二项式分布及应用

1、二项式分布及应用二项式分布及应用1 、条件概率及其性质(1) 条件概率的定义设A , B为两个事件，且 P (A )>0，称P (B|A)= 为在事件A发生的条件下，事件 B 发生的概率。(2) 条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率型概率公式，即P(B|A)= 。(3) 条件概率的性质 条件概率具有一般概率的性质，即OW P (B|A) < 1。 如果 B 和 C 是两个互斥事件，那么 P (B ?C|A)= 。2 、事件的相互独立性(1) 设 A ， B 为两个事件，如果 P (AB )= ，那么称事件 A 与事件 B 相互独立。(2) 如果事件 A

2、 与 B 相互独立，那么 与 ， 与， 与也相互独立。思考探究 “相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥。3 、二项分布在 n 次独立事件重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X ，在每次试验中事件 A 发生 的概率为 p , 那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P (X=k )= (k=O,1,2, ， n ) .此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 ，并称 为成功概率。夯实双基1 、判断下面结论是否正确(打“V”或“ X”)。1)

3、若事件 A ，B 相互独立，则 P (B|A)=P(B )o(2)P (B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率； P (BA ) 表示事件 A ， B 同时发生的概率，一定有 P (AB )=P(A ) ?P (B ) 。k k( 3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X=k )=C n p (1-p ) n -k ,k =0,1,2, , n表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布。(4) 二项分布是一个概率分布列，其公式相当于 (a +b ) 二项分布展开式的通项公式， 其中 a =p , b =1-p 。2 、每次试验

4、成功率为 p (033p 3(1-p ) B、C 10p 3(1-p ) A 、C 1073nC 、p 3(1-p ) D 、 p 7(1-p )3 、( 2019，全国卷)某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率 是 0.75 ，连续两天为优良的概率是 0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气 质量为优良的概率是( )。A 、0.8 B 、0.75 C 、0.6 D 、0.454 、某种种子每粒发芽的概率都为 0.9 ，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每 粒需再补中 2 粒，补种的种子数记为 X ，则 X 的数学期望为( )。A 、100 B 、200

5、C 、300 D 、400?1?5、设随机变量 X B 6, ?, 则 P (X=3)= 。 ?2?73题型一 条件概率例 1 在一次业余歌手综合素质测评中，有一道把我国四大文学名著水浒传三国 演义西游记红楼梦与它们的作者连线的题目，每连对一个得 3 分，连错不得分。 一位歌手该题得E分。(1) 求该歌手得分不少于 6 分的概率。(2) 求该歌手得分不少于为 6 分，求该歌手连对水浒传三国演义的概率。思考 1： 在 100 件产品中有 95 件合格品， 5 件不合格品。现从中不放回地取两次。 每次人去一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为 。题型二 事件相互独立性11 例

6、2：甲乙 2 个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和， 34 求：（ 1）2 个人都译出密码的概率。（2）2 个人都译不出密码的概率，（3）恰有 1 个人译出密码的概率。（4）至多一个人译出密码的概率。（5）至少一个人译出密码的概率。思考题 2：甲乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8 ，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）两人中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率。题型三 独立重复试验与二项分布例 3 （ 1 ）在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注 了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿

7、21x 轴移动的概率是，沿 y 轴移动的概率是，则该智能汽车移动 6 次恰好移动 33 到点（ 3,3 ）的概率为 。（2）一带装有 5 个白球， 3 个红球，则从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜 色，然后放回，直到红球出现 10 次停止，有 X 表示取球的次数，则 P （X =12）= 。思考题 3 有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装 5 只颜色各异 的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为 0.5. 若一个面上至少 3 只灯发光，则不需要维修， 否则需要维修这个面。（1）求恰好有两个面需要维修的概率；（2）求至少 3 个面需要维修的概率，例 4 ：一款击鼓小游戏的规则如

8、下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一 次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现二次音 乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 2001 分（即获得 -200 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求 X 的分布列。（2）玩三盘游戏，至少一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有 增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。思考 4:乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 7局 4

9、胜制（即先胜 4 局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同。（1）求甲以 4比 1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5 局的概率；（3）求比赛局数的分布列。变式训练：甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 52 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为， 31 乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立。 3（1）求甲在以 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；（2）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）。二项分布及其应用1 、某道路的 A,B,C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分

10、别为 25 秒， 35秒， 45 秒。某车辆在这条路上行驶时，三处都不停车的概率为（ ）。A 、 35/192 B 、25/192 C 、55/192 D 、65/1922 、一个盒子里有 6 只好晶体管， 4 只坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不 放回，已知第一支是好晶体管，则第二只也是好晶体管的概率为（ ）。A 、2/3 B 、5/12 C 、5/9 D 、7/9?1?3、已知随机变量EB 6, ?，贝V P （ E =2）等于（）。？3?A 、 3/16 B 、 1/243 C 、 13/243 D 、 80/2434 、若 X B （5,0.1），则 P （X < 2）等

11、于（）。A 、 0.665 B 、 0.00856 C 、 0.91854 D 、 0.991446 建装5 、某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是，现把这种零件每 成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是（ ）。1C 61 ?99?2?1?A 、B 、0.01 C D 、1-C 6 ?100?100?100?100?6521?1 - ? 100?46 、箱子里有 5 个黑球， 4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子， 重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为（ ）。31C 5C 31 ?5?4?5?41A 、 44 B 、 ? ? C

12、 、? D 、C 4? ? ? 54C 5?9?9?9?9337 、如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两 个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）。A 、4/9 B 、2/9 C 、2/3 D 、1/358 、设随机变量 XB （2, p ）, YB （4, p ），若P （X > 1）=，贝V P （Y >2）的值为9（ ）。A 、 32/81 B 、 11/27 C 、 65/81 D 、 16/819 、如图所示，用 K , A 1, A 2 三类不同的元件连接成一个系统，当 K 正常工作且 A 1, A 2 至少一个正常工作时，系统正常工作

13、，已知 K , A 1, A 2 正常工作的概率依次为 0.9， 0.8， 0.8，贝系统正常工作的概率为（A 、 0.960 B 、 0.864C 、 0.720 D 、 0.57610 、口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定? -1, 第 n 次摸取红球， a n = ?义数列 a n ：如果 S n 为数列 a n 的前 n 项和， 那么 S 7=3 的? 1，第 n 次摸取白球。概率为（ ）。25252525 ?1?2?2?2?1?4?2?1?3?1?2?A、C ? ? B 、 C 7 CD 、 C C 7 7 ? ? ? ? ?3?3?3?3?3?3?3

14、?3?5711 、在 4次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同，若事件 A 至少发生一次的概率为，贝事件 A 在 1 次试验中出现的概率为 .12 、甲乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要 再赢二局才能得冠军。若两队胜局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 .13 、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20 层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用E表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则 P （ E =4）=.14 、某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止

15、答题，竟级下一轮，假设选手正确回答问题的概率都是0.8 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4个问题就晋级下一轮的概率等于 15 、某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用 A ， B,C 三种人工降雨方式 分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨。其实验数据统计如下：假设对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的 统计数据。（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率。（2）考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨大到理想状态，记“甲、乙、丙三地达到理想状态的个数”为随 机变量E,求随机变量E的分布列和数学期望 E

16、 （ E ）。16 、中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四场者获胜），进入总决 赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛 的结果相互独立，现已赛完两场，乙对以 2： 0暂时领先。（1）求这次比赛甲队获胜的概率；（2） 设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求 X 的分布列和数学期望。17 、某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲 组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B 。设甲乙两组的研发相互独立。（1） 求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品

17、 B 研发成功，预 计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望。随机变量与方差题型一 期望、方差的性质求51 例1:设随机变量E具有分布P ( E =k )=, k =1,2,3, 4,5,E (3 E +2), D (2 E -1), o ( E -1)。思考题 1 ：( 1)设非零常数 d 是等差数列 x 1, x 2, x 3, , x 19的公差，随机变量 E 等可能地取值 x 1, x 2, x 3, , x 19，则方差 D ( E )=.(2)袋中有20个大小相同的球，其中记上 0号的有10个，记上n号的有n个(n=1, 2, 3, 4).现从袋中任取一个球

18、，E表示所取球的球号。 求 E 的分布列、期望和方差； 若 n =a E +b , E ( n )=1, D ( n )=11，试求 a , b 的值。题型二 期望与方差的计算例 2：一口袋中装有大小相同的 2个白球和 4个黑球,每次从袋中任意摸出一个球。(1) 采取有放回抽样方式,从中摸出两个球,求两个球恰好颜色不同的概率。(2) 采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的均值和方差。思考题 2：某大学志愿者协会有 6名男同学, 4名女同学,在这 10名同学中, 3名同 学来自数学学院,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。现从这 10 名同学中随机选取 3 名同

19、学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)。(1) 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；(2) 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望。题型三 二项分布的均值与方差例3：在一次数学考试中,第 22, 23, 24题为选做题,规定每位考生必须且只需在其 中选做一题,设 5 名考生选做这三题任意一题的可能性均为,每位考生对每题的选择是相 互独立的,各考生的选择相互之间没有影响。(1) 求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2) 设选做第23题的人数为E,求E的分布列和数学期望。思考题 3：某校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6 道备

20、选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定：至少正确完成其中2 题的便可通过；考生乙每题正确完成的概率都为,且每题正确完成与否互不影响。(1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列,并计算其数学期望；2) 试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力课堂练习：1 、 有 10 件产品，其中 3 件次品，从中任取 2 件，若 X 表示取到次品的个数，则 E (X ) 等于.2 、设E是服从二项分布 B (n , p )的随机变量，又 E ( )=15, D ( E )=45，贝V n与p 4的值分别为( )。A 、 60， B 、 60， C 、 50， D 、 50，

21、3 、某地消防大队紧急抽调 1， 2， 3， 4， 5 号五辆消防车，分配到附近的 A,B ， C ， D 四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车，若这五辆消防车中去 A 村 的辆数为随机变量E,则E ( E )的值为()。A 、 1/4 B 、 3/4 C 、 1 D 、 5/44 、马老师从课本上抄录的一个随机变量E的概率分布列如下表：请小牛同学计算E的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E ( E)=.5 、甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有 m 个球，乙袋中共有 2m

22、个球，从甲袋中摸出 1 个红球的概率为，从乙袋中摸出 1 个红球的概率为 P 2。(1) 若m=10,求甲袋中红球的个数。(2) 若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1 个红球的概率为，求 P 2 的值。1(3)设 P 2=，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1 个球，并且从 5甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，设E表示摸出红球的总次数，求E的分布列和均值。随机变量的期望与方差第一次作业1、 随机变量的分布列为贝 E (5X+4)=( )。A 、 15 B 、 11 C 、 2.2 D 、 2.3212 、若 X 是离散型随机变量， P (X =x 1)=, P (X =x 2)=,且

23、 x 142E (X )=， D (X )= ，则 x 1+x 2 的值为 ( )。 39A 、5/3 B 、7/3 C 、3 D 、 11/33 、设投掷1颗骰子的点数为 三，贝1()。A 、E ()=3, D ( E)=3.52B、E ( E )=3.5, D ( E )=35 1235 16C、E ( E )=3, D ( E )=3.5 D 、E ( E )=3.5, D ( E )=4 、某运动员投篮命中率为 0.6，他重复投篮 5次，若他命中一次的 10分，没命中不 得分；命中次数为 X ，得分为 Y ，贝 E (X ), D (Y ) 分别为( )。A、0.6， 60 B、3，

24、12 C 、 3， 120 D 、3，1.25 、已知随机变量 X +Y =8，若 X B (10,0.6) ，贝 E (Y ), D (Y ) 分别为( )。A、6和2.4 B、2和2.4 C 、 2和5.6 D、6和5.66 、若 X B (n , p)，且 E (X )=6, D (X )=3，贝P (X =1) 的值为( )。A、3?2-2 B 、2-4 C 、 3?2-10 D 、 2-87 、签盒中有编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6的六枝签，从中任取 3支，设 X 为这 3支签的 号码之中最大的一个，贝 X 的数学期望为( )。A 、 5 B 、 5.25 C 、 5.8

25、D 、 4.68 、有一批产品，其中12件正品和4件次品，从中任取3件，若E表示取到的次品个数，则E ( E )=.19 、随机变量 E 的取值为 0, 1, 2,若 P ( E =0)=, E ()=1,贝V D ( E)=.510 、某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以 a 1 为首项,公比为 2 的等比数列,相应资金是以 700 元为首项,公差为 -140 元的等差数列,贝参与 该游戏获得资金的期望为 元。11 、体育课的排球发球项目考试的规贝是每位学生最多可发 3次,一旦发球成功,贝 停止发球，否则一直发到 3次为止。设学生一次发球成功的概率为 p (p工0)，发球次

26、数 为X ,若X的数学期望E (X )>1.75 ，则p的取值范围。12 、一盒中装有 9张写有一个数字的卡片,其中 4张卡片上的数字是 1, 3张卡片上 的数字是 2, 2张卡片的数字是 3. 从盒中任取 3张卡片。1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取 3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列和数学期望。 (注：若 三个数a , b , c 满足a < b <c ,则称b为这三个数的中位数)13 、某次数学测试共有 10 道选择题，每道选择题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道得 5分，不选或者选错得 0分，某考生

27、每道题都选并能确定其中有 6道题能选对，其余 4道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2道题 能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从 不能排除的选项中随机选一个作答，且各题作答互不影响。(1) 求该考生本次测试选择题得 50 的概率。(2) 求该考生本次测试选择题所得分数的分布列和数学期望。14 、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小 球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物 3次，最后落入 A 袋或 B 袋中。已知小球每次遇 到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，。(1)分别求出小球落入 A 袋或 B 袋中的

28、概率。(2)在容器的入口处依次放入4个小球；记E为落入B袋中的小球个数，求 E的分布列和数学期望。第二次作业1 、已知E的分布列为1231;P ( E =0)=，则在下列式中：E ( E)=-;D ( E)=正确的个数是()。3273A 、 0 B 、 1 C 、 2 D 、 32 、抛掷两枚骰子，当至少有一枚 5 点或 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 30 次 试验中成功次数 X 的均值是( )A 、 55/6 B 、 40/3 C 、 50/3 D 、 103 、一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a , 得 2 分的概率为 b , 不得分的概率为c (a , b , c (0

29、,1),已知他投篮一次得分的数学期望为2 (不计其他分情况)，则 ab 的最大值为( )。A 、 1/48 B 、 1/24 C 、 1/12 D 、 1/64 、设等差数列 a n 的公差为 d ，若 a 1a , 2a , 3a , 4a , 5a , 6a , 7的方差为 1，则 d = 。5 、设一次试验成功的概率为 p ，进行 100 次独立重复试验，当 p = 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。6 、某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、 211 复赛、决赛三个阶段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率为, , 。且 334各阶段通过与否相互独立。(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率。(2)设该选手比赛的次数为E,求E的分布列和数学期望。7 、工人在包装某产品时不小心将 2 件不合格的产品一起放进一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的 6件产品。只有将产品逐一打开检验才能