一元二次方程典型例题整理版

1、一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）a3（x+l）2 =2（x+l）b丄 + 丄-2 = 0cax1 4- + c = 0d + 2x = x2 +12、若方程（m4-2）x|w| +1 = 0是关于x的一元二次方程，则（）a. m - ±2 b. m=2c m -2d m ±23、关于x的一元二次方程（a1） x2+x+a21=0的一个根是0。则a的值为（a、 1b、-1c、 1 或一 1d、-24、若方程（m-l）x2 + ym x = 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是5、关于兀的方程3+0-2庆+处+

2、心。是一元二次方程的条件是（）a、qh1 b、2 c、qh1 且。工一2 d、。工1 或a#2专题二：一元二次方程的解典例分析:1、关于x的一元二次方程（a-2）x2 +x + / _4 = 0的一个根为0,则a的值为2、已知方程x2 +fcx-10 = 0的一根是2,则k为,另一根是3、已知a是兀2-3兀+ 1 = 0的根，则2cr -6a=。4、若方程ax2+bx+c=0(ao)中，a,b,c满足a+b+c=o和a-b+c=o,则方程的根是5、方程(a-b)x2 +(/?-c)x+c-a = 0的一个根为()a 1b 1c b-cd -a课堂练习：1、已知一元二次方程x2+3x+m=0的一

3、个根为t,则另一个根为2、已知x=l是一元二次方程x'+bx+5二0的一个解，求b的值及方程的另一个根.3、已知2y2+y 3的值为2,则4y2 +2 + 1的值为。4、已知关于x的一元二次方程启+加+ c = o(dho)的系数满足a + c = b ,则此方程必有一根为o专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：一、直接开平方法(1 -%)2 -9 = 0;二、配方法j?-2x-2 = 0.难度训练:k如果二次三项式f_2s + 1)x+16是一个完全平方式，那么加的值是2、试用配方法说明兀2_2兀+ 3的值恒大于0。3、已知兀2+ y?+4x-6y + 13 = 0,不y为实数，求

4、兀'的值。4、已知x、y为实数，求代数式f +)/+2x-4y+ 7的最小值。三、公式法1、 x2 2兀一8 = 02、 2x 5x + 1=0四、因式分解法1、x" = 2x 2、(无+ 1) (2x 3)=03、6x + 8 = 0五、整体思维法例：t2+/?2)2 -(672+/72)-6 = 0,w+/?2 =o变式 1:若(x+y)(2-x-y) + 3 = 0,则 x+y 的值为变式 2：若x2 +xy + j = 14 , y2 + x = 28 ,则 x+y 的值为_变式 3：已知(x2 + y2 +l)(x2 +y2 -3) = 5,则 x2 + y2 的值

5、等于专题四：一元二次方程中的代换思想(降次)典例分析：1、已知/_3兀+ 2二0,求代数式+1的值。2、如果x2+x-l = 0,那么代数式x3+2x2-7的值。324、已知。是-元二次方程/亠+ t的-根，求的值。专题五：根的判别式典例分析：1、若关于x的方程x2+2vx-1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是2、关于x的方程也2-6兀+ 1 = 0有两个不相等的实数根，则£的取值范围是()a、k>gb、£v9 且eh。c、<9d、匕9 且比工03、关于x的一元二次方程(m - l)x2 + 2tnx + m = 0有实数根，则m的取值范围是()a.

6、 m > q_blm 主 1b. m > 04、对于任意实数id,关于x的方程a.有两个正的实数根c.有一个正实数根、一个负实数根c. m 1d. m > 1一定()b.有两个负的实数根d.没有实数根课堂练习：1、已知关于兀的方程/+(2加+ 1)兀+加2十2 = 0有两个不等实根，试判断直线y = (2m - 3)x - 4m + 7能否通过a (2, 4),并说明理由。2、若关于x的方程滋2_4兀+ 3 = 0有实数根，则k的非负整数值是o3、已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是()a.b.c. 2 或d.4、已知a、b、c为aabc的三边，且关于x的一元二次

7、方程(c + b)x2 + v2(« - c)x- (tz - c) = 04有两个相等的实数根，那么这个三角形是o5、如果关于x的方程处2_2(加+ 2)兀+加+ 5二0没有实数根，那么关于x的方程(tn 一 5)x2 一 2(/77 + 2)x + 加=0 的实根个数是。6、已知关于x的方程/-伙+ 2)兀+ 2£ = 0(1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰a abc的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求a abc的周长。专题六：根与系数的关系(韦达定理)典例分析：一、常见变形1 若兀，兀是方程f +2x- 2007 = 0的两个根，试求下

8、列各式的值：(1) xj + 才；(2) i；(3) (xj 5)(x2 5) ；(4) | % x2 |.2、以1+"与1-77为根的一元二次方程是（）a. x?2兀6 = 0b.兀*"2 兀+ 6 = 0c）厂+2）； 6 = 0d4- 2y + 6 = 03、甲、乙两人同解一个一元二次方程，甲看错常数项，解得两根为8和2,乙看错一次项系数，解得两根为-9和-1,则这个方程是4、已知10、11是方程兀2 +1999兀 + 7 = 0 的两个根，则（m2+l 998m + 6）（n2 + 2000/? + 8） = （）a、 1990b、 1992c、 -1992d、 1

9、9995、方程x 5x + 2 = 0与方程x?+2x + 6二0的所有实数根的和为6、已知a,b是方程x2 -4x + m = 0的两个根，b,c是方程y2 -8j + 5m = 0的两个根，则m的值为o7、设方程3x2 -5x + m = 0的两根分别为x19x2,且6x! +x2 =0 ,那么m的值等于（）2 22a. -b. 2c. -d.-3 998、设石,兀2是方程x2 px + q = 0的两实根，兀+1,兀2+i是关于兀的方程x2+ p = 0的两实根，则“二, q二9、若方程2x2-伙+ l）x + £ + 3 = 0的两根之差为1,则r的值是 10、已知菱形abc

10、d的边长为5,两条对角线交于0点，且0a、0b的长分别是关于x的方程尢2+（2加一1）兀+加2+3 = 0的根，则加等于（）a. 3b. 5c 5 或3d一5 或3特殊技巧：1、已知tz2 - 2（2-1 = 0 , b2 -2z?-1 = 0,求a + b=变式：若21 = 0, b2-2b-l = 09 则-的值为ob a变式：已知实数a、b满足a2 =2-2a,b2 =2-2b9且ab,求-的值。 h a变式：若 abhl,且有5/ +201 la+ 9 = 09/?2+2011/? + 5 = 0 ,求纟的值。bh - 1 a -1变式：若实数b满足/_% + 5 = 0,胪-跖+ 5

11、 = 0,则匸齐尸的值是()丄a、-20b、2c、2 或一20d、2大题突破：1、已知一元二次方程(1) 当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2) 设 是方程的两个实数根，且满足，求m的值。2、已知关于x的方程+(2k-l)x + l = 0有两个不相等的实数根x.,x2,(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。3、已知关于兀的方程f一仗+ 1)兀+丄疋+=0,根据下列条件，分别求出比的值.4(1) 方程两实根的积为5；(2)方程的两实根壬,兀2满足ml二兀24、已知关于兀的一元二次方程x + (4加+ 1)兀

12、+ 2用一1 = 0(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 m，且满足丄+ - =求加的值.兀x225、已知旺,兀2是一元二次方程4肿-4也+ £ + 1 =0的两个实数根.(1) 是否存在实数使(2x,-x2 )(-2) = -成立？若存在，求出k的值；若不存在,请您说明理由.(2) 求使玉+玉-2的值为整数的实数£的整数值.6、已知关于兀的方程= 0的两个实数根的平方和等于11求证：关于兀的方程伙 _3)x2 + kiwc-m2 + 6加一4 = 0有实数根.巩固提髙：1、(2010南充)关于x的一元二次方程x2-3x-k =()

13、有两个不相等的实数根.(1) 求&的取值范围.(2) 请选择一个k的负整数值，并求出方程的根.2、(2011南充)关于的一元二次方程#+2x+&+l二0的实数解是石和忌(1) 求&的取值范围；(2) 如果x+x2-xx2<-且*为整数，求*的值。3、(2012.南充)关于x的一元二次方程x2+3x+m - 1=0的两个实数根分别为xi, x2.(1) 求m的取值范围；(2) 若 2 <x+x2) +xix2+10=0,求 m 的值.4、(2013四川南充，20, 8分)关于x的一元二次方程为(血一1) x2mx+n7+l=0(1) 求出方程的根；(2) 血为何整数时，此方程的两个根都为正整数？5、(2014南充)已知关于x的一元二次方程x2-2v2x+m=0,有两个不相等的实数根.(1) 求实数m的最大整数值；(2) 在(1)的条下，方程的实数根是x】，x2,求代数式x1