平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

1、贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料1 第五章平面向量题型 57 平面向量的概念及线性运算?知识点摘要：1.向量的定义： 既有大小又有方向的量叫做向量，一般用cba,来表示， 或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如ab（其中a为起点，b为终点）。2.向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作| a或| ab。3.零向量： 长度为 0 的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a共线（平行），即a0。4.单位向量： 模长为 1 个单位的向量叫做单位向量。当|a0 时，很明显| aa是与向量a共线（平行）的单位向量。5.相等向量： 大小相等，方向相同的向量，记为

2、ba。6.相反向量： 大小相等，方向相反的向量，向量a的相反向量记为a。7.共线向量（平行向量） ：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。一、向量的线性运算1.向量的加法：1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量ba,，在平面内任取一点a，作bbcaab,，则向量ac叫做向量a和b的和（或和向量） ，即acbcabba。1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图：1.3. 若向量ba,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量ba,共线时，只能用三角形法则。1.4.

3、三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料2 2.向量的减法：2.1. 向量a与b的相反向量之和叫做向量a与b的差或差向量，即)( baba。2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图：3.向量的数乘运算：3.1. 实数与向量a的积是一个向量，记为a，其长度与方向规定如下：|aa当0时，a与a的方向相同； 当0时，a与a的方向相反； 当0时，0a，方向不确定。3.2. 向量数乘运算的运算律:设，为实数，则aaa)(；aa)()(；baba)(。二、重要定理和性质1.共线向量基本定理：如果)(rba，则ba；反之，

4、如果ba且0b时，一定存在唯一实数，使ba。2.三点共线定理：平面内三点a,b,c共线的充要条件是，存在实数，使ocoboa,其中1，o为平面内任一点。即a,b,c三点共线ocoboa（1）?典型例题精讲精练：57.1 平面向量相关概念1.给出下列命题：若ab，b c，则 ac；若a， b，c，d 是不共线的四点，则ab dc是四边形 abcd 为平行四边形的充要条件； ab 的充要条件是|a|b |且 ab；若 ab，bc，则 ac；其中正确命题的序号是_答案 2.给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； a0( 为实数 )，则 必为零； ，为实数，若 a b，则 a 与 b

5、 共线其中错误的命题的个数为()d a0b1 c2 d3 贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料3 3.设 a0为单位向量，下列命题中：若a 为平面内的某个向量，则a|a| a0；若a 与 a0平行，则a|a|a0；若 a 与 a0平行且 |a|1，则 aa0，假命题的个数是()d a0 b1 c2 d 3 57.2.平面向量线性运算4.(2018 全国卷 )在 abc 中， ad 为 bc 边上的中线， e 为 ad 的中点，则eb()a a.34ab 14acb.14ab34acc.34ab14acd.14ab34ac5.如图，在直角梯形abcd 中， dc14ab， be2 ec

6、， 且 ae r absad ，则 2r3s()c a1 b2 c3 d4 6.设 d 为 abc 所在平面内一点，bc 3cd ，则 ()a a ad13ab43ac b ad13ab43acc ad43ab 13acd ad43ab13ac7.(2019 太原模拟 )在正方形abcd 中， m，n 分别是 bc，cd 的中点，若ac am an，则实数 _.答案：4357.3.共线向量定理的应用8.设两个非零向量a 与 b 不共线，(1)若 ab ab， bc2a8b， cd3a3b，求证： a，b，d 三点共线；(2)试确定实数k，使 k ab 和 ak b 同向【答案】 k1. 9.在

7、四边形abcd 中，aba2b，bc 4a b，cd 5a3b， 则四边形abcd 的形状是 ()c a矩形b平行四边形c梯形d以上都不对10.已知向量e10， r，ae1 e2，b2e1，若向量a 与向量 b 共线，则 ()d a 0 be20 ce1e2 de1e2或 0 11.已知 o 为 abc 内一点，且ao12( ob oc)， adt ac，若 b，o，d 三点共线，则t()b a.14b.13c.12d.23贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料4 12.已知 o， a，b 三点不共线， p 为该平面内一点，且op oaab| ab|，则 ()d a点 p 在线段 ab

8、 上b点 p 在线段 ab 的延长线上c点 p 在线段 ab 的反向延长线上d点 p 在射线 ab 上贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料5 题型 58 平面向量基本定理及向量的坐标表示?知识点摘要：?平面向量基本定理：1.如果21,ee是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数21，使得2211eea。2.基底：我们把不共线的向量21,ee叫做表示该平面内所有向量的一组基底，记为21,ee。2211ee叫做向量a关于基底 21,ee的分解式。3.平面向量基本定理又叫做平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础。?线段

9、定比分点的向量表达：如图，在 abc中，若点d 是边 bc上的点，且) 1(dcbd，则向量1acabad。?中线向量定理：如图，在 abc中，若点d 是边 bc的中点，则中线向量)(21acabad。?已知),(11yxa，),(22yxb坐标，那么向量),(1212yyxxab?平面向量坐标运算：设),(),(2211yxbyxa则：1.加法：),(2121yyxxba；2.减法：),(2121yyxxba；3.数乘：)()(1111yxyxa，；4.模长：2121|yxa，2222|yxb。贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料6 ?典型例题精讲精练：58.1.平面向量基本定理及

10、其应用1.如图，以向量oaa， obb 为邻边作平行四边形oadb， bm13bc， cn13cd ，用 a，b 表示 om， on ， mn. 【答案】 om 16a56b； on oc13cd； mn 12a16b. 2.在 abc 中，p，q 分别是 ab，bc 的三等分点， 且 ap13ab，bq13bc， 若 ab a， acb ，则 pq()a a.13a13bb13a13b c.13a13bd13a13b3.已知在 abc 中，点 o 满足 oa ob oc0，点 p 是 oc 上异于端点的任意一点，且 opm oan ob，则 mn 的取值范围是 _答案： (2,0) 58.2

11、. 平面向量坐标运算4.已知 a(2,4)，b(3， 1)，c(3， 4)设 aba， bcb， cac，且 cm3c， cn 2b，(1)求 3ab3c；(2)求 m，n 的坐标及向量mn的坐标【答案】 (6， 42)； m(0,20)；n(9,2)； mn(9， 18)。5.已知 o 为坐标原点，向量oa(2,3)， ob(4， 1)，且 ap3 pb，则 |op| _.答案 ：7258.3.平面向量共线的坐标表示6.已知 a(1,0)， b (2,1)(1)当 k 为何值时， ka b 与 a2b 共线；(2)若 ab 2a3b， bc amb，且 a，b，c 三点共线，求m 的值【答案

12、】 k12；m32. 7.已知向量a (1,2)，b(3,2)，若 (kab)(a 3b)，则实数k 的取值为 ()a a13b.13c 3 d3 8.(2019 唐山模拟 )已知在平面直角坐标系xoy 中，p1(3,1)，p2(1,3)，p1，p2，p3三点共线且向量op3与贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料7 向量 a(1， 1)共线，若 op3 op1(1 )op2，则 ()d a 3 b3 c1 d 1 9.在梯形 abcd 中，abcd， 且 dc2ab， 三个顶点a(1,2)， b(2,1)， c(4,2)， 则点 d 的坐标为 _【答案：】(2,4) 题型 59 平面

13、向量基本定理及向量的坐标表示?知识点摘要：贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料8 ?向量的夹角： 已知两个非零向量ba,， 记bobaoa,， 则）（0aob叫做向量a与b的夹角，记为ba,，,0,ba。?向量的数量积：baba,cos|叫做向量a与b的数量积（或内积） 。读作a点乘b，记作ba，即：bababa,cos|。?向量数量积坐标表示:设非零向量),(),(2211yxbyxa，则2121yyxxba。?向量数量积的几何意义：1.投影：向量a在b方向上的投影cos|a；向量b在a方向上的投影cos| b。2.数量积几何意义：数量积ba等于a的模长| a与b在a方向上的投影c

14、os|b的乘积。即：bababa,cos|。?平面向量数量积的重要性质：1.性质 1.cos| aeaae， （e为单位向量）；2.性质 2.002121yyxxbaba；3.性质 3.当ba,同向时，|baba；当ba,反向时，|baba；4.性质 4.22|aaaa；22|a|aa；性质 4 可推广至cos|2|2)(|22222babababababacos|2|2)(|22222babababababa5.性质 5.222221212121|cosyxyxyyxxbaba；6.性质 6.|baba。?平面向量数量积满足的运算律：abba（交换律）；cbcacba)(（分配律）；baba

15、)(（为实数）；数量积运算不满足结合律，)()(cbacba，不可约分caba不能推出cb。?两个重要的结论：1.1221yxyxbaba贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料9 2.002121yyxxbaba?典型例题精讲精练：59.1.平面向量的数量积运算1.(2018 新乡二模 )若向量 m(2k1，k)与向量 n (4,1)共线，则m n()d a0b4 c92d1722.(2018 天津高考 )在如图所示的平面图形中，已知om1，on2， mon 120 ， bm 2ma， cn2 na，则 bc om的值为 ()c a 15 b 9 c 6 d0 3.(2019 济南模拟

16、 )已知矩形 abcd 中， ab2，bc1，则 ac cb()b a1b 1 c. 6 d22 4.(2019 南昌调研 )已知向量 a，b 满足 a (ba)2，且 a(1,2)，则向量 b 在 a 方向上的投影为()d a.55b55c255d3555.(2018 石家庄质检 )在 abc 中，已知 ab与 ac的夹角为90 ，| ab|2，| ac|1，m 为 bc 上的一点，且 am ab ac ( ， r)，且 am bc0，则的值为 _答案 ：1459.2.考点二平面向量数量积的性质6.(2019 昆明适应性检测)已知非零向量a， b 满足 a b0， |a| 3， 且 a 与

17、ab 的夹角为4， 则|b|()d a6b3 2c2 2 d3 7.(2019 福州四校联考 )已知向量a，b 为单位向量，且a b12，向量 c 与 ab 共线，则 |ac|的最小值为 ()d a1 b.12c.34d.328.已知平面向量a，b 的夹角为3，且 |a| 1，|b|12，则 a 2b 与 b 的夹角是 ()a a.6b.56c.4d.349.已知向量a (1，3)，b (3， m)且 b 在 a 方向上的投影为3，则向量a 与 b 的夹角为 _。2310.若非零向量a，b 满足 |a|223|b|，且 (ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为 ()a a.4b.2c.3

18、4d 11.已知向量ab 与 ac的夹角为120 ，且 | ab |3，| ac|2.若 ap ab ac，且 ap bc，则实贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料1 0数 的值为 _7/1212.(2018 深圳高级中学期中)已知向量m ( 1,1)， n( 2,2)，若 (mn)(m n)，则 ()b a 4b 3 c 2 d 1 13.(2018 永州二模 )已知非零向量a，b 的夹角为60 ，且 |b|1， |2ab|1，则 |a|()a a.12b1 c.2 d2 14.(2019 益阳、湘潭调研)已知向量a，b 满足 |a|1，|b|2，ab(1，3)，记向量a，b 的夹

19、角为 ，则 tan _.答案： 15题型 60 平面向量的综合应用?典型例题精讲精练：60.1. 平面向量与平面几何1.(2019 石家庄模拟 )在平行四边形abcd 中， | ab|12，|ad|8.若点 m，n 满足 bm3mc， dn贾老师高考数学一轮复习【题型归纳】系列辅导资料1 12 nc ，则 am nm()c a20b15 c36 d 6 2.若 o 为 abc 所在平面内任一点，且满足( ob oc) ( ob oc2 oa)0，则 abc 的形状为()a a等腰三角形b直角三角形c正三角形d等腰直角三角形3.(2018 西安质检 )已知 p 为 abc 所在平面内一点，ab pb pc0， | ab| pb| pc|2，则abc 的面积等于 ()b a.3b2 3c33 d4 3 4.如图，在扇形oab 中， oa 2， aob90 ，m 是 oa 的中点，点p 在弧 ab 上，则 pm pb的最小值为 _答案： 425 60.2.平面向量与解析几何5.(2017 江苏