(完整版)高中数学导数练习题

1、专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例 1. 1. f (X)是 f(x) 2 解析：f X x 2，所以 f1 1 2 3 答案：3 3 考点二：导数的几何意义。 f(1) f (1) 线方程为y 5x b，将点(1, 3)带入切线方程可得 b 2，所以，过曲线上点(1, 3) 处的切线方程为：5x y 2 0 答案：5x y 2 0 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 44已知曲线 C C: y x3 3x2 2x，直线l : y kx，且直线l与曲线 C C 相切于点 x0, y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。 解析

2、： 直线 过原点 ，则k y。 _ x 0。 由点 x ,y在 曲线 C C 上，则 x 3 y x 3x。2 2X0， 血 x 2 3x0 2。 又y 3x2 6x 2 在 x x, y 处曲 线 C C 的切 线斜率 为 k f x 3x2 62， 例 2.2.已知函数y f (x)的图象在点 M(1, f (1)处的切线方程是y -x 2，则 2 -x3 2x 1的导函数，则 3 f ( 1)的值是 1 解析：因为k ，所以f 1 2 1 5，所以f 1 2 由切线过点M (1，f (1)，可得点 M M 的纵坐标为 5 5，所以 2 答案：3 3 例 3.3.曲线y 3 2 x3 2x

3、2 4x 2 在点 (1 3)处的切线方程是 解析：y 3x2 4x 4，点(1 3)处切线的斜率为k 3 4 4 5，所以设切 X。2 3x 2 3x。2 6x 2，整理得: 2 x0 3x。 0,解得: x -或 x 0 2 （舍） ，此时， 3 y0 k 1 所直线 l的方程为y 1 x，切点坐标是 8 4 4 3 3 2, 8 答案: 直线1的方程为y 1 x， 切点坐标是 3 4 8 点评：本小题考查导数几何意义的应用。 解决此类问题时应注意 “切点既在曲线上又在 切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件， 而不 是必要条件。 考点四：函数的单调性。

4、 例 55已知f x ax3 3x2 x 1在 R R 上是减函数，求 a的取值范围。 2 解析：函数f x的导数为f X 3ax 6x1。对于x R都有f x 0时，f x a 0 为减函数。由3ax2 6x 1 0 x R可得 ，解得a 3。所以， 36 12a 0 当a 3时，函数f x对x R为减函数。 3 （1 1） 当 a 3 时，f x 3x3 3x2 x 1 3 x 1 -。 3 9 由函数y x在 R R 上的单调性，可知当 a 3是，函数f x对x R为减函数。 （2 2） 当a 3时，函数f x在 R R 上存在增区间。所以，当a 3时，函数f x在 R R 上不是单调递

5、减函数。 综合（1 1）（ 2 2）（ 3 3）可知a 3。 答案：a 3 点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。 对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。 考点五：函数的极值。 例 6.6.设函数f （x） 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1 1 ）求 a a、b b 的值； （2 2）若对于任意的x 0,3，都有f （x） c2成立，求 c c 的取值范围。 解析：（1 1） f （x） 6x2 6ax 3b，因为函数 f （x）在x 1及x 2取得极值，则有 6 6a 3b 0, . ZH 小， f (1) 0, f (2) 0 即 ，解得 a 3, b

6、4。 24 12a 3b 0. (2 2)由(1)可知，f(x) 2x3 9x2 12x 8c, f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)。 当 x (01)时，f (x) 0 ；当 x (1,2)时，f (x) 0 ；当 x (2,3)时，f (x) 0。所以， 当 x 1 时，f (x)取得极大值 f (1) 5 8c，又 f(0) 8c , f (3) 9 8c。则当 x 0,3 时，f(x)的最大值为f(3) 9 8c。因为对于任意的 x 0,3，有f(x) c2恒成立, 2 所以 9 8c c ,解得 c 1或c 9，因此c的取值范围为(,1)U(9,)。 答案：(1

7、 1)a 3, b 4 ； ( 2 2)( , 1)U(9,)。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。 求可导函数f x的极值步骤：求导数f x ； 求f x 0的根；将f x 0的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f x在各 区间上取值的正负可确定并求出函数 f x的极值。 上随x的变化情况如下表: x 2 2, 1 1 4 3 右2 2 f x + 0 0 一 0 0 + f x 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0 0 考点六：函数的最值。 例 7.7.已知a为实数，f x x2 4 x a 在区间 2,2上的最大值和最小值。 3 2 解析：(1 1) f x x ax 4

8、x 4a , 1 (2 2) f 1 3 2a 4 0 , a 丄。 2 f x 03x 4 x 1 0 。 求导数 f x ；(2 2 )若 f 1 0 , 求 f x f x 3x2 2ax 4。 f x 3x2 x 4 3x 4 x 1 1或x 4 3 则f x 和f x 在区间 2,2 9 4 50 4 50 f 1 9，f 3 57。所以，fx在区间2,2上的最大值为匹石，最小值为f 1 2 2 4 50 9 答案：(1) f x 3x 2ax 4 ； (2 2)最大值为f ，最小值为f 1 3 27 2 点评：本题考查可导函数最值的求法。 求可导函数f x在区间a,b上的最值，要先

9、求 出函数f x在区间a,b上的极值，然后与fa和f b进行比较，从而得出函数的最大最 小值。 考点七：导数的综合性问题。 3 例 88设函数f(x) ax bx c (a 0)为奇函数，其图象在点 (1,f(1)处的切线与直线 x 6y 7 0垂直，导函数f(x)的最小值为 12。( 1 1 )求a， b， c的值； (2 2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在1,3上的最大值和最小值。 解析：(1)v f (x)为奇函数，二 f ( x) f (x)，即 ax3 bx c ax3 bx c 二 c 0,T f(x) 3ax2 b 的最小值为 12 , b 12，又直线 x

10、6y 7 0 的斜率为丄，因此，f(1) 3a b 6 , a 2, b 12, c 0 . 6 (2 2) f(x) 2x3 12x。 f (x) 6x2 12 6( x , 2)( x ,2)，列表如下： x (,V2) (QV2) 血) f(x) 0 0 f(x) 增函数 极大 减函数 极小 增函数 所以函数 f(x) 的单调增区间是( ,.2)和(辽，), - f( 1) 10 , f(2 8.2 , f(3) 18 , f (x)在 1,3上的最大值是f (3) 18 , 最小值是 8、2。 答案： ( 1 1) a 2 , b 12 , c 0 ; (2 2 )最大值是f(3) 1

11、8，最小值是 2) 82。 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以 及推理能力和运算能力。2 3 3 导数强化训练 (一) 选择题 A A. y 3x 4 B B .y 1)在x 3x 2 C C . y 1处的导数等于 4x 3 D D. y (D D ) 4x 5 函数y (x 1)2(x A A. 1 1 .2 2 .3 3 D D. 4 4 已知函数f (x)在 x 1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式可能为 (A A ) A A. f (x) (x 1)2 3( x 1) B B . f(x) 2(x 1) C C. f (x) 2(x 1)

12、 2 D D . f (x) x 1 函数 f(x) 3 2 x ax 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值, 贝U a= = ( D D (A A) 2 2 (B B) 3 3 (C C) 4 4 (D D) 5 5 函数f (x) 3 2 x 3x 1是减函数的区间为(D(D ) ) 3 3. . 4 4. . ) 5 5. . 6 6. . 1.1.已知曲线 X 的一条切线的斜率为 4 1 ，则切点的横坐标为( 2 B B. c c. 2.2.曲线 3x2 1在点( 1 1, 1 1) 处的切线方程为 (A) (2, (B) ,2) (C) ( ,0) (D) (0,2) 7.7.

13、若函数f x2 bx c的图象的顶点在第四象限，则函数 f x的图象是 8.8.函数f(x) 2x2 1 3 x3在区间0 6上的最大值是( A A ) 32 A A. 16 B.- 3 C C. 12 B B D D 3 9.9.函数y x 3x的极大值为 m，极小值为n，则m n为 ( A A ) A A. 0 0 B B . 1 1 C C . 2 2 D D . 4 4 1 10 0. . 三次函数f x ax3 x 在 x , 内是增函数， 则 (A A ) A A. a 0 B B. a 0 C C . a 1 1 D D . a 一 3 1 11 1. . 在函数y x3 8x的

14、图象上， 其切线的倾斜角小于 一 的点中， 坐标为整数的点的个数 是 (D D ) A A. 3 3 B B . 2 2 C C . 1 1 D D . 0 0 O 1 3 4 14.14. 已知曲线y x ，则过点P(2, 4)改为在点P(2, 4) ”的切线方程是 3 3 15.15. 已知f (n)(x)是对函数f (x)连续进行 n n 次求导，若f (x) x6 x5，对于任意x R, 都有f(x)=0=0,则 n n 的最少值为 _ 。 16.16. 某公司一年购买某种货物 400400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 4 万元/次，一年的总存储 费用为4x万元，要使一年的总运费与

15、总存储费用之和最小，则 x _ 吨. (三)解答题 17.17. 已知函数fx x3 ax2 bx c，当x 1时，取得极大值 7 7 ；当x 3时，取得极 小值.求这个极小值及 a,b,c的值.函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数 ) 12.12. f(x)在开区间(a, b)内有极小值点( A A f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 A A. 1 1 个 C C. 3 3 个 (二) 填空题 1313曲线y x3在点 1,1处的切线与x轴、 从I的一侧进入另一侧)，求函数 f(x)的表达式. 18.18.已知函数 f (x) x3 3x2 9x a. (1 1 )求

16、 f(x)的单调减区间； (2 2 )若f(x)在区间2 2, 2 2. .上的最大值为 2020,求它在该区间上的最小值 19.19.设t 0，点 P P( t，0 0)是函数f(x) x3 ax 与 g(x) bx2 c的图象的一个公共点, 两函数的图象在点 P P 处有相同的切线。 (1 1 )用 t 表示 a, b, c ； (2(2)若函数y f(x) g(x)在(1 1，3 3)上单调递减，求t的取值范围。 3 2 20.20.设函数 f x x bx cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。 (1 1 )求b、c的值。 (2 2)求g(x)的单调区间与极值

17、。 21.21.用长为 18 18 cmcm 的钢条围成一个长方体形状的框架， 要求长方体的长与宽之比为 2 2： 1 1,问 该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 1 3 1 2 22.22.已知函数f (x) x ax bx在区间1,1) , (1,3内各有一个极值点. 3 2 (1 1 )求a2 4b的最大值； (1 1) 当a2 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1, f (1)处的切线为I，若I在点A处穿 过函数y f (x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线y f (x)运动，经过点 A时， 强化训练答案: (四)填空题 (五)解答题 2 17.17.解：

18、f x 3x 2ax b。 2a 3 b 3 a 3, b 9 f x x3 3x2 9x c f 1 7，二 c 2 3x2 6x 9.令 f (x) 0，解得 x 1 或 x 3, 所以函数f (x)的单调递减区间为(，1), (3,). 所以f(2) f ( 2).因为在(一 1 1, 3 3)上 f (x) 0，所以f (x)在1 1, 2 2上单调递增，又由 于f (x)在2 2, 1 1上单调递减，因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区间 2,2上的最大值和最小 值. .于是有22 a 20，解得a 2. 3 2 故 f(x) x 3x 9x 2.因此 f( 1) 1 3 9

19、2 7, 即函数f (x)在区间 2,2上的最小值为一 7.7. 1.A1.A 2.B2.B 3.D3.D 4.A4.A 5.D5.D 6.D6.D 7.A7.A 8.A8.A 9.A9.A 10.A10.A 11.D11.D 12.A12.A 1313. .14. 14. y 4x 4 0 15.15. 7 7 16. 16. 2020 据题意, 1 1 , 3 3 是方程3x2 2ax b 0的两个根，由韦达定理得 极小值f 3 33 3 32 9 3 2 25 极小值为2525, 3,b 9 , c 2。 18. 18. 解:( 1 1) f(X) (2(2)因为 f ( 2) 8 12

20、 18 a 2 a, f(2) 8 12 18 a 22 a, 2 19.19.解：(1 1)因为函数f(x) , g(x)的图象都过点(t , 0 0),所以f(t) 0 , 3 2 2 即 t at 0. .因为 t 0,所以 a t . . g(t) 0,即 bt c 0,所以 c ab.2 又因为f (x) , g(x)在点(t , 0 0)处有相同的切线，所以 f (t) g (t). 而 f (x) 3x2 a, g (x) 2bx,所以 3t2 a 2bt. 将a 2 t代入上式得b t.因此c ab t3.故 a t2，b t，c t3. (2) y f(x) g(x) x3

21、t2x tx2 t3, y 3x2 2tx t2 (3x t)(x t) 当 y (3x t)(x t) 0时，函数 y f (x) g (x)单调递减. . 由 y 0，若t o,则 1 x t 3 ；若 t 0,则t x -. 3 由题意，函数y f(x) g(x)在(1 1, 3 3)上单调递减，则 (1,3) ( -,t)或(1,3) (t,-).所以 t 3或 - 3即t 9或t 3. 3 3 3 又当 9 t 3时，函数y f(x) g(x)在(1 1, 3 3)上单调递减. . 所以t的取值范围为( ,9 3,). 20.20.解：(1 1)v f x 3 x bx2 cx，二

22、f x 3x2 2bx c。从而 g(x) f(x) f (x) 3 x bx2 cx (3x2 2bx c) =x3 (b 3)x2 (c 2b) x c是一 个奇函数，所以 g(0) 0得 0， 由奇函数定义得b 3； (2 2 )由(I)知 g(x) 3 x 6x， 从而g (x) 3x2 6， 由此可知， (,2)和(迈 )是函数g(x)是单调递增区间； ( 2, 、2)是函数g (x)是单调递减区间； g(x)在x 、2时,取得极大值，极大值为42，g(x)在x 2时，取得极小值，极小值为 4. 2 21.21.解：设长方体的宽为 x (m m)，则长为2x (m)(m)，高为 故长

23、方体的体积为 2 V x 2x 4.5 3x 9x2 6x3 r 3 0 从而V (x) 18x 18x 2(4.5 3x) 18x(1 x). 令V x 0,解得 x 0 (舍去)或x 1， 因此x 当0 x 1 时，V x 0 ； 当 1 x -时, V 3x(m)3x(m) 4 4 x 1. . x 0 x i. . h h 4.54.5 当 g x 1 时，g (x) 0，当 1 x m2 时，g(x) 0 ； 故在x 1处V x取得极大值，并且这个极大值就是 V x的最大值。 从而最大体积V V x 9 12 3 3 6 1m ，此时长方体的长为 2 m2 m,高为 1.5 m.1.5 m. 答：当长方体的长为 2 2m m 时，宽为 1 1 m m， 高为 1.5 m1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3m3。 22.22.解：(1 1 )因为函数 f(x) 1ax2 bx在区间1,1) , (1,3内分别有一个极值点，所以 2 f (x) x ax b 1,1)，