小学奥数难题巧解(1)

1、小学奥数难题巧解 (1) 1先分解再通分有的学生通分时用短除法， 找了许多数试除都不行， 而断定 57 和 76 为互质数。判断两个数是否互质，不必用2、3、5、,逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。57=3 19，如果 57 和 76 有公有的质因数，只可能是3 或 19。用 3、19 试除，57 ，76=19 3 4=228。26=2 13，65和 91是 13 的倍数。最小公分母为13 2 5 7=910。2推想与推断例如，3/17 的分子和分母同时加上什么数，因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17 分母同时扩大 14 2=

2、7( 倍) ，就是加上的数是 35-17=18 或 21-3=18。3统一单位11 分率的单位 “ 1” 不同，量的性质相异的题型，由于数量间运算无法直接实施，必须统一单位 “ 1” ，才能解答。吨? 分析：为了求出甲、 乙两堆煤的重量间的倍数关系，只须将其中一个量作为标准量，并以此为计量单位去度量另一个量。若甲堆煤的重量为单位若设乙堆煤的数量为单位 “ 1” ，则算式为解法二：观察线段图各有多少人 ? 部分人数，从而求出甲队的人数。乙队为 336-154=182(人) 。乙队- 甲队=(192-188 ) 7=28 ，甲队=(336- 28)2=154(人) ，,。4同分子法例 1 某水果商

3、店运来一批梨和桃子，其中梨比桃子多40 千克。已知梨通常用 “两数差与倍数 ”关系解：如果把相关的分数化为同分子的分数去分析数量关系问题比较容易解答。梨和桃的重量共为19 个等份，梨占 10份，桃子占 9 份，每份重 40 千克。梨：40 10=400( 千克) 桃：40 9=360( 千克) 可见，科技书和文艺书的相应份数分别为8 份和 5 份。然后用归一法求出科技书本数。例 3 两人分别从相距 224 千米的 ab两地同时相向而行， 因甲途中办事 1 小时而 6 小时后相遇并立即返回原地。当甲行2 小时，乙行 4 小时后，分别与ab两地距离相等，每小时各行多少千米? 所以5通用公式一般的平

4、面图形都可以用公式(a、b 互为两个平行的底边长， h 为两底间的距离 ) 例 1 一个三角形的底为6cm ，高为 4cm ，求面积。例 2 一个长方形长 8cm ，宽 2cm ，求面积。例 3 一个梯形的上底为12cm ，下底为 18cm ，高为 3cm ，求面积。例 4 一个平行四边形的底边长9cm ，高 5cm ，求面积。例 5 一个圆的周长是 12.56cm，半径是 2cm ，求圆的面积。例 6 一个圆环， 内圆周长 18.84cm，外圆周长 31.4cm，环宽 2cm ，求环形面积。例 7 求下图的面积。 ( 单位：厘米 ) 一般解法： 3.14 30=94.215.7 94.2=1

5、/6s=3.14 152 1/6=117.75(cm2) 6特殊值有些数学题， 按一般思路不易求解， 若从给出的特殊值入手， 紧扣条件和问题之间的联系，将会优化解题思路，很快找到解题捷径。例 1 如图，梯形 abcd 被它的一条对角线bd分为两部分， s dbc 比 s abd大 10cm2 。bc与 ad的和为 5cm ，差为 5cm ，求 s梯? 一般是借助 “辅助线 ”解。其实只要仔细分析题意， 利用给出的特殊条件可简捷求解。底，它们等高，由bc=2ad ，知 bdc=2 abd。所以s梯=10 (2+1)=30(cm)。例 2 设直角三角形的两条直角边分别为6 厘米和 8 厘米，用四个

6、这样的直角三角形拼成如图所示正方形，求大正方形的边长。此题用勾股定理求解10。通过观察可以发现， 大正方形和阴影部分小正方形的面积是条件和问题的联系纽带。小正方形的边长为直角三角形两条直角边之差 8-6=2(cm) ，大正方形面积为四个直角三角形的面积和小正方形面积的和。1/2 8 6 4+(8-6)2=100(cm2) 。这个面积是一个特殊值100=10 10，所以大正方形的边长为10cm 。例 3 四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形(如图) 大正方形的面积是 49 平方米，小正方形面积是4 平方米。问长方形的短边长度是几米?(第一届 “华罗庚金杯 ”少年数学邀请赛复赛题 )

7、 因为 4=2 2 ， 49 =77 ，所以小正方形边长2cm ，大正方形边长 7cm 。长方形长宽之和为7cm ，差为 2cm ，即从而可求得，宽为2.5cm。例 4 1992 年奥林匹克决赛题：一个正方形( 如图)，被分成四个长方形，他们的面积分别是图中阴影部分是一个正方形，那么它的面积是多少平方米。大正方形边长为 1 米。仔细观察还可发现小正方形的边长与长方形、的长和宽有关。只要求出 的长和 的宽即可求得小正方形的边长了。7顺推例 1 永明在去农安时速45 千米的客车上发现第一块里程碑上的数是ab;过了 1小时见第二块里程碑上的数是ba;又过了 1 小时， 见第三块里程碑上的数是a0b

8、。经研究很快明白了，这三块里程碑上的数分别是16、61、106。试说明算理 ? 思路一 ba 与 ab的差，只能是两位数或一位数。车匀速前进，b必大于 a。a0b与 ba的差必等于 ba与 ab的差，不会是三位数。a只能是 1，若是 2 以上的数，则 a0b与 ba的差肯定是三位数了。由下表知：思路二：由速度一定知ba-ab=a0b-ba 。写成十进数，化简(10b+a)-(10a + b)=(100a + b)-(10b+a) 10b+a-10a-b=100a+b-10b-a 9b-9a=99a-9b b=6a b是一位数，且只能是一位数。故a=1，b=6 。a和 b的数字确定了，其它随之出

9、现。例 2 美国小学数学奥林匹克 (19821983)第二次 2 题：1 个面包和 6 个鸡蛋价值 1.80 元，同样价格下， 2 个面包和 4 个鸡蛋价值 2.40 元。问 1 个面包多少钱。由 2 个面包和 4 个鸡蛋价值 2.40 元，可知， 1 个面包和 2 个鸡蛋价值 2.402=1.20( 元)。又由 1 个面包和 6 个鸡蛋价值 1.80 元，知 4 个鸡蛋价值 1.80-1.20=0.60( 元) 。所以 1 个面包价值 (2.40- 0.60) 2=0.90( 元) 。8奥数难题：竖式填空之巧填除法例题1 例 1 一个三位数， 其十位数字是 0，且能被一个一位数整除； 如果被

10、另一个一位数除则余 3。请填上所有适合的情况。9竖式填空之巧填除法例题3 例 4 第五册数学思考题：首尾观察：观察式 (1) ，知商的百位上是 6; 再观察式 (2) ，知商的个位上是2。则被除数为 4816。例 5 美国小学数学奥林匹克，第四次(1981 年 2 月) 题 5 ：在右边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，a和 b表示商的数字。求a和 b的值。 a b a b 由 b 5 =432，知 b=8;进而知 a 54= 6，a=3。10奥数难题：竖式填空之巧填乘法例题2 例 2 空，并确定被乘数小数点的位置。由积的末尾是 “ 30 ” ，知第一部分积为230；积的最高位是 “ 1” ，

11、第二部分积的最高上也为1；被乘数和第二部分积都是三位数，根据第二部分积的最高位上是1，可确定被乘数和乘数的最高位上也都为1；被乘数最低位上是 “ 5” ，而积的末尾是 0，乘数的最低位上可能是2、4、6、8 中的一个。由被乘数最高位上是1，第一部分积的最高位上是 “2”，知乘数的最低位上为 2；乘数是三位数，而只有两个部分积，知乘数的中间一位上为0；由被乘数最低位上是 “ 5” ，乘数的最低位上是2，第一部分积的末尾是30，知被乘数中间一位上为1；由被乘数和乘数，求出第二部分积115，终积 117.30；最后，由乘数是一位小数，积有两位小数，知被乘数为一位小数。即右式11奥数难题：竖式填空之巧

12、填乘法例题4 例 4 下式中每个 号，都只表示某个素数 ( 即 2、3、5、7) ，请你确定这个算式。由素数数码构成的三位数与一位素数相乘，积仅是由素数码构成的四位数，只有四种：325 7 2275 555 5 2775 755 5 3775 77532325 进一步，不难得到12奥数难题：竖式填空之巧填加法例题：最大两位数的和 200，和的最高位只能是1，b1； ab 10 ，方可形成进位。a9，c0。13牛吃草难题练习有三块草地，面积分别是5，15，24 亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，问第三块地可供多少

13、头牛吃 80 天？【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作1 份。因为第一块草地 5 亩面积原有草量 5 亩面积 30 天长的草 10 30300 份所以每亩面积原有草量和每亩面积30 天长的草是 300 560 份因为第二块草地 15 亩面积原有草量 15亩面积 45天长的草 28 451260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45 天长的草是 1260 1584 份所以 453015 天，每亩面积长 846024份所以，每亩面积每天长24 151.6 份所以，每亩原有草量6030 1.612 份第三块地面积是 24 亩，所以每天要长1.6 2438.4 份，

14、原有草就有 24 12288份新生长的每天就要用38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃 80 天，因此 288 803.6 头牛所以，一共需要 38.43.642 头牛来吃。两种解法：解法一：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩 30天的总草量为： 10*30/5=60；每亩 45 天的总草量为： 28*45/15=84 那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为 60-1.6*30=12，那么 24 亩原有草量为 12*24=288，24 亩 80 天新长草量为 24*1.6*80=3072，24 亩 80 天共有草量 3072+2

15、88=3360，所有 3360/80=42(头)。解法二： 10 头牛 30天吃 5 亩可推出 30 头牛 30 天吃 15 亩，根据 28 头牛 45 天吃 15 木，可以推出 15 亩每天新长草量 (28*45-30*30)/(45-30)=24；15 亩原有草量：1260-24*45=180；15 亩 80 天所需牛 180/80+24(头)24 亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42 头。14马吃草难题练习20 匹马 72 天可吃完 32 公顷牧草， 16 匹马 54 天可吃完 24 公顷的草假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同那么多少匹马36 天可吃

16、完 40 公顷的牧草？分析：同例 1 一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可设 1 匹马吃一天的草量为一份20 匹马 72 天吃 32 公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72 天新长的草量，可供20 72 32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上 72 天新长的草量为 45 份同样，由 16匹马 54 天吃 24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54 天新长的草量为 16 54 24=36份这两者的差正好对应了每公顷 72-54=18 天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决解： （1）每公顷每天新长的草量（20

17、72 32-1654 24） （72-54）=0.5（份）（2）每公顷原有草量20 72 32-0.572=9（份）或 16 54 24-0.554=9（份）（3）40 公顷原有草量9 40=360（份）（4）40 公顷 36天新长的草量0.5 36 40=720（份）（5）40 公顷的牧草 36天吃完所需马匹数（360+720） 36=30（匹）答：30匹马 36 天可吃完 40 公顷的牧草15交叉的梯子在两栋房屋之间的巷道里有两个梯子靠在墙上。ab 长 8m，cd 长 10m。两个梯子的交叉点距地面4m。请问这两栋房屋相距多远？分析与解答：这个题目历史悠久，但并不如想象的那么容易。根据勾股

18、定理，可得ac2102-a2=82-b2 因此 a2-b236 (1) 利用相似三角形的特性，可得：重新整理 (2)式得：将 b 代入(1)式得：整理之后得到下列四次方程式：a4-8a3-36a2 288a-5760 用试误法，或是更复杂的数值分析法，可以得到：9.25a9.255 因此 ac 3.8m还有一个类似的问题， 也是听起来简单， 但实际去做却相当困难： 用一条绳子把一只羊拴在一块圆形草地边缘的木桩上。如果羊只能吃到一半草地的草，绳子长度是多少？16奥数难题：同分母法吨? 都平均分成 15 份，甲库中的 9 份相当于乙库中的10 份，由此得出甲库与乙库的存粮数之比为10 9 。现有粮

19、乙库： 570-300=270(吨) 乙库原有粮： 570-400=170(吨) 17退法著名的我国数学家华罗庚指出，善于“退”，足够地 “退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍。(1) 从复杂退到简单千克，还剩下 20 千克。这袋米重多少千克? 后剩 19 2=38( 千克) 所求 40 2=80( 千克) (2) 从一般退到特殊例 2 一只轮船往返于甲、乙码头一次，问：静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长。这样的问题，一时很难作出解答。我们可以把问题足够地“退”，“退”到一种非常特殊的情况： 假定船速等于水速， 船在逆水航行时将停止不前。这就是说，船无论花费多长时间，也无法在这样的流水中完成两码头之间的往返航行。而在静水中航行的话，往返一次所花时间总是“往”(或“返”) 时的 2 倍。因此在流水中花的时间最长。如 时速 3 千米的一只小船，往返一段12 千米的行程。如果水时速1 千米，需几小时 ?若是静水，需几小时 ? (3) 从抽象退到具体此题比较抽象， 且由于“标准量 ”、“比较量 ”前后变化， 增加了题目难度。把它从抽象退到具体，不妨假设女生人数是30(所设数是 3 的倍数简18奥数难题：割补法还少 2 吨，这时，正好运完。这批货共几吨? 这批货是 10 吨。19统一单位12 临时