0, x 或或=0, =0, 。2222222222)1(1)!1()!()!()!1( kkkkkkkkk 相相继继两两项项之之比比：第三十七页，共66页。所以所以(suy)总波函数有如下发散行总波函数有如下发散行为：为：为了满足波函数有限

34、性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H() H() 必须从某一项截断变成一个多必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求项式。换言之，要求 H() H() 从某一从某一项（比如第项（比如第 n n 项）起项）起 以后以后(yhu)(yhu)各项的系数均为零，即各项的系数均为零，即 bn bn 0, bn+2 = 0.0, bn+2 = 0.0)2)(1(122 nnbnnnb 代入递推关系代入递推关系(gun x)得：得：结论结论基于波函数基于波函数在无穷远处的在无穷远处的有限性条件导致了有限性条件导致了能量必须取能量必须取分立值。分立值。 expexpexpexp)()(221

35、2212221H 212 EE因因为为012,0 nbn所所以以有有：因因为为,2,1 ,0)(21 nnE 于于是是最最后后得得：第三十八页，共66页。（4 4）厄密多项式）厄密多项式附加有限性条件得到附加有限性条件得到(d do)(d do)了了 H()H()的的一个多项式，该多项式称为厄密一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为多项式，记为 Hn()Hn()，于是总波，于是总波函数可表示为：函数可表示为：)(exp221 nnnHN 022 nnnnHHH 0)1(2 HHH expexp)1()(22 nnnnddH由上式可以看出由上式可以看出(kn ch)，Hn() 的最高次幂是的最

36、高次幂是 n 其系数是其系数是 2n。归一化系数归一化系数(xsh)H Hn n() () 也可写成封闭形式：也可写成封闭形式： = 2n+1 = 2n+1第三十九页，共66页。厄密多项式和谐振子波函数的递推关系厄密多项式和谐振子波函数的递推关系(gun x)：从上式出发从上式出发(chf)(chf)，可导出，可导出厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系：022)(2111 nnnnnnHHHnHddH 应应用用实实例例例：已知例：已知 H0 = 1, H1=2H0 = 1, H1=2，则，则根据上述递推关系根据上述递推关系(gun x)(gun x)得出：得出：H2 = 2H1-2nH0

37、 H2 = 2H1-2nH0 = 42-2 = 42-2下面给出前几个厄密下面给出前几个厄密多项式具体表达式：多项式具体表达式：H H0 0=1 =1 H H2 2=4=42 2-2-2H H4 4 = 16 = 164 4-48-482 2+12+12H H1 1=2=2H H3 3=8=83 3-12-12H H5 5=32=325 5-160-1603 3+120+120基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)(x)的递推关系：的递推关系： )()2)(1()() 12()() 1()()()()()()2)(1()() 12()()

38、 1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn 第四十页，共66页。（5 5）求归一化系数）求归一化系数(xsh)(xsh) ( 分分 步步 积积 分分 )该式第一项是一个该式第一项是一个(y (y )多项式与多项式与 exp-2 exp-2 的的乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零。继续分步积分继续分步积分(jfn)到底到底因为因为H Hn n的最高次项的最高次项n n的系数是的系数是2 2n n，所以，所以d dn nH Hn n /d /d

39、n n = 2 = 2n n n! n!。于是归一化系数于是归一化系数则谐振子则谐振子波函数为：波函数为： 其其中中：)(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122 (I)(I)作变量代换，因为作变量代换，因为=x=x，所以所以d= dxd= dx；(II)(II)应用应用H Hn n()()的封闭形式。的封闭形式。 deHeHnnnnnnddnddNnddnNn)() 1()() 1(21122112 deHnnnddnddNn)() 1(21121 !2 nnnN 所所以以 deHdeHnnnnnnddddnNnddnnN)()1()()1(211222 d

40、eHnddNnnnnn22)() 1( !2!2) 1(2222ndennNnNnnn 第四十一页，共66页。（6 6）讨论）讨论(toln)(toln)3. 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0=1/2E0=1/2 0 0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是没

41、有波是没有(mi yu)(mi yu)意义的，零点能是量子效应。意义的，零点能是量子效应。expexp)1()(22 nnnnddH1 1。上式表明。上式表明(biomng)(biomng)，Hn()Hn()的最高次项是的最高次项是(2)n(2)n。所。所以：以： 当当 n=n=偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含的偶次项；的偶次项； 当当 n=n=奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2. 2. n n具有具有n n宇称宇称)(!2)(2/22xHenxnxnn 上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-exp-2 2/2/2是是的偶函数

42、，所以的偶函数，所以n n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 H Hn n() () 决定为决定为 n n 宇称。宇称。第四十二页，共66页。n = 0n = 1n = 24. 4. 波函数波函数然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是：0() = |0()|2 = 0() = |0()|2 = = N02 exp-2= N02 exp-2分析上式可知：一方面表明分析上式可知：一方面表明在在= 0= 0处找到粒子的几率最处找到粒子的几率最大；大；另一方面，在另一方面，在|1|1处，即处，即在阱外找到粒子的几率不为在阱外找到粒子的几率不为零，零

43、，与经典与经典(jngdin)(jngdin)情况完全情况完全不同。不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在| x| 1| x| V0 E V0 情况情况(qngkung)(qngkung) 区区区区区区IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211 因为因为 E 0, E V0, 所以所以(suy) k1 0, k2 0. 上面的方程可改写为：上面的方程可改写为： xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321 解解得得：上述三个区域的上述三个区域的 SchrodingerSchrodinger方程

44、可写为：方程可写为：第五十五页，共66页。定态波函数定态波函数1,2,3 1,2,3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-iEt/exp-iEt/ 即可看出：即可看出：式中第一项是沿式中第一项是沿x x正向正向(zhn xin)(zhn xin)传播的平面波，第二项是沿传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波。由负向传播的平面波。由于在于在 x a x a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0C=0，于是解为：，于是解为： xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321 利用波函数标准利用波函数标准(biozhn)条件来定系数。条件来

45、定系数。首先，首先， 解单值、有限条件满足。解单值、有限条件满足。1. 波函数连续波函数连续(linx)综合综合整理整理记之记之BBAAx )0()0(:021 BikBikAikAikx 221121)0( )0( :0 2. 波函数导数连续波函数导数连续 001221221221221aikaikaikaikaikaikCekeBkBekAkBkBkAkCeeBBeABBA波函数意义波函数意义aikaikaikCeeBBeaaax122)()(:32 aikaikaikCeikeBikBeikaaax12212232)( )( : 第五十六页，共66页。3. 3. 求解求解(qi ji)(

46、qi ji)线性方线性方程组程组4. 4. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解求解(qi ji)(qi ji)方程组得方程组得: :AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4 为了定量描述入射粒子为了定量描述入射粒子(lz)透射势垒的几率和被透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数：透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数D = JD

47、 = JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数R = JR = JR R/J/JI I其物理意义是其物理意义是：描述贯穿到：描述贯穿到 x a x a 的的 IIIIII区中的粒子在单位时间内流过垂区中的粒子在单位时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射区，另一部分则被势垒反射(fnsh)(fnsh)回来。回来。同理得反射系数：同理得反射系数：Aekkekkakk

48、kiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4 第五十九页，共66页。（2 2）E V0E V0情况情况(qngkung)(qngkung)故可令：故可令： k2=ik3k2=ik3， 其中其中(qzhng)k3=2(V0-E)/ (qzhng)k3=2(V0-E)/ 1/21/2。这样把前面公式中的这样把前面公式中的 k2 k2 换成换成 ik3 ik3 并注意到：并注意到： sin ik3a = i sinh k3asin ik3a = i sinh k3a2321322232132223212321

49、322232123214sinh)(sinh)(4sinh)(4kkakkkakkkRkkakkkkkD 即使即使(jsh) E V0(jsh) E V0，在一般情况下，透射系数，在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=2(E-V=2(E-V0 0)/ )/ 1/21/2，当，当 E E 1a 1时时444)(431331322412321241223212321 akkkkkakekkekkkkD)(2020220233133116EVakakkkkkaeDeDeD 故故4可略可略 akakakak

50、akeeeakee3333324122132)()(sinh, 则则：即即势势垒垒既既宽宽又又高高，于于是是透射系数则透射系数则变为：变为：41,13133123 akkkkkeak时时，且且当当必必大大于于因因为为粗略估计，认为粗略估计，认为 k1 k3 k1 k3 （相当于（相当于E V0/2E V0/2）, , 则则 D0 = 4D0 = 4是一常数。下面是一常数。下面(xi mian)(xi mian)通过实例来说明透射系数通过实例来说明透射系数 的量级大小。的量级大小。于是于是(ysh)：20020)(16161331VEVEDkkkk 第六十一页，共66页。例例1: 1: 入射粒子入射粒子(lz)(lz)为电子。为电子。设设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2，算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm