线面垂直与面面垂直典型例题

1、线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直线线垂直面面垂直1、若直线 a 与平面,所成的角相等，则平面与的位置关系是（B）A 、/ /B、不一定平行于C、不平行于D 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱ABCA1 B1C1 ,BAC90 ,又 BC1AC ,过 C1 作 C1H 底面ABC，垂足为H，则H一定在（B）A 、直线 AC 上B 、直线 AB 上C、直线 BC 上D、 ABC 的内部3、如图示，平面平面， A, B, AB 与两平面,所成的角分别为和，46过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A,B ，则 AB:AB（ A）A 、2:1B 、3:1C、 3:2D、 4:3A4、如图示，直三棱

2、柱ABB1DCC 1 中，ABB190 ,AB 4,BC1BAB1BC 2, CC1 1 DC 上有一动点 P，则 APC1 周长的最小值是DC5. 已知长方体 ABCDA1B1 C1 D1 中， A1 AAB2 ,ABD 1C1若棱 AB上存在点 P，使得 D1 PPC , 则棱 AD长A1B 1的取值范围是。DC题型一：直线、平面垂直的应用1.（ 2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中， D ，E，F 分别为AB棱PC， AC ， AB 的中点 . 已知 PAAC,PA6，BC8，DF5 .求证： (1)PA 平面 DEF ； (2) 平面 BDE平面 ABC .证明： (1)因为

3、 D ， E 分别为棱 PC， AC 的中点，所以 DE PA.又因为 PA ? 平面 DEF， DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2) 因为 D ，E，F 分别为棱 PC，AC ，AB 的中点， PA 6，BC 8，所以 DE PA， DE 1 PA3， EF 1 BC 4.22222又因DF5，故 DF DE EF ，.又 PA AC ，DE PA，所以 DE AC.因为 ACEF E，AC平面 ABC ，EF平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC.又 DE 平面 BDE ，所以平面 BDE 平面 ABC.2. (2014,北京卷，文科 )如图，在三棱柱 ABC A1 B1

4、C1 中，侧棱垂直于底面， ABBC ， AA1AC2 ，E 、F 分别为 A1C1、 BC 的中点 .（1）求证：平面ABE平面 B1 BCC1 ；（ 2）求证： C1 F / 平面 ABE .证明：（ 1）在三棱柱ABCA1B1C1 中，BB1底面 ABC,BB1AB,ABBC ,AB平面 B1BCC1 ,AB平面 ABE ,平面 ABE平面 B1 BCC1 .(2) 取 AB 的中点 G，连接 EG， FGE、 F 分别为 A1C1、 BC的中点 ,FGAC, FG1 AC ,2ACAC ， ACAC ， FGEC ， FGEC ,则四边形 FGEC 1 为平行四边形，111111C1

5、FEG ,EG平面 ABE, C1F平面 ABE ,C1F平面 ABE .3 如图， P 是ABC 所在平面外的一点，且PA平面 ABC ，平面PAC平面PBC 求证 BCAC 分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直证明：在平面 PAC 内作 ADPC ，交 PC 于 D 因为平面 PAC平面 PBC 于 PC ，AD平面 PAC ，且 ADPC ，所以 AD平面 PBC 又因为 BC平面 PBC ，于是有 ADBC 另外 PA平面 ABC ， BC平面 ABC ，所以 PABC 由及ADP

6、AA ，可知 BC平面 PAC 因为 AC平面 PAC ，所以 BCAC 说明：在空间图形中， 高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直4.过点 S引三条不共面的直线SA、 SB、 SC，如图，BSC90，ASCASB60 ，若截取 SASBSCa(1)求证：平面ABC平面 BSC；.(2)求 S 到平面 ABC 的距离分析：要证明平面 ABC 平面 BSC，根据面面垂直的判定定理， 须在平面 ABC 或平面 BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线(1)证明： SASBSCa ，又ASCASB60 ， ASB和 ASC 都是等边三角形， AB AC

7、a ，取 BC 的中点 H ，连结 AH ， AHBC 在 Rt BSC 中， BSCSa ， SHBC，BC2a ，AH2AC 2CH 2a2( 2 a)2a 2，SH2a2222在 SHA中， AH 2a2， SH2a 2， SA2a2 ，22 SA2SH 2HA2， AHSH ， AH平面 SBC AH平面ABC ，平面ABC平面 BSC 或： SAACAB ，顶点 A在平面BSC 内的射影 H 为 BSC的外心，又 BSC为 Rt ， H 在斜边 BC 上，又BSC为等腰直角三角形，H为BC的中点， AH平面 BSC AH平面 ABC ，平面 ABC平面 BSC(2)解：由前所证：SH

8、 AH ，SHBC ， SH 平面 ABC ， SH 的长即为点 S 到平面 ABC 的距离， SHBC2 a ，22点 S 到平面 ABC 的距离为2 a 25、如图示， ABCD 为长方形， SA 垂直于 ABCD 所在平面，过A 且垂直于 SC 的平面分别交、G，求证： AE SB,AGSDSSBSC SD于 EF6. 在四棱锥 P-ABCD中，侧面 PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，F已知底面是面积为23 的菱形，ADC 60 ，MGDE是 PB中点。(1) 求证： PACDPCAMBCB.DA(2) 求证：平面 PAB 平面 CDM7. 在多面体 ABCDE中， AB=BC=A

9、C=AE=1， CD=2， AE面 ABC， AE/CD。(1) 求证： AE/ 平面 BCD；(2) 求证：平面 BED 平面 BCDE题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，ADADBCAB 1, BB13 1，E 为 BB1上使 B1E 1FED1G的点，平面AEC1 交 DD1 于 F，交 A1D1 的延A1BC长线于 G，求：B1C1（ 1）异面直线 AD 与 C1G 所成的角的大小（ 2）二面角 A C1G A1 的正弦值2. 如图，点 A 在锐二面角MN的棱 MN 上，在面内引射线AP ，使 AP 与 MN所成的角PAM 为 45 ，与面所成的

10、角大小为30 ，求二面角MN的大小分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解解：在射线 AP上取一点 B，作 BH于H，连结 AH ，则BAH 为射线 AP 与平面所成的角，BAH30 再作 BQMN ，交 MN 于Q，连结 HQ ，则 HQ 为 BQ 在平面内的射影由三垂线定理的逆定理，HQMN ，BQH 为二面角MN的平面角设 BQa ， 在 Rt BAQ 中 ，BQA90 ,BAM45 ,AB2a , 在 Rt .BHQ 中，2BH2 a2BHQ 90 , BQa, BH2a, sin BQHBQa,22BQH 是

11、锐角，BQH45 , 即二面角MN等于45说明：本题综合性较强， 在一个图形中出现了两条直线所称的角， 斜线与平面所称的角，二面角等空间角， 这些空间角都要转化为平面角， 而且还要彼此联系相互依存， 要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线3.正方体 ABCDA1 B1C1D1 的棱长为 1，P 是 AD 的中点求二面角 ABD1P 的大小分析：求二面角关键是确定它的平面角， 按定义在二面角的棱上任取了点， 在二个半平面上分别作棱的垂线， 方法虽简便， 但因与其他条件没有联系， 要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到 AB 垂直

12、于平面AD1 ，BD1 在平面 AD1 上的射影就是AD1 再过 P 作 AD1 的垂线 PF ，则 PF面 ABD 1 ，过 F 作 D1 B 的垂线 FE ，PEF 即为所求二面角的平面角了解：过P 作 BD1 及 AD1 的垂线，垂足分别是E、F，连结 EF AB面 AD1， PF面 AD1， ABPF ，又 PFAD1 ， PF面 ABD1又 PEBD1 ， EFBD1 ，PEF 为所求二面角的平面角 RtPFAPAD1D PFA ，DD1AD1而 AP12， PF2， DD1 1， AD124在 PBD1 中， PD1PB5 PEBD1 ， BE1 BD3222.在 Rt PEB 中

13、， PEPB 2BE 22，在 Rt PEF 中， sin PEFPF1，2PE2 PEF 30 4.PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面， M、 、CD 和 PC 的中点，E N分别是 AB（）求证： MN 平面 PADP（）若二面角 PDC A 为，求证 :平面 MND 平面 PDC4N5.已知正方体中 ABCDA1B1C1D1 ，E 为棱 CC1 上的动点，DEC（1）求证： A1E BD(2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时， 求证：平面 A1BD 平面 EBD（3）在棱 CC1 上是否存在一个点AMBE，可以使二面角 A1BD E 的大小为 45？如果存在，试确定 E 在棱 CC1 上的位置；如果不存在，请说明理由。题型三、探索性、开放型问