线性空间-知识点及其注释

1、第五章线性空间 - 知识点及其注释知识点： n 维数组向量， 向量空间， 线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。#n 维数组向量 #简称为 n 维向量，是指由数域F 中n 个数a1 , a2 , an 组成的 n 元有序数组，常记为(a1, a2 , , an )T 或(a1 , a2 , ,an ) ，又称为 n 元（数组）向量 。由数域F 上所有n 维数组向量 所构成的线性空间称为 n 维（元）（数组）向量空间 ，记为 F

2、n 。#线性组合 #表达式 k1 1k2 2ks s 称为向量组 1 ,2 ,s 的系数分别为k1 ,k2 , , ks ( F ) 的线性组合， k1 , k2 , , k s 称为线性组合系数。#线性表示 #向量 可由向量组 1 , 2 ,s 线性表示 ( 出) 是指存在数域F中的数k1 ,k 2 , ks , 使k1 1 k2 2kss 。向量组 1,2 , s可由向量组 1, 2, t 线性 表 示 是 指 每 个 i（ i 1,2,., s）都可由向量组 1 , 2 , , t 线性表示 。显然， 向量组的线性表示具有传递性。在 F n 中 ， 向量 可由向量组 1 , 2 ,s 线

3、性表 示线性方程组1 x 12s xs有解rank (1, 2, s ,) rank ( 1, 2 , , s)。x 2#向量组等价 # 向量组 1,2 , s 与向量组1, 2, t 等价是指 向量组1, 2, s 与向量组 1, 2 ,t 可以相互线性表示 。显然， 向量组等价是等价关系，即具有自反性、对称性和传递性 。若矩阵经过有限次 行初等变换成为，则与的行向量组等价 。#线性相关 #向量组 1 , 2 ,s 线性相关是指存在数域F 中不全为零的数k1 , k2 , ks , 使 k1 1k22kss0 ；否则称为线性无关。对一个向量，线性相关即为零向量，线性无关即为非零向量；1 ,

4、2 , , s(s 2) 线性相关当且仅当其中一个可以有其余s1 个线性表示。若向量组 1 , 2 , , s 线性无关，而 1, 2 , , s , 线性相关，则 可由向量组1 ,2 ,s 唯一地线性表示 。若向量组1,2, ,s 线性相关 ，则 1 , 2, s ,线性相关 ；若向量组1, 2,s,线性无关，则 1,2 , s 线性无关。在 F n中，向量组 1,2 , s 线 性 相 关齐次线性方程组1 x 1x 22s xs0 有非零解 rank ( 1 , 2 , s )s ；向量组 1 , 2 , , s线性无关齐 次 线 性 方 程 组 1 x 1x 22s xs 0 只 有 零

5、 解rank ( 1 ,2, , s )s；当sn 时， 1 , 2 , s 一定线性相关。设 i(ai1, ai 2,., ain )TF n ， i( ai1 , ai 2 ,., ain ，ain 1 )， i1,2,., s ；那么，1, 2,s 线性无关1 ,2 , , s 线性无关； 1,2 , , s 线性相关1 ,2 ,s 线性相关。若矩阵经过有限次行初等变换成为，则的列向量组1 , 2 ,s与的列向量组 1, 2, s 具 有 完 全 相 同 的 线 性 关 系 ， 即k1 1k 22ks s 0 k 1k122ks s 0，其中k1, k2 , ,ks(F) ；从而1 ,2

6、,s 线性相（无）关1, 2,s 线性相（无）关； i1 ,i2 , i r 是1 ,2,s 的极大无关组i1, i2 ,ir是 1 ,2 , , s 的极大无关组。若向量组1 ,2 , , s 可由向量组1 ,2 , ,t 线性表 示 , 且 s>t ， 则1,2,s 线性相关；若向量组 1 , 2 , , s 可由向量组 1, 2 , ,t 线性表示 ,且1,2, s 线性无关，则 st ；向量组 1 , 2 , s 与向量组 1 ,2 , , t 等价, 且都线性无关，则 s=t。#极大线性无关向量组#简称极大无关组，是指向量组(A)的一个部分向量组 1, 2 ,., r , 其本

7、身线性无关, 但从(A)中任意添加一个向量( 如果还有的话)r 1 , 则 1, 2 ,., r , r 1 都线性相关。一个向量组与其任一极大无关组等价；一个向量组的任意两个极大无关组等价，从而所含向量的个数相等。#秩#向量组(A)的秩是指其任一极大无关组所含向量的个数; 记为 rank(A)。矩阵的行（向量组的）秩，等于其列（向量组的）秩，也等于其秩（最高阶非零子式的阶）。#线性空间 #又称向量空间 , 是指数域 F 上一非空集合 V , 连同其中定义的两个满足以下 八条法则的 运算 ( 分别称为 加法和数乘 ,记为+和 ，统称为线性运算 ) ，记为 V (F ) ，其中的元素称为 向量：

8、；()()； V 中存在零元素，即对 V中任一元素，有； V 中每个元素都有负元, 即()；1；(k l )k (l ) ； ( k l )kl； k ()kk， 其 中, , V k, l, 。F#子空间 #是指线性空间闭，即满足对,W ,Vk的一非空子集F ，有, kW ，其对 V 的加法和数乘封 W ；其本身也是线性空间。# 生 成子 空间 # 由向量组 1, 2 , , s 生成 的子 空间 是指由向量组1 , 2 , , s 的所有线性组合所构成的子空间； 1 , 2 , , s 称为其生成元。生成的子空间必是子空间； 反之，子空间必是其任一极大无关组 （基）生成的生成子空间。#基#

9、是指线性空间 V 中的任一组 极大无关组 ，如 1 , 2,., n ；即其本身线性无关, 但从V 中任意加一个向量 n 1 , 则 1, 2 ,., n , n 1 都线性相关。线性代数只讨论基为有限个向量的线性空间，即有限维线性空间。有限维线性空间V 中的任一线性无关 向量组都可以扩充为V 的一组基。#维数 #是指线性空间V 的任一组基所含向量的个数 ；记为 dimV。e1, e2 , ,en 是 F n 的一组基，从而 dimF nn 。#坐标 #在线性空间 V 中，用一组基1, 2 , , n（线性）表示一个向量：a1 1 a2 2ann 的（有序）系数组 ( a1 , a2 , an

10、 )T 或( a1 ,a2 , an ) 称为在基 1, 2,n 下的坐标；其中 ai 称为 的第 i 个坐标或分量。#基变换 #是指用线性空间 V 的一组基（旧基） 1 ,2 ,n （线性）表示'a11a21an1112n'a12a22an 2其另一组基（新基） 1' ,2' ,n ' 的变换（公式） 212n'a1n 1a2 n 2ann nna11a12a1n即 ( 1' , 2' , , n ' )(1,2, n )a21a22a2nan1an2anna11a12a1n或简记为 ( 1' ,2' ,

11、n' )(1,2,n) T 。其中 Ta21a22a2nan1an2ann称为从（旧）基1, 2,n 到（新）基 1' , 2' ,n ' 的过渡矩阵 ；它可逆，于是又有 ( ,2,n)(' ,' ,' )T1，它是从（新）基1', 2' , ,n'112n到（旧）基 1, 2 , n 的变换（公式）。#坐标变换 #是指在线性空间 V 中，用一个向量在V 的一组基（旧基）1, 2, n 下的坐标（旧坐标） X 表示其在另一组基 （新基） 1' , 2' , , n'下的坐标（新坐标） Y的变

12、换（公式） YT 1X , 其中 T 为从（旧）基 1,2 , , n 到（新）基1' , 2' , , n' 的过渡矩阵 , 即( 1',2' , , n ' ) ( 1 , 2 , n )T 。此时又有 XT Y , 它是从 的（新）坐标 Y 到其（旧）坐标X 的变换（公式）。# 交子空间#是指线性空间V 的两个线性子空间V1,V2 的交集合V1V 2|V 1且V2 所构成的线性 子空间 。# 和子空间#是指线性空间V 的两个线性子空间V1,V2 的和集合V1V212|1V,12V 所构成的线性2子空间。维数公式：dimV1dimV2dim(

13、V1 V2 ) dim(V1V2)。#直和 #子空间的直和 是指线性空间 V 的两个交子空间为零子空间的子空间 V1,V2 的和子空间，记为 V1V2 ；此时称 V1 为V2 的补子空间 ，V2 为V1 的补子空间。#同构 #是指两个线性空间之间的保持线性运算的双射。两个有限维线性空间同构它们等维（维数相等）；V 是数域F 上的n 维线性空间V 同构于 F n 。#解空间#齐次线性方程组AX=O 的解空间是指其所有解构成的子空间。 n元齐次线性方程组AX=O 的解空间为F n 的 n-r 维子空间，其中 r=rank(A) 。#基础解系#齐次线性方程组AX=O的基础解系是指其解空间的任一组基。若 rank(A)=r ，且 PAQ=diagI r , O , 其中 P, Q 为可逆方阵，则 Q 的后 n-r 列 r 1 , , n 即为 AX=O 的一组基础解系。#特解#非齐次线性方程组AX=b 的任一特定的解称为其 特解。#通解#（非）齐次线性方程组AX=O（AX