东莞市虎门中学--数列求通项的方法(完整版本)

1、高中数学常见求数列通项的方法 一公式法即是题目说清楚该数列是等比或者等差数列时，直接套用公式但是难点在于，一旦给出的条件，不是具体的数字而是字母参数时，就是对个人运算能力的考验1已知数列满足，求数列的通项公式；2 已知数列满足，求数列的通项公式；3 已知数列满足，求数列的通项公式；4已知数列满足 （），求数列的通项公式；二两式相减法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解此种类型，往往先求n=1的情况，得到基本的分数并且利用公式求解时，要注意对n分类讨论，观察是否满足通项，不满足就分开写，但若能合写时一定要合并例：已知数列的前n项和，求数列的通项公式1（珠海市2013届高三上学期期

2、末）已知正项数列的前项和为，且 （1）求的值及数列的通项公式； 2（江门市2013届高三上学期期末）设数列的前项和为，且对任意正整数，点在直线上求数列的通项公式；解：因为点在直线上，所以1分，当时，2分，两式相减得，即，3分又当时，4分所以是首项，公比的等比数列5分，的通项公式为6分（3）累加法：适合型的递推数列若，则 将式子列出后， 两边分别相加得 基础题：1已知数列满足，求数列的通项公式2已知数列满足，求数列的通项公式3设数列满足，求数列的通项公式中档题：1(2008江西文理)在数列中，则（ A ）A B C D（4）累乘法：适合 型的递推数列若，则两边分别相乘得，基础题：1在数列中，求数

3、列的通项公式2 已知数列满足，求数列的通项公式3已知数列满足，求4已知， ，求三待定系数法 适用于 型的递推数列解题基本步骤：1确定 2设等比数列，公比为3列出关系式 4比较系数求，5解得数列的通项公式 6解得数列的通项公式为了方便同学们更好地掌握待定系数法求通项，以下再进行分类1）常数型可转化为特殊数列a+k的形式求解一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=，从而构造出等比数列a+k不用硬记公式，学会对应系数就行1数列a满足a=1，,求数列a的通项公式解：由得设a，比较系数得解得是以为公比

4、，以为首项的等比数列2（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_3（2006 福建理 ）已知数列满足求数列的通项公式；2）指数型对于这种类型，方法往往是两边同时除以该指数幂，至于除以多少，则是根据下标同步的原则来决定（其中p，q均为常数，） （或,其中p，q, r均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决1已知数列满足， ，求解：将两边同除，得设，则令条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列因,点评：递推式为（pq为常数）时，可同除，得，令从而化归为（pq为常数）型 1 已知数列中，,，求2设数列的前项的和，求首项与

5、通项；3）一次函数二次函数或者混合型解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列而对于更普遍的 型的递推数列，都可以设等比数列，列出关系式比较系数求，解得数列的通项公式，再解得数列的通项公式例:设数列：，求1已知数列满足，求数列的通项公式解：设2 已知数列满足，求数列的通项公式解：设3已知数列满足，求数列的通项公式4已知数列满足，求数列的通项公式解：设 四连续迭代型：形如（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足例数列满足=0，求数列a的通项公式分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成

6、1和2，适当组合，可发现一个等比数列解：由得即，且是以2为公比，3为首项的等比数列利用累加法可得 = = = = 1已知数列满足，求数列的通项公式2（2006福建文22）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；五幂迭代型：形如 型的递推形式解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解1（东莞市2013届高三上学期期末）设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意都有 ,， (e是自然对数的底数，e=271828） (1)求数列的通项公式；解：（1）因为，当时，解得； 1分当时，有，由-得，（）而，所以（），即数列是等差数列，且又因为，且，取自然

7、对数得，由此可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以 1已知数列中，求数列2（2006,山东,理,22）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，证明数列lg(1+an)是等比数列；（提示：注意代入后，右边进行配方）六压轴难点之分式型递推公式类型一： 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为型求解1：已知，求通项 2（2006，江西理）已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式； 解：将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n³1） 3（2011广东理）设数列满足,2 练习1已

8、知数列满足时，求通项公式 2已知数列满足=1，求 （答：）两边同时除以式子右边的，得到等差数列）类型二： （可以用不动点法求通项）1不动点的定义：一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的不动点，或称为图像的不动点2不动点求通项解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中pqrh均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根时，则是等比数列例1 已知数列满足,求通项公式解 法1 特征方程，得=两边取倒数,有故=解得例2（2012高考全国卷）已知数列满足，求通项公式解 法1 特征方程为,解得,所以,两式相除有而,所以有,解得练习1已知数列满足性质：对于且求的通项公式 2已知数列满足：对于都有类型三： 设，且是的不动点，数列满足递推关系，则有；若，则