弹性力学讲义学习教案

1、会计学1弹性力学弹性力学(l xu)讲义讲义第一页，共70页。第七章 空间问题的基本(jbn)理论 在空间(kngjin)问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解(qi ji)和按应力求解(qi ji)的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。第1页/共69页第二页，共70页。取出微小(wixio)的平行六面体， ，zyxvdddd 考虑(kol)其平衡条件:, 0 xF, 0yF; 0zF, 0 xM,0yM. 0zM(a) (b)平衡条件7-1 7-1 平微平微第2页/共69页第三页，共

2、70页。第3页/共69页第四页，共70页。 由x 轴向投影(tuyng)的平衡微分方程 , )( ),( . 0czyxfzyxxzxyxx平衡(pnghng)微分方程0 xF得因 x , y , z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。所以式(a)的其余(qy)两式可通过式(c)的坐标轮换得到。第4页/共69页第五页，共70页。由三个力矩方程(fngchng)得到三个切应力互等定理， 0 xMzyyz，。(x, y , z) (d) 空间问题(wnt)的平衡微分方程精确到三阶微量。)dd(dzyx平衡(pnghng)微分方程第5页/

3、共69页第六页，共70页。思考题 在图中，若点o的x向正应力分量(fn ling)为 ，试表示点A , B的正应力分量(fn ling)。xxd zd xAd yoyBz第6页/共69页第七页，共70页。 在空间问题(wnt)中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量 ，来求出斜面(法线 ）上的应力。xyz斜面(ximin)应力n第7页/共69页第八页，共70页。斜面(ximin)全应力p可表示为两种分量形式：),(zyxppppp沿坐标沿坐标(zubio)向分量向分量:p沿法向和切向分量沿法向和切向分量(fn ling):斜面应力),(nnp第8页/共69页第九页，共70页。 取出如图的包含(b

4、ohn)斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的平衡条件 ，得出坐标向的应力(yngl)分量,1. 求),(0zyxFx)(),( . azyxnmlpzxyxxx),(zyxppppzyxppp第9页/共69页第十页，共70页。第10页/共69页第十一页，共70页。2. 求),(nnp将),(zyxpppp向法向 投影(tuyng)，即得zyxnnpmplpnn)( . 222222blmnlmnnmlxyzxyzzyx, 222222nnzyxpppp)( . 22222cpppnzyxnn第11页/共69页第十二页，共70页。

5、 从式(b)、(c )可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后(zhhu)，任一斜面上的应力也就完全确定了。nn第12页/共69页第十三页，共70页。 设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。这时，斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而(cng r)得出空间问题的应力边界条件:3. 在 上的应力(yngl)边界条件s,zyxfffs),(zyxppp),(zyxfff)( )( ),( . )(dSzyxfnmlxszxyxx上在应力(yngl)边界条件第13页/共69页第十四页，共70页。 式(b), (c) 用于V内任一点，表示(biosh)斜面应力

6、与坐标面应力之间的关系； 注意注意(zh y): s 式(d)只用于 边界点上，表示边界面上的面力与坐标(zubio)面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。第14页/共69页第十五页，共70页。1.假设(jish) 面(l , m , n)为主面，则此斜面上n . , 0pnn斜面(ximin)上沿坐标向的应力分量为 代入 , 得到zyxppp,)(,anmlnmlnmlnmlyzxzzxyzyyzxyxx。. , ,npmplpzyx斜面(ximin)应力第15页/共69页第十六页，共70页。考虑(kol)方向余弦关系式,有. 1222nml式(a) , (b)是求主应力及其

7、方向余弦(yxin)的方程。(b)第16页/共69页第十七页，共70页。2. 求主应力求主应力 将式(a)改写(gixi)为。0)(, 0)(, 0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx求主应力第17页/共69页第十八页，共70页。 上式是求解l , m , n的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数(xsh)行列式必须为零，得, 0zyzxzzyyxyzxyxx展开(zhn ki)，即得求主应力的方程,求主应力第18页/共69页第十九页，共70页。23)(zyxxyzxyzyxxzzy)(222. 0)2(222xyzxyzxyzzxyyzxzyx( c )求

8、主应力第19页/共69页第二十页，共70页。 设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理(zhngl)后得1111,nml)( 0)(, 0)(1111111111dlnlmlnlmxyzyyxzxyx。应力(yngl)主向第20页/共69页第二十一页，共70页。由上两式解出 。然后(rnhu)由式(b)得出1111,lnlm)(.)()(112112111elnlml应力(yngl)主向再求出 及 。1m1n第21页/共69页第二十二页，共70页。4. 4. 一点至少存在着三个互相一点至少存在着三个互相(h xing)(h xing)垂直垂直的主应力的主应力321,（证明(zhngm

9、ng)见书上）。第22页/共69页第二十三页，共70页。 若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式(gnsh)方程表示为，)( . 0)()(321f 因式(c) 和( f )是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而(cng r)得出应力(yngl)不变量321,第23页/共69页第二十四页，共70页。.2222321322213322123211xyzxyzxyzzxyyzxzyxxyzxyzyxxzzyzyx,(g)应力(yngl)不变量第24页/共69页第二十五页，共70页。 分别称 为第一、二、三应力不变量。这些(zhxi)不变量常用于塑性力学之中。 式(g)中的各式，

10、左边是不随坐标(zubio)选择而变的； 而右边各项虽与坐标(zubio)的选择有关，但其和也应与坐标(zubio)选择无关。 321,第25页/共69页第二十六页，共70页。6.关于(guny)一点应力状态的结论：六个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要六个坐标面上的应力 分量确定了，则通过(tnggu)此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着三个互相(h xing)垂直的应力主面及 主应力。一点应力状态第26页/共69页第二十七页，共70页。(3) 三个主应力包含(bohn)了此点的最大和最小 正应力。 （4）一点存在(cnzi)三个应力不变量.321,（5）

11、最大和最小切应力为 ， 作用于通过中间 主应力、并且“平分(pngfn)最大和最小正应 力的夹角”的平面上。231 321 设第27页/共69页第二十八页，共70页。思考题1.试考虑：对于平面问题若 则此点所有的正应力(yngl)均为 ,切应力(yngl)均 为0，即存在无数多的主应力(yngl)。,212. 试考虑：对于(duy)空间问题若 则此点所有的正应力均为 ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。,321第28页/共69页第二十九页，共70页。 空间问题的几何方程，可以(ky)从平面问题推广得出：,xux.zvywyz),;,(wvuzyx(a)几何(j h)方程第29页/共69页第

12、三十页，共70页。 从几何方程同样(tngyng)可得出形变与位移之间的关系： 若位移若位移(wiy)确定，则形变完全确定。确定，则形变完全确定。几何(j h)方程 从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。第30页/共69页第三十一页，共70页。沿x , y , z 向的刚体(gngt)平移； 若形变若形变(xngbin)确定，则位移不完全确定确定，则位移不完全确定。 由形变(xngbin)求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若 ，还存在对应的位移分量为0yzx),(zyx .0yzuuzy),;,(wvuzyx(b)000,wvu几何方程zyx,绕x , y , z轴的刚

13、体转动角度。第31页/共69页第三十二页，共70页。 若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间(kngjin)问题的位移边界条件为uswvu,。uus)(),(wvu( c )位移(wiy)边界条件第32页/共69页第三十三页，共70页。zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)1)(1)(1 (zyx.zyx(d)其中由于(yuy)小变形假定，略去形变的二、三次幂。体积(tj)应变体积应变体积应变(yngbin)定义为定义为dvdvvd第33页/共69页第三十四页，共70页。 空间问题空间问题(wnt)的物理方程的物理方程 可表示为两种形式：可表示为两种形式： 应

14、变用应力表示应变用应力表示(biosh)，用于按位移求解，用于按位移求解方法：方法：),(1zyxxE。yzyzE)1(2( x ,y ,z ) (e)物理(wl)方程第34页/共69页第三十五页，共70页。 应力用应变表示，用于按应力求解应力用应变表示，用于按应力求解(qi ji)方法：方法：),21(1xxE.)1 (yzyzE (x ,y , z) ( f )由物理方程(fngchng)可以导出,21E（g） 是第一应力不变量，又称为(chn wi)体积应力。21E 称为体积模量。第35页/共69页第三十六页，共70页。 结论： 空间问题(wnt)的应力，形变，位移等十五个未知函数，它们

15、都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论(jiln)第36页/共69页第三十七页，共70页。思考题 若形变(xngbin)分量为零， 试导出对应的位移分量（7-17）。, )( 0 x,y,zyzx第37页/共69页第三十八页，共70页。 空间(kngjin)轴对称问题 采用柱坐标(zubio)表示。),(z轴对称问题(wnt) 如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。第38页/共69页第三十九页，共70页。 对于空间(kngjin)轴对称问题

16、：所有物理量仅为(,z)的函数。应力(yngl)中只有,zz。0;0;0uzz(a)形变(xngbin)中只有,zz位移中只有,zuu轴对称问题第39页/共69页第四十页，共70页。而由, 0F得出(d ch)为 。 )( 0 , 0, 0 , 0bfzFfzFzzzzZz。平衡平衡(pnghng)微分方程：微分方程：第40页/共69页第四十一页，共70页。 几何几何(j h)方程：方程：其中(qzhng), 00zu，几何(j h)方程为)( , , ,czuuzuuuzzzz。第41页/共69页第四十二页，共70页。物理物理(wl)方程：方程：应变用应力(yngl)表示：。，（zzZEzE

17、)1 (2),)(1(d)第42页/共69页第四十三页，共70页。 应力(yngl)用应变表示：)( ,)1(2),)21(1eEzEzz，（其中(qzhng)。zuuuzz第43页/共69页第四十四页，共70页。边界条件：边界条件： 一般一般(ybn)用柱坐标表示时，边界面均用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。为坐标面。所以边界条件也十分简单。 在柱坐标中，坐标分量 的量纲，方向性，坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应(xingyng)的方程不具有对等性。z ,第44页/共69页第四十五页，共70页。思考题 试由空间轴对称问题的基本方程(fngchng)，简化导出平面

18、轴对称问题的基本方程(fngchng)。第45页/共69页第四十六页，共70页。例题(lt)1例题(lt)2例题3第46页/共69页第四十七页，共70页。例题(lt) 1设物体(wt)的边界面方程为F（x, y, z) = 0 , 试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力(ll)q(x, y, z), 应力边界条件是什么形式？第47页/共69页第四十八页，共70页。,/kFnxx（x, y, z)其中(qzhng)。2/1222,zyxxFFFkxFF解：当物体的边界面方程为F（x, y, z) = 0 时，它的表面(biomin)法线的方向余弦 为zyxnnn,第48页/共69页第

19、四十九页，共70页。当面(dng min)力为法向分布拉力q时，.lqfx(x, y, z)因此(ync)，应力边界条件为)( . x,y,zqFFFFxszxzxyyxx代入应力(yngl)边界条件，得。 xszxzyxyxxfkFFF(x, y, z)第49页/共69页第五十页，共70页。例题(lt) 2 试求图示弹性体中的应力分量，(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。第50页/共69页第五十一页，共70页。qqooxxzz图7-4第51页/共69页第五十二页，共70页。解：图示的(a),(b

20、)两问题(wnt)是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。对于(a)，有约束条件，；对于(b)，有对称条件。而两者的，因此，由物理方程，yx 0yxqz0yx第52页/共69页第五十三页，共70页。即可解出.11, 0)(1, 0)(1qEEzyxzxyyzyxx第53页/共69页第五十四页，共70页。例题(lt) 图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。xyobbaaz图7-5P第54页/共69页第五十五页，共70页。解：本题是空间问题，z=0的表面是小边 界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面

21、边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向(fngxing)一致。 由于面力的主矢量和主矩是给定的， 因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；第55页/共69页第五十六页，共70页。 而面力主(l zh)矢量和主矩的方向，就是应力主(l zh)矢量和主矩的方向。应力主(l zh)矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。 对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括(boku)六个条件。对于图示问题这六个积分的边界条件是：第56页/共69页第五十七页，共70页。. 0dd)()( :,dd)( :,dd)(

22、 :;dd)( :, 0dd)( :, 0dd)( :0000000 yxyxMFayxxMFbyxyMFyxFyxFyxFzzxzaabbzyzzaabbzyzaabbzxzaabbzzzaabbzyyzaabbzxx第57页/共69页第五十八页，共70页。7-1 答案(d n).3231 ,3122nn7-2 提示： 原(x,y,z)的点移动(ydng)到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。7-3 见本书的叙述(xsh)。第58页/共69页第五十九页，共70页。7-4 空间轴对称问题比平面(pngmin)轴对称问题 增加了一些应力、形变和

23、位移，应 考虑它们在导出方程时的贡献。7-5 对于一般的空间问题，柱坐标中的全 部应力、形变和位移分量都存在，且 它们(t men)均为 的函数。在列方程时 应考虑它们(t men)的贡献。z ,第59页/共69页第六十页，共70页。 (一)本章(bn zhn)学习的重点及要求 1. 研究弹性力学问题(wnt),可以从一般问题(wnt)到特殊问题(wnt),如从空间问题(wnt)到平面问题(wnt)。也可以由特殊问题(wnt)到一般问题(wnt)。本书就是先研究平面问题(wnt)，然后再研究空间问题(wnt)的。这样可以由浅入深，循序渐进，便于理解。 第60页/共69页第六十一页，共70页。

24、弹性力学中的各种( zhn)问题，都具有相似性，其未知函数，基本方程和边界条件，以及求解的方法都是类似的。我们可以把空间问题看成是平面问题的推广。 2. 直角坐标系(x,y,z)中一般(ybn)的空间问题，包含有15个未知函数（6个应力分量，6个应变分量及3个位移分量），且它们均为三个坐标变量(x,y,z)的函数。区域内的基本方程也是15个，即3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程。在边界上的应力边界条件或位移边界条件均为3个。这些第61页/共69页第六十二页，共70页。方程和边界条件当然(dngrn)可以根据有关条件导出，但也可以从平面问题推广而来。 3.在柱坐标系 中的空间轴对称问题，也可以看成是平面轴对称问题的推广。空间轴对称问题包含有十个未知函数（4个应力分量，4个应变分量及2个位移分量）,它们都是 的函数。在空间轴对称问题中，区域内共有(n yu)十个基本方程（2个平衡微分方程，4个几何方程及4个物理方程），在边界上个有两个应力或位移边界条件。),(z),(z第62页/共69页第六十三页，共70页。 (二）本章(bn zhn)内容提要 1. 直角坐标系(x,y,z)中的一般空间问题，其基本方程及边界条件具有对等性，可将下标、导数和物理量等按（ x,y,z ）轮换的方式得出(d ch)其余表达式。 平衡(pnghng)