(完整word版)高中数学基础知识大全(全国新课标版),推荐文档

1、第1页高中数学基础知识大全(新课标版)第一部分集合1. 理解集合中元素的意义.是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲 线上的点？2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数 问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.兀素与集合的关系：x A x CUA,x CuAx A.(2) 德摩根公式：CU(AI B)CUAUCUB；CU(AU B)CuAI CUB.(3)AI B AAUB BAB CUB CUA AI CUBCUAU B R注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况.(4) 集合a

2、1,a2,L ,an的子集个数共有2n个；真子集有2n- 1 个；非空子集有2n- 1 个；非空真子集有2n- 2 个.4.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数1.映射：注意：第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一2函数值域的求法：分析法：配方法；判别式法；利用函数单调性：换兀法；绝对值的意义等)；利用函数有界性(ax、sinx、cosx等)；平方法； 导数法3复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：1若 f(x)的定义域为a, b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 a g(x) b 解出2若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 x a,b

3、时，求 g(x)的值域.(2)复合函数单调性的判定：首先将原函数y fg(x)分解为基本函数：内函数u g(x)与外函数y f (u)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性3根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件f (x)是奇函数f( X)f (x)；f (x)是偶函数f( x) f (x)利用均值不等式b2利用数形结合或几何意义(斜率、距离、第2页奇函数f(x)在 0 处有定义，则f(0)0第3页在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相

4、同的单调性，偶函数有相反的单调性若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6 函数的单调性：单调性的定义：1f(x)在区间M上是增函数2f (x)在区间M上是减函数般要将式子f(Xi) f(X2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；复合函数法图像法注：证明单调性主要用定义法。7 函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f (x T) f (x)(其中T为非零常数)，则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最 小正周期。(2)三角函数的周期：ysin x :T 2；ycosx :

5、 T 2:y tan x : Ty Asin( x ), yAcos( x):T2| |:y tan x: T| |(3)与周期有关的结论：f (x a) f (x a)或f (x2a)f (x)(a0)f (x)的周期为2a&基本初等函数的图像与性质:.指数函数：y ax(a0,a1)；对数函数:y logax(a 0,a1)；幕函数：y x(R)； 正弦函数:ysi nx；余弦函数：y cosx；_2(6)正切函数：y tanx；一元二次函数：ax bx c 0(0 )；其它常用函数：ka 正比例函数：y kx(k0):反比例函数：y (k 0)；函数y x (a 0)XXmm.分

6、数指数幕：an:am；an匚(以上a 0,m, n N，且n 1).aabN logaN b；logaMN logaM logaN；l0gaMlogaMlogaN；砸am以logab.Nm对数的换底公式：logaNlog m N.对数恒等式：alogaNN.logma9.二次函数：Xi, X2M ,当XiX2时有f (xjf(X2);Xi, X2M ,当XiX2时有f (xjf(X2);单调性的判定：定义法:第4页解析式：一般式：f (x) ax2bx C；顶点式：f(x) a(x h)2k,(h,k)为顶点;第5页零点式：f(x) a(x x1)(x x2)(0)二次函数问题解决需考虑的因素

7、:开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。Kc的图象的对称轴方程是x，顶点坐标是2a10.函数图象:图象变换:平移变换：i)yf(x)y f(xa),(a0)左“ +”右ii) yf(x)yf (x)k,(k0)-上“ +”下“”；对称变换：i ) yf(x)(0,0)yf ( x)；ii ) yf(x)y 0y f(x)；iii) yf(x)x 0yf( x)；iv) yf (x)y xx f(y)；翻折变换:12函数零点的求法:零点定理：若 y=f（x）在a,b上满足 f（a） f（b）0 , 贝 U y=f（x）在（a,b）内至少有一个零点。第三部分三角函数、三角恒等变

8、换与解三角形图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图） 图象变换法导数法b 4ac b2,。2a 4a二次函数y ax2bxii )y f (x)y f(x)f(|x|)I f(x)|（去左翻右）（留上翻y 轴右不动，右向左翻（x 轴上不动，下向上翻（|f（x）在y左侧图象去掉）；f（x）|在x下面无图象）；直接法（求f （x）0的根）；图象法；二分法1.角度制与弧度制的互化:弧度180,1801弧度，1弧度（）57 18弧长公式：IR;扇形面积公式：S2IR2R2。2.三角函数定义：角终边上任一点（非原点）P(x,y),设| OP | r则:sin= cos r-,tan1rx3三角函数

9、符号规律:全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全 s t c第6页4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变，符号看象5 .yA sin( x对称轴：令对称中心:(k,0)(k Z)；y Acos( x对称轴：令k，得x ；对称中心:k(-2一,0)(k Z)；周期公式：函数Asin( xAcos( x )的周期T2 (A、3、为常数,第7页&两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin()sincoscossin；cos()cos cosmsi n sin；)tantantan(1 mta n tansin()si n()sin2sin2；cos()cos()2 2cossinasinbco

10、s= :一 a2b2sin()(其中，辅助角所在象限由点(a,b)所在的象限K决定，tan).a10.正、余弦定理:注：a : b : c sin A: si nB:si nC:2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC；一。sin A si nB sinC si nA si nB sin C2 2 2余弦定理：a2b2c22bccosA等三个；cos A -c等三个。2bcysin x的单调递增区间为2k, 2k-k Z,单调递减区间为222k3,2kk Z,对称轴为x k(k Z),对称中心为k ,0(kZ).2 22ycosx的单调递增区间为2k,2k kZ,单调递减区间为2k

11、,2kk Z,7三角函数的单调区间及对称性:Z).对称轴为x k (k Z),对称中心为正弦定理：sin A sin Bc2R sin C2R是ABC外接圆直径且AM0).函数y Atan x的周期T(A、3、为常数，且AM0).6.同角三角函数的基本关系:sin2x cos2x 1;SinXcosxtan x(ky tan x的单调递增区间为kZ，对称中心为k,029 二倍角公式：sin22sin cos.(sin cos )21 2si ncos 1 sin 2cos 2cos2sin222cos1 2si n2(升幕公式)2cos1 cos2 . 2 ,si n21 cos 2(降幕公式

12、)11111.几个公式：二角形面积公式：Sahabhbchc(ha、 hb、hc分别表示 a、b、c 边上的高)；2221 uuuuuu2uiu uur22, OA | | OB |)2(OA OB)2第四部分 平面向量1.平面上两点间的距离公式：dA,B.(X2xj2(y2yj2，其中 A(X1,yJ，B(X22).2. 向量的平行与垂直：设a=(x1, y1),b=(x2, y2)，且b 0,则：1a/b bd ax1y2x2y10；2ab(a 0)ab=0X1X2yy 0.3. ab=| a| b|cos= x1X2+y1y2；注：Ia|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|co

13、s叫做 b 在 a 方向上的投影;ab的几何意义：ab等于| a|与| b|在 a 方向上的投影| b|cos的乘积。a b4. cos=-；|a|b|5. 三点共线的充要条件： P, A, B 三点共线1 .定义:2.等差、等比数列性质:等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dn 1anaz11S1asin B.SOAB2内切圆半径 r=2SABCa b c外接圆直径sinAbsinBcsinCuuu uuu uuuOP xOA yOB 且 x y 1。第五部分数列等差数列 an2anan 1anan 1and(d 为常数,n1(n 2,nN*)anknananAn21d(n 2)Bn等比

14、数列an詈q(q 0) an2an-1an 1( n 2,n第 5 页第10页1.q 1时，Snna1;前 n 项和n(a1an)na1n(n21)d2q耐Sa1(1qn)Sn2na1a.q1 q1 q性质an=am+ (nm)d, an=amqn-m;m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaqSk,S2kSk,&kS2k,成 APSk,S2kSk,S3kS2k,成 GPak,ak m,ak 2m,成 AP,dmdak,ak m,ak 2m,成 GP,q qm3 常见数列通项的求法:anan 14.前n项和的求法：分组求和法；错位相减法；裂项法。

15、5.等差数列前 n 项和最值的求法:第六部分不等式2.极值定理： 已知x, y都是正数，则有:（1）如果积xy是定值p，那么当x y时和x y有最小值2 P；12（2）如果和x y是定值s，那么当x y时积xy有最大值一s2.43. 解一元二次不等式ax2bx c 0（或 0）:若a 0,则对于解集不是全集或空集时，对应的解集为大两边，小中间”.如：当x1x2,xx1xx20 x-1xx2；x x1x x20 x x2或 x x1.4. 含有绝对值的不等式：当a 0时，有：x ax2a2a x a；2x ax2a2x a或x a.定义法（利用 AP,GP 的定义）；累加法（an,an累乘法（C

16、n型）；待定系数法（an ikanCn型） ；公式法:b型）转化为an1Si(n=1)an=帯 _Sn一 Sn-1(n2)x k(anx)（6）间接法（例如：an 1an4anan 11 14）;（7）（理科）数学归纳法。Sn最大值anan 1或 Sn最小值an0an 10;利用二次函数的图象与性质。1.均值不等式：-ba2br 2b(a,b 0)注意：一正(a,bR)。2a第11页5*.分式不等式:、fX小、f Xc(1)0f x g x0；（2）0g xg x/c、f X(3)06*.指数不等式与对数不等式f(x) g(x)f(x)0当0 a 1时，af（x）g (x)af (x)g(x)

17、；gf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)3.不等式的性质：a b b a；ab, bc ac；abac b c；a b, cda c b d；ab,c0 acbd；ab,c0ac bc；a b0,c d 0ac bd;a b 0nabn0(n N );:ab0nanb( n N )第七部分 概率1 事件的关系：事件 B 包含事件 A:事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作A B；事件 A 与事件 B 相等：若A B, B A，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B;并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或 B 发生，记作A B（或A B）；并（积）事件：某事件发生，当且

18、仅当事件A 发生且 B 发生，记作A B（或AB）事件 A 与事件 B 互斥：若A B为不可能事件（A B），则事件 A 与互斥；对立事件：A B为不可能事件，A B为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。2.概率公式：古典概型：P(A)A 包含的基本事件的个数基本事件的总数；几何概型：P(A)构成事件 A 的区域长度（面积或体 积等）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）；第八部分统计与统计案例1.抽样方法：简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量/八f x(4)0g x(1)当a 1时，af(x)ag(x)f (x) g(x)；logaf(x

19、) logag(x)f(x) 0g(x) 0第12页为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为；N常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从 每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；按预 先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况， 将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样

20、。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数N注：以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等2 频率分布直方图与茎叶图：用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3 总体特征数的估计:第九部分算法初步1 程序框图：图形符号：终端框（起止框）：/ 输入、输出框;- 处理框（执行框）程序框图分类：顺序结构：条件结构：循环结构：材-| r =0?- 否求 n 除以 i 的余数样本

21、平均数x1（x1x2nXn)1n.xi；ni 1样本方差S21(x1x)2(x2x)2X x)2n-(x x)2；ni i样本标准差SJ1（为x）2（x2x）2= J1n2(Xnx)=nii(xix)2流程线4第13页+ n不是质数 n 是质数i=i+1第14页句：IF条件 THEN语句体END IFELSEEND IF循环语句：当型：直到型：WHILE条件1DO循环体循环体WENDLOO：P UNTIL条件新课标数学部分公式及结论3.函数的的单调性:(1)设xX2a, b ,为x2那么则f (x)为减函数.4*.函数y f (x)的图象的对称性i=2n 或 r=注：循环结构分为：1当型( w

22、hile 型)先判断条件，再执行循环体;n.直到型(until 型)一一先执行一次循环体，再判断条件。2.基本算法语句:输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句:PRINT “提示内容”；表达式赋值语句:I 变量=表达式条件语IF I 条件 THEN语句体 1语句体 22.从集合Aa!,a2,a3, , an到集合Bbb2,b3,bm的映射有mn个.(X X2)f(Gf(X2)0f(xj f(X2)XiX2f (x)在 a,b上是增函数;(xX2)f(Gf(xj f(X2)X-Ix2f (x)在 a, b上是减函数.(2)设函数yf (x)在某个区间内可导，如果f (x)0,则f

23、(x)为增函数；如果f (x)0,第15页y f(x)的图象关于直线x a对称f(a x) f (a x) f (2a x) f (x)；a b2y f (x)的图象关于直线x对称f (a x) f (bx)f(a bx) f(x)；3y f (x)的图象关于点(a,0)对称fx f 2a x f a x f a x 0,y f (x)的图象关于点(a,b)对称fx2b f 2a x faxfa x2b.6 奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函

24、数.7多项式函数P(x)anxnan 1xn 1La0的奇偶性：多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.8.若将函数y f (x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f (x a) b的图象；9.几个常见的函数方程：(1) 正比例函数f (x) cx,f(x y) f (x) f (y), f (1) c.(2) 指数函数f (x)ax,f(x y)f (x) f(y), f(1) a 0.(3) 对数函数f(x) logax,f(xy) f(x) f (y), f (a) 1(a 0,a 1)

25、.(4) 幕函数f (x) x,f(xy) f (x)f (y), f (1).(5)余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) si nx,f (xy)f(x)f(y)g(x)g(y),f(0)=110*.几个函数方程的周期(约定 a0)(1)f (x) f (x a)，则f (x)的周期 T=a；1(2)f (x a)f (x)，或f (x a)(f (x)0),或f(x a)1(f(x) 0),f(x)f(x)则f (x)的周期 T=2a；11.等差数列an的通项公式：ana1n 1 d,或anam(nm)ddanamn m前 n 项和公式:snn(a1an)na1n(n 1)dd2n

26、佝5)n.2 2 2 212.设数列an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项的和，Sn是前 n 项的和，则1前 n 项的和SnS奇S偶；2当 n 为偶数时，S偶S奇2d，其中 d 为公差；3当 n 为奇数时，则S奇S偶a中，S奇-_a中，S偶-a中，-1,22S偶n 1第16页n（其中a中是等差数列的中间一项）anan和bn的前2n 1项的和分别为S2n1和T2n1，则匚(1)若x (0,)，则sinx x tanx.2(2)若x (0,)，则1 sin x cosx、2.2(3)| sin x | cosx | 1.18.正弦、余弦的诱导公式：n(1)2sin ,n 为偶数n)口； cosq(1)2cos , n 为奇数19*.万能公式:sin 22ta n1 ta n2tan21 tan2（正切倍角公式）1 tan2；cos 21 ta n220*.半角公式:tan2sin1 cos1 cossin21.三角函数变换:相位变换:y sinx的图象向左0 或向右0平移1个单位ysin x的图象；即：奇变偶不变，符号看象限”.如c